4 juil 2005 · Quelle est la valeur actuelle au taux d'actualisation de 6 d'une suite d'annuités constantes de 1 500 € versées à la fin de chaque année
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La valeur actuelle d'une suite d'annuités A0, A1, ,An est la somme V0 répon- dant à la question : « Quelle somme V0 puis-je emprunter lors d'un emprunt que
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nuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acqui e, d'une suite de flux Elle prend en considération la date du pre ité des flux, le nombre des flux et
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Dans ce contexte, la formule de calcul de la valeur actuelle d'un cash flow (3) Valeur actuelle d'une annuité constante, c'est-à-dire une suite finie de cash
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Calculer la valeur actuelle d'annuités : • Exemple : On verse chaque mois en début de mois une somme de 1 000 ¦ pendant 24 mois (taux d'actualisation : 0,5
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nir la formule de base qui permet le calcul de la valeur actuelle d'un montant unique: le facteur d'intérêt de la valeur actuelle d'une annuité de n périodes au
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en bien de période 0 : on dit encore que c'est la valeur actualisée en la valeur acquise et la valeur actuelle de cette série d'annuités, le taux étant de 8
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Déterminer la valeur acquise et la valeur actuelle de cette série d'annuités, le taux étant de 8 Exercice 10 Une personne souhaite se constituer un capital de
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4 juil 2005 · Quelle est la valeur actuelle au taux d'actualisation de 6 d'une suite d'annuités constantes de 1 500 € versées à la fin de chaque année
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![[PDF] (Actualisation dune suite dannuités) [PDF] (Actualisation dune suite dannuités)](https://pdfprof.com/Listes/17/25071-17ActualisationSuiteAnnuit.pdf.pdf.jpg)
1/6 04/07/05
Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes (Annuités payables en fin d"année)A) Énoncé du problème initial
Quelle est la valeur actuelle au taux d"actualisation de 6 % d"une suite d"annuités constantes de 1 500 €
versées à la fin de chaque année pendant 7 ans ?Ce problème peut correspondre à un revenu constitué d"un versement périodique régulier de 1 500 € à la fin de
chaque année pendant 7 ans. Au lieu de disposer de ce revenu dans les années à venir, on peut vouloir disposer
immédiatement de sa valeur actuelle.Rang de l"année de
versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité1 1 1 500×(1 + 0,06)- 1
2 2 1 500×(1 + 0,06)- 2
3 3 1 500×(1 + 0,06)- 3
4 4 1 500×(1 + 0,06)- 4
5 5 1 500×(1 + 0,06)- 5
6 6 1 500×(1 + 0,06)- 6
7 7 1 500×(1 + 0,06)- 7
La valeur actuelle de cette suite d"annuités constantes est donc : VA= 1 500×1,06- 7 + 1 500×1,06- 6 + 1 500×1,06- 5 + 1 500×1,06- 4 + 1 500×1,06- 3 + 1 500×1,06- 2 + 1 500×1,06- 1
Soit VA = 1 500×[1,06
- 7 + 1,06- 6 + 1,06- 5 + 1,06- 4 + 1,06- 3 +1,06- 2 + 1,06- 1]VA est la somme des termes d"une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme 1 500×1,06- 7.
Le choix d"une sommation de la valeur actuelle de rang 7 à celle de rang 1 évite la raison 1,06
- 1.D"où VA = 06,1106,1106,15001
77VA =
06,006,115001
7--´
VA » 8373,57
Généralisation
La situation précédente se généralise à la recherche de la valeur actuelle au taux d"actualisation i d"une suite
d"annuités constantes a versées à la fin de chaque année pendant n années. Rang de l"année de versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité1 1 a(1 + i)- 1
2 2 a(1 + i)- 2
n -1 n -1 a(1 + i)- (n-1) n n a(1 + i)- nVA = a[(1 + i)
- n + (1 + i)- (n-1) + ... + (1 + i)- 2 + (1 + i)- 1]VA est la somme des n termes d"une suite géométrique de raison (1 + i) et de premier terme a(1 + i)- n.
