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Math 101 : Calculus

Université Paris-Sud Orsay

Notes de cours

J.-C. Léger, F. Menous, C. Pallard, D. Le Peutrec

16 juillet 2015

Table des matières

1 Rappels et compléments sur les fonctions réelles 7

1.1 Fonctions réelles d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.5 Fonction injective, surjective et bijective; fonction réciproque . . . . . . . .

15

2 Rappels et compléments sur les limites 19

2.1 Limite finie d"une fonction en un pointx0deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.1.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.3 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.4 DL à l"ordre0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.3 Quelques résultats utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.4 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.6 Limites à droite et à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.3 Limites en+1, en1et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.3.1 Voisinages de l"infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.4 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.5 Quelques remarques finales concernant les opérations . . . . . . . . . . . . .

29

3 Continuité31

3.1 Fonction continue enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.2 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.3 Continuité à droite et à gauche enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.1.4 Quelques théorèmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2 Fonction continue sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.3 Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : version 1 . . . . . . . . . . .

34

3.2.4 TVI : version 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
3

3.2.5 TVI : version 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

3.2.6 Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3 Preuve du théorème 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.1 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.2 Le principe de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4 Dérivabilité39

4.1 Dérivée en un point et interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.3 Tangente verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.1.4 DL d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.1.5 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.1.6 Dérivabilité à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.1.7 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.1.8 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2 Fonction dérivable sur un intervalle, fonction de classeC1sur un intervalle . . . . .42

4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.2.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.3 Dérivées d"ordren, fonctions de classeCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

4.4 Utilisation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.4.1 Extrema et points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.4.2 Le lemme de Rolle et le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . .

46

4.4.3 Croissance d"une fonction et signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.4.4 Prolongement de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.4.5 L"inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5 Fonctions réciproques 51

5.1 Rappels et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.1.1 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.1.2 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.1.3 Bijections et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.1.4 Composées de bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.2 Propriétés de régularité des fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2.1 Le théorème de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2.2 Détermination de l"intervalle image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2.3 Le théorème de dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.3 Les fonctions racinen-ième,npx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

5.3.1 Rappel : Les fonctions " puissance » d"exposant entier . . . . . . . . . . . .

54

5.3.2 Le casnimpair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.3.3 Le casnpair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

5.3.4 Puissances rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.4 Les fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.4.1 Rappels : fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.4.2 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.4.3 Exponentielles et logarithmes de basea >0, les fonctions puissancesx7!x

avec2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

5.5 Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.5.1 La fonctionarctan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

5.5.2 La fonctionarcsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

5.5.3 La fonctionarccos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

5.6 Transformation polaires/cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63
4

6 Primitives et Intégrales 67

6.1 Primitives : définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.2 Intégrale de Riemann d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.2.1 Sommes de Darboux et intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.2.2 Propriétés fondamentales de l"intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . .

73

6.2.3 Intégrale d"une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . .

77

6.3 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

6.3.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

6.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

6.3.3 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

6.3.4 Intégration des polynômes et fractions rationnelles encosetsin. . . . . . .88

7 Développements limités 95

7.1 Formules de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

7.1.1 Formule de Taylor avec reste intégral à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . .

95

7.1.2 Formule de Taylor avec reste intégral à l"ordren1. . . . . . . . . . . . .96

7.2 Formules de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

7.2.1 A l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

7.2.2 A l"ordren0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

7.2.3 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

7.2.4 Formule de Taylor-Young enx0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

7.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

7.3.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

7.3.2 Calculs directs de développement limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

7.3.3 Utilisation des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

8 Nombres complexes, fonctions à valeurs complexes 109

8.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

8.2 Fonctions de variable réelle à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

8.3 La fonctionez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

8.3.1eix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

8.3.2ez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

8.4 Application au calcul de primitives ou d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 15

9 Équations différentielles linéaires 117

9.1 Équations différentielles linéaires d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

9.1.1 Équations différentielles linéaires homogènes d"ordre1. . . . . . . . . . . .117

9.1.2 Équations différentielles linéaires d"ordre1avec second membre . . . . . . .118

9.2 Équations différentielles linéaires d"ordre2à coefficients constants . . . . . . . . .119

10 Courbes paramétrées planes 121

10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

10.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

10.1.2 Vecteur vitesse et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

10.1.3 Distance parcourue entre deux instants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

10.2 Exemples de tracés - coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

10.2.1 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

10.2.2x(t) = 3t22,y(t) = 3tt3,t2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

10.2.3x(t) = sint,y(t) = sin2t,t2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

10.2.4x(t) =t2,y(t) =t3,t2R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

10.3 Exemples de tracés - coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 29

10.3.1 Courbes en polaires : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

10.3.2 La cardioïde :r= 2(1cos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1

10.3.3 Coniques en polaires :r=p1+ecos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

5

11 Fonctions réelles de deux variables réelles 137

11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

11.1.1 Fonctions, ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

11.1.2 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

11.1.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

11.1.4 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

11.1.5 Lignes de niveaux des fonctions quadratiques : une classification . . . . . .

140

11.2 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

11.2.1 Boules, voisinages et parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

11.2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

11.2.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

11.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

11.3.1 DL d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

11.3.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

11.3.3 Fonctions de classeC1sur un ouvert du plan . . . . . . . . . . . . . . . . .152

11.3.4 Dérivées d"ordre2et DL d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

11.4 Dérivation des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

11.4.1 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

11.4.2 Gradient et tangentes aux lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

11.4.3 Le théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

11.5 Recherche d"extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

11.5.1 Extrema locaux et points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

11.5.2 Conditions suffisantes à l"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

6 Chapitre1Rappels et compléments sur les fonctions réelles

1.1 Fonctions réelles d"une variable réelle

1.1.1 Définitions

Commençons par une définition informelle : nous avons à disposition deux ensembles de nombres réels, deux parties deR, l"ensemble de tous les nombres réels,DetA. Une fonction,

f, deDversAest un " objet mathématique » qui, à tout nombre, tout élément deDassocie ou

fait correspondre un unique élément deA.

