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??PQAnnuitésAdministrationÉconomique etSociale

Mathématiques

XA100M

??PQEn général, un prêt n"estpas remboursé en une seule fois. Les rembourse- ments sont étalés surplusieurs périodes. De même, un capital est rarement constitué en un seul versement, mais plus souvent en une succession de versements. Il faut alors savoir calculer les intérêts dans ces cas. ??PQDéfinition 1.On appellesuite d"annuitésune succession de versements, pour créer ou rembourser un capital.

??PQ1.CARACTÉRISTIQUES D"UNE SUITE D"ANNUITÉSUne suite d"annuités est caractérisée par quatre élements :-Sapériodicité;-Lenombre de versements;-Lemontantde chaque versement;-Ladatede chaque versement.

??PQ1.1.Périodicité d"une suite d"annuités. sements consécutifs. La suite d"annuités estcertainesi la période est constante, c"est-à-dire si le temps qui sépare deux versements est toujours le même. Dans le cas contraire, la suite d"annuités estaléatoire. ??PQExemple1.Vous placez 20etous les mois sur un compte-épargne : la suite

d"annuités est certaine de période mensuelle.Exemple2.Vous faites un prêt sur un an, vous remboursez une partie après un

mois, une partie après trois mois et le reste après un an. La période est de un mois avant le premier versement, de deux mois entre le premier et le deuxième versement et de neuf mois entre le deuxième et le dernier versement. La suite d"annuités est aléatoire. ??PQ1.2.Nombre de versements d"une suite d"annuités.

Le nombre de versements d"une suite d"annuités peut-être :-Fini à échéance connue d"avance : la suite d"annuités est alorstemporaire;-Fini à échéance non connue d"avance : la suite d"annuités est alorsviagière;-Infini : la suite d"annuités est alorsperpétuelle.

??PQ1.3.Montant des versements d"une suite d"annuités.

Le montant de chaque versement s"appelle leterme.

tant, la suite d"annuités est diteconstante. Une suite d"annuités qui n"est pas constante est ditevariable. ??PQExemple3.Vous placez 20etous les mois sur un compte-épargne : la suite

d"annuités est constante de terme 20e.Exemple4.Vous placez 10ele 1erjanvier, 20ele 1erfévrier et 30ele 1ermars :

la suite d"annuités est variable. Le premier terme est 10e, le deuxième terme est 20eet le dernier terme est 30e. ??PQ1.4.Dates des versements d"une suite d"annuités. Si les versements débutent après la date d"origine, la suite d"annuités est dite différée. Si les versements débutent dès la première période, la suite d"annuités est dite non différée. ??PQExemple5.Vous empruntez 200ele 1erjanvier mais vous ne commencez les

remboursements qu"à partir du 31 mars : la suite d"annuités est différée.Exemple6.Vous empruntez 200ele 1erjanvier et commencez les rembourse-

ments le 31 janvier : la suite d"annuités est non différée. de début de périodeouà terme à échoir. Si les versements sont effectués enfinde période, la suite d"annuités est dite de fin de périodeouà terme échu. ??PQExemple7.Lorsque vous placez de l"argent à la banque, celle-ci ne vous verse

les intérêts qu"à la fin de l"année : la suite d"annuités est donc de fin de période.

??PQ2.VALEUR ACQUISE D"UNE SUITE D"ANNUITÉ CERTAINE TEMPORAIRE2.1.Méthode de calcul. Pendantnpériodes, on place endébut de périodeau taux d"intérêtipar pé-

riode les termes suivants-A0au début de la 1repériode;-A1au début de la 2epériode;-...-Anau début de lan+1epériode.0A0p ace1A1p ace2A2p ace3A3p acen-1An-1p acenAnp aceperi de1peri de2peri de3peri den

??PQ?La première somme placée,A0, produit des intérêts pendantnpériodes. Elle devient donc (1+i)nA0. ?La deuxième somme placée,A1, produit des intérêts pendantn-1 périodes.

Elle devient donc (1+i)n-1A1.

?La troisième somme placée,A2, produit des intérêts pendantn-2 périodes.

Elle devient donc (1+i)n-2A2.

?Lak-1esomme placée,Ak, produit des intérêts pendantn-kpériodes. Elle devient donc (1+i)n-kAk. ?L"avant dernière somme placée,An-1, produit des intérêts pendant 1 période.

Elle devient donc (1+i)An-1.

?La dernière somme placée,An, ne produit pas d"intérêt et demeureAn. ??PQLa valeur acquise totale est la somme de toutes les valeurs acquises des place- mentsA0,A1,...,An.

La valeur acquise totale est donc

V

On écrit

+Vn=n? k=0(1+i)n-kAk. Pour toutes les valeurs dekentre 0 etn, on calcule (1+i)n-kAkpuis on fait la somme de toutes les valeurs ainsi obtenues.

??PQExemple8.Sur trois périodes, on place au taux d"intérêt 2% par période-15een début de 1repériode;-20een début de 2epériode;-25een début de 3epériode;-30een début de 4epériode.

On a alors

i=0,02,n=3 et A

0=15,A1=20,A2=25,A3=30.

Le capital, en euros, dont on dispose en début de 4 epériode est alors 1,02

3×15+1,022×20+1,02×25+30

=15,91812+20,808+25,5+30 =92,23.

L"intérêt total est2,23e.

??PQExemple9.Sur trois périodes, on place au taux d"intérêt 2% par période-30een début de 1repériode;-25een début de 2epériode;-20een début de 3epériode;-15een début de 4epériode.