D"où VA = )1(1)1(1)1(iiia
n n - VA = iia n-+-)1(12/6 04/07/05
B) Activités sur tableur
a) Résolution du problème initialA B C D
1Valeur actuelle d"une suite d"annuités de 1 500 € versées en fin de chaque année pendant 7 ans
2au taux d"actualisation de 6 %
34Rang de l"année de versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité
5 1 1 1415,09
6 2 2 1334,99
7 3 3 1259,43
8 4 4 1188,14
9 5 5 1120,89
10 6 6 1057,44
11 7 7 997,59
12Somme :8373,57 b) Automatisation du calcul de la valeur actuelle en fonction du taux d"actualisation, du nombre
d"annuités et du montant de l"annuitéPar exemple, dans la feuille de calcul ci-dessous, le résultat cherché est obtenu dans la cellule D6 par la formule
C4*(1-(1+C2)^-
C3)/C2 qui dépend des cellules C4, C2 et C3.
A B C D E F
1 Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées en fin de chaque année2 Taux d"actualisation : 0,06
3 Nombre d"annuités : 7
4 Montant des annuités : 1500
5 6Valeur actuelle de la suite d"annuités constantes8373,57 € c) Construction d"une table financière
La feuille de calcul ci-dessous donne pour des taux d"actualisation i la valeur actuelle d"une suite d"annuités
constante de a € en fonction du nombre n d"annuités.A B C D E F G H I J K L
1Tableau : Valeur actuelle d"une suite de n annuités de a € payées en fin d"année : a×(1 - (1+i)
- n) / i 2 i : Taux d"actualisation 3 n : Nombre d"annuitésa =1500 € 4 5 n \ i4,00%4,20%4,40%4,60%4,80%5,00%5,20%5,40%5,60%5,80%6,00%617,00 1439,54 1436,78 1434,03 1431,30 1428,57 1425,86 1423,15 1420,45 1417,77 1415,09
722829,14 2821,06 2813,01 2805,00 2797,04 2789,12 2781,23 2773,39 2765,58 2757,82 2750,09
834162,64 4146,89 4131,23 4115,68 4100,23 4084,87 4069,61 4054,45 4039,38 4024,40 4009,52
945444,84 5419,28 5393,90 5368,72 5343,73 5318,93 5294,31 5269,87 5245,62 5221,55 5197,66
1056677,73 6640,38 6603,36 6566,66 6530,28 6494,22 6458,47 6423,03 6387,90 6353,07 6318,55
1167863,21 7812,27 7761,83 7711,91 7662,48 7613,54 7565,08 7517,11 7469,60 7422,56 7375,99
1279003,08 8936,91 8871,49 8806,80 8742,82 8679,56 8617,00 8555,13 8493,94 8433,438373,57
13810099,12 10016,23 9934,38 9853,53 9773,69 9694,82 9616,929539,97 9463,96 9388,87 9314,69
d) ApplicationUn organisme financier propose deux rentes versées en fin d"année, l"une de 1 000 € pendant 5 ans, l"autre de
600 € pendant 9 ans. Comparer les deux rentes au taux d"actualisation de 4,8 %.
3/6 04/07/05
Exemple de résolution
A B C D E F
1 Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées en fin de chaque année2 Taux d"actualisation : 0,048
3 Nombre d"annuités : 5
4 Montant des annuités : 1000
5 6 Valeur actuelle de la suite d"annuités constantes4353,52 €A B C D E F
1 Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées en fin de chaque année2 Taux d"actualisation : 0,048
3 Nombre d"annuités : 9
4 Montant des annuités : 600
5 6 Valeur actuelle de la suite d"annuités constantes4302,93 € Ainsi, au taux d"actualisation de 4,8 %, la première rente est plus avantageuse. Un autre taux pourrait donner une conclusion différente (exemple 4 %).C) Taux de rentabilité interne
Un entrepreneur investit 10 000 € dans un projet qui lui permettra de recevoir pendant 5 ans à la fin de chaque
année une annuité de 2 500 €. Quel est le taux d"actualisation tel que la valeur actuelle des annuités soit égale
à l"investissement initial ?