1.Dest appeléensemble de départ,sourceoudomaine de définitionde la fonctionf.

2.Aest appeléensemble d"arrivéeoubutde la fonctionf.

3. Si xest un élément deD, on notef(x)l"élément deAassocié àxpar la fonctionf. Cet

élémentf(x)est appeléimagedexparf.

4. On app elleantécédentd"un élémenty2Aparftout élémentx2Dtel quef(x) =y. 5. On app elleimage defl"ensemble des images parfdes éléments deD, i.e. l"ensemble des élémentsf(x)pourx2D, ou encore l"ensemble des éléments deAqui admettent un antécédent parf: AImf=f(D) =ff(x);x2Ag=fy2Atels que9x2D; f(x) =yg1:

Exemples et Remarques

1. La fonction fest " de variable réelle » car le domaine dans lequel varie son argument, sa sourceD, est une partie deR. Elle est " à valeurs réelles » car son butAest une partie de R. 2. Si on écrit " Soit une fonction f:D!A... », on entend par là " Considérons une fonction

f, dont l"ensemble de départ estDet l"ensemble d"arrivée estA», et, à moins que ce ne soit

précisé ultérieurement, cette fonction n"a aucune propriété particulière hormis le fait d"être

un objet qui satisfait à notre définition informelle. 3. Soulignons que si f:D!Aest une fonction, sixest un nombre n"appartenant pas àD alorsf(x)n"est pas défini. Par exemple, si on écrit " Soit la fonctionf: [0;1]!Rdéfinie parf(x) = 2x21pour toutx2[0;1]», on considère un objet mathématique uniquement défini :lafonctionf, dont l"ensemble de départ est l"intervalle[0;1], l"ensemble d"arrivée

estRtout entier et qui associe à tout élémentxde[0;1]l"unique nombre réel calculé par la

formule ci-avant. En particulier,f(2)n"a pas de sens même si2221en a un.1. le quantificateur logique "9» signifie " il existe ».

7

4.L"ensem blede définition est souv entdéduit de la form ulede f(x)lorsque celle-ci est donnée

(en tenant compte que toute division par0est interdite, qu"une racine carrée doit avoir un argument positif ou nul, etc.). Exemple :DonnerDfle domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =p1x2x Il est sous-entendu : " quel est le plus grand sous-ensemble deRsur lequel on peut définirf par cette formule? » Ici, D f=x2Rt.q.x6= 0et1x20=fx2Rt.q.x6= 0etx2[1;1]g= [1;0[[]0;1]:

1.1.2 Graphes

Définition 1Soitf:D!Aune fonction réelle de variable réelle. Son graphe est la partieGde l"ensemble-produit

2DAdéfinie par

G=f(x;f(x));x2Dg=f(x;y)2DA; y=f(x)g

Gest donc l"ensemble detousles couples possibles formés d"une valeurxprise dansDet de son imagef(x). Gest une partie de l"ensembleDAqui est lui-même une partie deRR=R2. On représente

graphiquement (une partie de)R2sur une feuille quadrillée de la façon que vous connaissez bien : le

couple de réels(x;y)est représenté par le point de coordonnées(x;y)relativement au quadrillage.

L"usage veut que l"axe des abscisses (coordonnéex) soit représenté horizontalement, orienté de

la gauche vers la droite et que l"axe des ordonnées (coordonnéey) soit représenté verticalement,

orienté du bas vers le haut. Certaines situations peuvent forcer à adopter d"autres conventions.

-1.5 -1-0.500.511.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 xyy=f(x) Figure1.1 - Représentation du graphe def: [0;1]!R,x7!2:x21 En retournant notre manche, on peut maintenant préciser l"" objet mathématique

3» dont

nous parlions dans la définition informelle de fonction.2.DAest l"ensemble de tous les couples(x;y)pouvant être formés avec une valeurxdansDet une valeury

dansA.

3. Assez curieusement, quasiment tous les objets mathématiques peuvent être vus comme des ensembles, y

compris les nombres... 8 Définition 2SoientDetAdeux parties deR, une fonctionfdeDversAest une partieGde

DAayant la propriété suivante :

Pour toutx2D, il existe un uniquey2Atel que(x;y)2G.

L"astuce réside en ceci, qu"étant donnée une telle partieG, on peut définir, pourx2D,f(x)

comme étant l"uniquey2Atel que(x;y)2G. On a alors défini sans ambiguïté une fonction f:D!A. Il s"avère a posteriori queGest le graphe def. Ce que dit la définition, c"est très exactement qu"une fonctionf, c"est son graphe. L"usage montre cependant qu"utiliser le graphe de la fonction est assez malcommode alors que la notation f(x)est très parlante. -2 -1012 -2 -1 0 1 2 xyFigure1.2 - Ceci n"est pas le graphe d"une fonctiony=f(x): certaines verticales coupent l"ensemble en plus de deux points

1.1.3 Fonctions usuelles

1.FonctionIdA:siAest une partie deR, il s"agit de la fonctionIdA:A!R

x7!x.

Par exemple,Id[12

;32 ]:A!R x7!xa pour graphe :

2.Fonction constantecA:siAest une partie deRetc2R, il s"agit de la fonction constante

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