16 juil 2015 · 2 Rappels et compléments sur les limites 19 2 1 Limite finie d'une fonction en un point x0 de R 19 2 1 1 Voisinage
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Math 101 : Calculus
Université Paris-Sud Orsay
Notes de cours
J.-C. Léger, F. Menous, C. Pallard, D. Le Peutrec16 juillet 2015
Table des matières
1 Rappels et compléments sur les fonctions réelles 7
1.1 Fonctions réelles d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.1.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.1.4 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.1.5 Fonction injective, surjective et bijective; fonction réciproque . . . . . . . .
152 Rappels et compléments sur les limites 19
2.1 Limite finie d"une fonction en un pointx0deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.1.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202.1.3 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.1.4 DL à l"ordre0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.2.1 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.2.2 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.2.3 Quelques résultats utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.2.4 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.2.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2.6 Limites à droite et à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.3 Limites en+1, en1et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.3.1 Voisinages de l"infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272.3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272.3.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282.3.4 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282.3.5 Quelques remarques finales concernant les opérations . . . . . . . . . . . . .
293 Continuité31
3.1 Fonction continue enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.1.2 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.1.3 Continuité à droite et à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
3.1.4 Quelques théorèmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323.2 Fonction continue sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343.2.3 Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : version 1 . . . . . . . . . . .
343.2.4 TVI : version 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
3.2.5 TVI : version 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.2.6 Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353.3 Preuve du théorème 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.1 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.2 Le principe de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364 Dérivabilité39
4.1 Dérivée en un point et interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394.1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394.1.3 Tangente verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
404.1.4 DL d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
4.1.5 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414.1.6 Dérivabilité à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414.1.7 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414.1.8 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414.2 Fonction dérivable sur un intervalle, fonction de classeC1sur un intervalle . . . . .42
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
424.2.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434.3 Dérivées d"ordren, fonctions de classeCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
4.4 Utilisation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454.4.1 Extrema et points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454.4.2 Le lemme de Rolle et le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . .
464.4.3 Croissance d"une fonction et signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . .
464.4.4 Prolongement de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
484.4.5 L"inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
485 Fonctions réciproques 51
5.1 Rappels et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515.1.1 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515.1.2 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515.1.3 Bijections et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
525.1.4 Composées de bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
525.2 Propriétés de régularité des fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
535.2.1 Le théorème de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
535.2.2 Détermination de l"intervalle image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
535.2.3 Le théorème de dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
545.3 Les fonctions racinen-ième,npx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
5.3.1 Rappel : Les fonctions " puissance » d"exposant entier . . . . . . . . . . . .
545.3.2 Le casnimpair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
5.3.3 Le casnpair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
5.3.4 Puissances rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
565.4 Les fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585.4.1 Rappels : fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .
585.4.2 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
595.4.3 Exponentielles et logarithmes de basea >0, les fonctions puissancesx7!x
avec2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605.5 Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
605.5.1 La fonctionarctan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
5.5.2 La fonctionarcsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
5.5.3 La fonctionarccos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
5.6 Transformation polaires/cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
634
6 Primitives et Intégrales 67
6.1 Primitives : définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
676.2 Intégrale de Riemann d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.2.1 Sommes de Darboux et intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.2.2 Propriétés fondamentales de l"intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . .
736.2.3 Intégrale d"une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . .
776.3 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
786.3.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
786.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
796.3.3 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
826.3.4 Intégration des polynômes et fractions rationnelles encosetsin. . . . . . .88
7 Développements limités 95
7.1 Formules de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
957.1.1 Formule de Taylor avec reste intégral à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . .
957.1.2 Formule de Taylor avec reste intégral à l"ordren1. . . . . . . . . . . . .96
7.2 Formules de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
977.2.1 A l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
977.2.2 A l"ordren0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
7.2.3 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
987.2.4 Formule de Taylor-Young enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
7.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1007.3.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1007.3.2 Calculs directs de développement limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1017.3.3 Utilisation des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1048 Nombres complexes, fonctions à valeurs complexes 109
8.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1098.2 Fonctions de variable réelle à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1118.3 La fonctionez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
8.3.1eix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
8.3.2ez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
8.4 Application au calcul de primitives ou d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 159 Équations différentielles linéaires 117
9.1 Équations différentielles linéaires d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
9.1.1 Équations différentielles linéaires homogènes d"ordre1. . . . . . . . . . . .117
9.1.2 Équations différentielles linéaires d"ordre1avec second membre . . . . . . .118
9.2 Équations différentielles linéaires d"ordre2à coefficients constants . . . . . . . . .119
10 Courbes paramétrées planes 121
10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12110.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12110.1.2 Vecteur vitesse et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12210.1.3 Distance parcourue entre deux instants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12310.2 Exemples de tracés - coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12410.2.1 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12410.2.2x(t) = 3t22,y(t) = 3tt3,t2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
10.2.3x(t) = sint,y(t) = sin2t,t2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
10.2.4x(t) =t2,y(t) =t3,t2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
10.3 Exemples de tracés - coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2910.3.1 Courbes en polaires : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12910.3.2 La cardioïde :r= 2(1cos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1
10.3.3 Coniques en polaires :r=p1+ecos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
511 Fonctions réelles de deux variables réelles 137
11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13711.1.1 Fonctions, ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13711.1.2 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13811.1.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13911.1.4 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13911.1.5 Lignes de niveaux des fonctions quadratiques : une classification . . . . . .