Il s"agit de résoudre l"équation
00010)1(15002
5 ii, où l"inconnue est le taux i. Ce problème pourrait conduire à l"étude de la fonction f, définie sur [;0]¥+, par iiif4)1(1)(5-+-=-. a) Utilisation du tableur pour des approximations successivesLa solution suivante prend appui sur l"usage du tableur et privilégie le choix d"un capital et d"un montant
d"annuité quelconques. Première étape : Encadrement du taux cherché.A B C D E F G H I J K L M N O
1Tableau : Valeur actuelle d"une suite de n annuités de a € payées en fin d"année : a×(1 - (1+i)- n) / i
2i : Taux d"actualisation
3n : Nombre d"annuitésa =2500 €
4 5 n \ i5,50% 5,70% 5,90% 6,10% 6,30% 6,50% 6,70% 6,90% 7,10% 7,30% 7,50% 7,70% 7,90% 8,10%612369,67 2365,18 2360,72 2356,27 2351,83 2347,42 2343,02 2338,63 2334,27 2329,92 2325,58 2321,26 2316,96 2312,67
724615,80 4602,82 4589,91 4577,07 4564,28 4551,57 4538,91 4526,32 4513,79 4501,32 4488,91 4476,57 4464,28 4452,06
836744,83 6719,80 6694,91 6670,19 6645,61 6621,19 6596,92 6572,80 6548,82 6525,00 6501,31 6477,78 6454,39 6431,13
948762,88 8722,61 8682,64 8642,96 8603,59 8564,50 8525,70 8487,18 8448,95 8410,99 8373,32 8335,91 8298,78 8261,92
10510675,71 10617,41 10559,62 10502,32 10445,52 10389,20 10333,36 10278,00 10223,11 10168,68 10114,71 10061,2010008,14 9955,52
11612488,83 12410,04 12332,03 12254,78 12178,29 12102,53 12027,52 11953,23 11879,65 11806,78 11734,62 11663,14 11592,34 11522,22
La feuille calcule les valeurs actuelles pour un nombre n d"annuités constantes a avec un pas du taux
d"actualisation de 0,2. On obtient l"encadrement : %10,8%90,7<A B C D E F G H I J K L M N O
1Tableau : Valeur actuelle d"une suite de n annuités de a € payées en fin d"année : a×(1 - (1+i)- n) / i
2i : Taux d"actualisation
3n : Nombre d"annuitésa =2500 €
4 5 n \ i7,90% 7,91% 7,92% 7,93% 7,94% 7,95% 7,96% 7,97% 7,98% 7,99% 8,00% 8,01% 8,02% 8,03%612316,96 2316,75 2316,53 2316,32 2316,10 2315,89 2315,67 2315,46 2315,24 2315,03 2314,81 2314,60 2314,39 2314,17
724464,28 4463,67 4463,06 4462,44 4461,83 4461,22 4460,61 4460,00 4459,38 4458,77 4458,16 4457,55 4456,94 4456,33
836454,39 6453,22 6452,05 6450,89 6449,72 6448,56 6447,40 6446,23 6445,07 6443,91 6442,74 6441,58 6440,42 6439,26
948298,78 8296,93 8295,08 8293,24 8291,39 8289,54 8287,69 8285,85 8284,00 8282,16 8280,32 8278,47 8276,63 8274,79
10510008,14 10005,50 10002,8610000,229997,58 9994,94 9992,31 9989,67 9987,04 9984,41 9981,78 9979,14 9976,52 9973,89 À 0,01 % près, le taux d"actualisation cherché est 7,93 %. C"est le Taux de Rentabilité Interne
(TRI) du projet. b) Utilisation de fonctions dédiées du tableurLa feuille de calcul suivante donne une solution qui utilise une fonction spécifique du tableur qui
calcule le taux de rentabilité interne. La formule en B6 est : TRI(B5:G5). La plage de cellules B5:G5
contient les " flux de trésorerie », l"investissement initial qui est une dépense - 10 000 €, et les
recettes de 2 500 € chaque année.L"étude peut alors être prolongée à deux autres projets pour le même investissement initial :
· Projet 2 : recettes de 4 500 € la première année et décroissance de 1 000 € par an les années
suivantes ;· Projet 3 : recettes de 500 € la première année et croissance de 1 000 € par an les années suivantes.