On a alors

i=0,02,n=3 et A

0=30,A1=25,A2=20,A3=15.

Le capital, en euros, dont on dispose en début de 4 epériode est alors 1,02

3×30+1,022×25+1,02×20+15

=31,83624+26,01+20,40+15 =93,25.

L"intérêt total est3,25e.

??PQ+On considère une suite d"annuités temporairescertainesau tauxipar pé- riode pendantnpériodes. On placeA0en début de 1repériode,A1en début de 2 epériode, etc,Anen début den+1epériode.

La valeur acquise est alors

V n=n? k=0(1+i)n-kAk.

??PQ2.2.Cas particulier des suites d"annuités constantes.2.2.1.Annuités de début de période.

en début de période et on veut calculer la valeur acquise enfindenepériode. Le versement de début den+1epériode n"est donc pas pris en compte : A

0=A1=···=An-1=aetAn=0.

??PQOn a alors V n=n-1? k=0(1+i)n-ka+0 =a(1+i)n+a(1+i)n-1+···+a(1+i). mier termea(1+i) et de raison 1+i. Ainsi V n=a(1+i)(1+i)n-1(1+i)-1. en début de période et on veut calculer la valeur acquise enfindenepériode : +Vn=a(1+i)(1+i)n-1i. ??PQ!

Toujours se poser la question :" Cherche-t"on la valeur acquise avant ou après le dernier versement? »

??PQ2.2.2.Annuités de fin de période. Les annuités sont supposées constantes, de terme égal àa. Le versement se fait en fin de période et on veut calculer la valeur acquise endébutden+1e période. Il n"y a pas de versement au début de la première période doncA0=0.

Tous les autres versements ont pour montanta.

A

0=0 etA1=···=An=a.

??PQOn a alors V n=0+n? k=1(1+i)n-ka mier termeaet de raison 1+i. Ainsi V n=a(1+i)n-1(1+i)-1. ??PQLes annuités sont supposées constantes, de terme égal àa. Le versement se fait en fin de période et on veut calculer la valeur acquise endébutden+1e période : +Vn=a(1+i)n-1i.

??PQ3.VALEUR ACTUELLE D"UNE SUITE D"ANNUITÉS CERTAINES TEMPORAIRES´On rappelle que la valeur actuelle d"une sommeAkest la somme placée

qui, après intérêt, produitAk. La valeur actuelle d"une suite d"annuitésA0,A1,...,Anest la sommeV0qu"on peut emprunter pour que la suite d"annuitésA0,A1,...,Anfinance l"emprunt, intérêt compris. La valeur actuelle d"une suite d"annuitésA0,A1,...,Anest la sommeV0répon- dant à la question : " Quelle sommeV0puis-je emprunter lors d"un emprunt que je rembourse en versantA0au début de la 1repériode,A1en début de 2epériode, etc,Anen début den+1epériode?» ??PQ3.1.Méthode de calcul. On emprunteV0et on rembourse immédiatementA0. Il reste donc à rembour- ser V 0-A0. Cette somme produit un intérêt : si on remboursait juste avant le versement de A

1, il faudrait donc rembourser

(V0-A0)(1+i)=V0(1+i)-A0(1+i). Après le versement deA1, il reste donc à rembourser V

0(1+i)-A0(1+i)-A1.

Cette somme produit un intérêt : si on remboursait juste avant le versement de A

2, il faudrait donc rembourser

Après le versement deA2, il reste donc à rembourser V

0(1+i)2-A0(1+i)2-A1(1+i)-A2.

??PQDe façon générale, après le versement deAk-1, il reste à rembourser V Cette somme produit un intérêt : si on remboursait juste avant le versement de A k, il faudrait donc rembourser V (1+i) Après le versement deAk, il reste donc à rembourser V En particulier, après le versement deAn, il reste à rembourser V ??PQPuisqueAnest le dernier versement, on veut que la somme qui reste à rem- bourser après ce versement soit nulle. On veut donc V c"est-à-dire V ou encore V

On écrit

+V0=n? k=0(1+i)-kAk. Pour toutes les valeurs dekentre 0 etn, on calcule (1+i)-kAkpuis on fait la somme de toutes les valeurs ainsi obtenues. ??PQExemple10.On souhaite emprunter au taux d"intérêt 2% par période. On peut

rembourser sur trois périodes,-15een début de 1repériode;-20een début de 2epériode;-25een début de 3epériode;-30een début de 4epériode.

On a alors

i=0,02,n=3 et A

0=15,A1=20,A2=25,A3=30.

La somme, en euros, empruntable grâce à ces remboursements est =15+19,6078+24,0292+28,2697 =86.91. ??PQ+On considère une suite d"annuités temporairescertainesau tauxipar pé- riode pendantnpériodes. On rembourseA0en début de 1repériode,A1en dé- but de 2 epériode, etc,Anen début den+1epériode. La somme empruntable (valeur actuelle) est alors V 0=n? k=0(1+i)-kAk.

´On se souvient que

A

0est la valeur actuelle deA0

A

1(1+i)-1est la valeur actuelle deA1...

A k(1+i)-kest la valeur actuelle deAk... A n(1+i)-nest la valeur actuelle deAn. La valeur actuelle est donc la sommedes valeurs actuelles de chaque rembour- sements.

??PQ3.2.Cas particulier des suites d"annuités constantes.3.2.1.Annuités de début de période.

Comme au §2.2.1, on a

A

0=···=An-1=aetAn=0.

On a alors

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