14011.2 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14711.2.1 Boules, voisinages et parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14711.2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14711.2.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14911.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14911.3.1 DL d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14911.3.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15011.3.3 Fonctions de classeC1sur un ouvert du plan . . . . . . . . . . . . . . . . .152
11.3.4 Dérivées d"ordre2et DL d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
11.4 Dérivation des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15511.4.1 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15511.4.2 Gradient et tangentes aux lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15611.4.3 Le théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15611.5 Recherche d"extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15811.5.1 Extrema locaux et points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15811.5.2 Conditions suffisantes à l"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6 Chapitre1Rappels et compléments sur les fonctions réelles1.1 Fonctions réelles d"une variable réelle
1.1.1 Définitions
Commençons par une définition informelle : nous avons à disposition deux ensembles de nombres réels, deux parties deR, l"ensemble de tous les nombres réels,DetA. Une fonction,f, deDversAest un " objet mathématique » qui, à tout nombre, tout élément deDassocie ou
fait correspondre un unique élément deA.1.Dest appeléensemble de départ,sourceoudomaine de définitionde la fonctionf.
2.Aest appeléensemble d"arrivéeoubutde la fonctionf.
3. Si xest un élément deD, on notef(x)l"élément deAassocié àxpar la fonctionf. Cetélémentf(x)est appeléimagedexparf.
4. On app elleantécédentd"un élémenty2Aparftout élémentx2Dtel quef(x) =y. 5. On app elleimage defl"ensemble des images parfdes éléments deD, i.e. l"ensemble des élémentsf(x)pourx2D, ou encore l"ensemble des éléments deAqui admettent un antécédent parf: AImf=f(D) =ff(x);x2Ag=fy2Atels que9x2D; f(x) =yg1:Exemples et Remarques
1. La fonction fest " de variable réelle » car le domaine dans lequel varie son argument, sa sourceD, est une partie deR. Elle est " à valeurs réelles » car son butAest une partie de R. 2. Si on écrit " Soit une fonction f:D!A... », on entend par là " Considérons une fonctionf, dont l"ensemble de départ estDet l"ensemble d"arrivée estA», et, à moins que ce ne soit
précisé ultérieurement, cette fonction n"a aucune propriété particulière hormis le fait d"être
un objet qui satisfait à notre définition informelle. 3. Soulignons que si f:D!Aest une fonction, sixest un nombre n"appartenant pas àD alorsf(x)n"est pas défini. Par exemple, si on écrit " Soit la fonctionf: [0;1]!Rdéfinie parf(x) = 2x21pour toutx2[0;1]», on considère un objet mathématique uniquement défini :lafonctionf, dont l"ensemble de départ est l"intervalle[0;1], l"ensemble d"arrivéeestRtout entier et qui associe à tout élémentxde[0;1]l"unique nombre réel calculé par la
formule ci-avant. En particulier,f(2)n"a pas de sens même si2221en a un.1. le quantificateur logique "9» signifie " il existe ».
74.L"ensem blede définition est souv entdéduit de la form ulede f(x)lorsque celle-ci est donnée
(en tenant compte que toute division par0est interdite, qu"une racine carrée doit avoir un argument positif ou nul, etc.). Exemple :DonnerDfle domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =p1x2x Il est sous-entendu : " quel est le plus grand sous-ensemble deRsur lequel on peut définirf par cette formule? » Ici, D f=x2Rt.q.x6= 0et1x20=fx2Rt.q.x6= 0etx2[1;1]g= [1;0[[]0;1]:1.1.2 Graphes
Définition 1Soitf:D!Aune fonction réelle de variable réelle. Son graphe est la partieGde l"ensemble-produit2DAdéfinie par
G=f(x;f(x));x2Dg=f(x;y)2DA; y=f(x)g
Gest donc l"ensemble detousles couples possibles formés d"une valeurxprise dansDet de son imagef(x). Gest une partie de l"ensembleDAqui est lui-même une partie deRR=R2. On représentegraphiquement (une partie de)R2sur une feuille quadrillée de la façon que vous connaissez bien : le
couple de réels(x;y)est représenté par le point de coordonnées(x;y)relativement au quadrillage.
L"usage veut que l"axe des abscisses (coordonnéex) soit représenté horizontalement, orienté de
la gauche vers la droite et que l"axe des ordonnées (coordonnéey) soit représenté verticalement,
orienté du bas vers le haut. Certaines situations peuvent forcer à adopter d"autres conventions.
-1.5 -1-0.500.511.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 xyy=f(x) Figure1.1 - Représentation du graphe def: [0;1]!R,x7!2:x21 En retournant notre manche, on peut maintenant préciser l"" objet mathématique3» dont
nous parlions dans la définition informelle de fonction.2.DAest l"ensemble de tous les couples(x;y)pouvant être formés avec une valeurxdansDet une valeury
dansA.3. Assez curieusement, quasiment tous les objets mathématiques peuvent être vus comme des ensembles, y
compris les nombres... 8 Définition 2SoientDetAdeux parties deR, une fonctionfdeDversAest une partieGdeDAayant la propriété suivante :
Pour toutx2D, il existe un uniquey2Atel que(x;y)2G.L"astuce réside en ceci, qu"étant donnée une telle partieG, on peut définir, pourx2D,f(x)
comme étant l"uniquey2Atel que(x;y)2G. On a alors défini sans ambiguïté une fonction f:D!A. Il s"avère a posteriori queGest le graphe def. Ce que dit la définition, c"est très exactement qu"une fonctionf, c"est son graphe. L"usage montre cependant qu"utiliser le graphe de la fonction est assez malcommode alors que la notation f(x)est très parlante. -2 -1012 -2 -1 0 1 2 xyFigure1.2 - Ceci n"est pas le graphe d"une fonctiony=f(x): certaines verticales coupent l"ensemble en plus de deux points