Il est alors possible de comparer ces trois projets d"investissement à partir de leur taux de rentabilité
interne.Une autre approche (à partir de la ligne 24) consiste à calculer les valeurs actuelles de chaque projet
en fonction du taux d"actualisation. Cette transformation de toutes les valeurs comptables en valeurs
actuelles donne la Valeur Actuelle Nette (VAN) que le tableur permet d"obtenir par une fonction spécifique. Par exemple, pour le projet 1, en C29 la formule utilisée est : VAN(B29;$C$5:$G$5)+$B$5. Pour le taux d"actualisation de la cellule B29, la fonction VAN calculela valeur actuelle de la suite d"annuités de la plage de cellules $C$5:$G$5. Il faut alors ajouter
l"investissement initial de - 10 000 € situé dans la cellule $B$5. La représentation graphique permet de retrouver les taux de rentabilité de chaque projet.5/6 04/07/05
A B C D E F G
1Projet 1
2Dates 0 1 2 3 4 5
3Investissement : -10000
4Annuité 2500 2500 2500 2500 2500
5Total -10000 2500 2500 2500 2500 2500
6Taux de rentabilité interne : 7,93%
78Projet 2
9Dates 0 1 2 3 4 5
10Investissement : -10000
11Annuité 4500 3500 2500 1500 500
12Total -10000 4500 3500 2500 1500 500
13Taux de rentabilité interne : 11,04%
1415Projet 3
16Dates 0 1 2 3 4 5
17Investissement : -10000
18Annuité 4500 3500 2500 1500 500
19Total -10000 500 1500 2500 3500 4500
20Taux de rentabilité interne : 6,12%
2122Calcul des Valeurs Actuelles Nettes des trois projets en fonction des taux d"actualisation
23Taux en % Projet 1 Projet 2 Projet 3
240% 2 500 2 500 2500
252% 1 784 1 970 1597
264% 1 130 1 479 781
276% 531 1 021 41
288%-18 595-631
2910%-523 197-1243
3012%-988 -176 -1801
3114%-1 417 -524 -2310
3216%-1 814 -851 -2777
3318%-2 182 -1 159 -3205
3435
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
Représentation graphique
Représentation des Valeurs Actuelles Nettes (VAN) -4000-3000-2000-100001000200030000% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18%
Taux VANProjet 1Projet 2Projet 3
TRI projet 1
TRI projet 2
TRI projet
36/6 04/07/05
D) Valeur actuelle d"une suite d"annuités versées au début de chaque annéeOn peut prolonger l"étude à la recherche de la valeur actuelle au taux d"actualisation i d"une suite d"annuités
constantes a versées au début de chaque année pendant n années. Rang de l"année de versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité1 0 a
2 1 a(1 + i)- 1
n -1 n -2 a(1 + i)- (n-2) n n -1 a(1 + i)- (n-1) VA = a[(1 + i)- (n-1) + (1 + i)- (n-2) + ... + (1 + i)- 1 + 1]VA est la somme des n termes d"une suite géométrique de raison (1 + i) et de premier terme a(1 + i)- (n-1) .
D"où VA = )1(1)1(1)1(
1 iiia n n VA = )1(1)1()1(iiiia n n VA = )1()1(1iiia n E) Solde libératoire d"une rente perpétuelleLorsqu"un organisme financier doit verser " à vie », à la fin de chaque année, une rente d"un montant constant,
on parle de rente perpétuelle. Un taux d"actualisation étant fixé, celui-ci peut alors chercher à obtenir le capital
minimal qu"il doit verser pour se libérer de sa dette. Ce capital est la valeur actuelle de la rente perpétuelle
ou rente perpétuelle immédiate.Ce capital peut être considéré comme la valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées à la fin de
chaque année dont le nombre est infini. C"est la limite lorsque n tend vers l"infini de la valeur
actuelle iia n-+-)1(1. C"est-à-dire ia.Exemple : Quelle est au taux d"actualisation de 5 % le solde libératoire d"une rente perpétuelle de 1 000 €
versée en fin de chaque année ?quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35