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Exercice 13 *IT Etudier la dérivabilité à droite en 0 de la fonction f : x ↦→ cos √ x Correction ▽ [005419] Exercice 14 ** Soit P un polynôme réel de degré 

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Exercices : Fonctions d'une variable réelle Exercice 1 Soit f : [0,1] → [0,1] continue Montrer que f admet un point fixe Exercice 2 Soit I un intervalle de R et f : I 

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Exercice 8 Continuité d'une fonction 8 Évaluation formative 16 A Limite d'une fonction Une partie est un voisinage de s'il contient un intervalle ouvert de

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Exercice 1 : D'apr`es le concours d'inspecteur des impôts, épreuve 2, 2007 On consid`ere la fonction h de la variable numérique x définie par : h(x) = x − 1 − ln ( 

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Fonction numériques d'une variable réelle a) Définitions, notions de b) Calcul incertitude 3 Exercices corrigés b) Calcul incertitude 3 Exercices corrigés

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Allez à : Correction exercice 2 : On désigne par l'application de [0,2] dans ℝ, définie pour tout ∈ [0,2] par : On considère une fonction :ℝ → ℝ dérivable en tout réel rien, on va faire un changement de variable = 1

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Tracer le graphe de Aller à : Correction exercice 29 Exercice 30 Soit la fonction d'une variable réelle définie par : ( ) = 3 + 4sh( ) ch( )

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Etudier la continuité de cette fonction Exercice 4 Soit D une partie dense de R 1 Soit f : R −→ R continue 

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Exo7 Fonctions réelles d"une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions) * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***Soitf2C1([a;b];R)telle quef(b)f(a)ba=supff0(x);x2[a;b]g. Montrer quefest affine. D n+1(]a;b[;R). Montrer qu"il existec2]a;b[tel que f(b) =nå k=0f (k)(a)k!(ba)k+(ba)n+1f(n+1)(c)(n+1)!:

Indication. Appliquer le théorème de ROLLEà la fonctiong(x) =f(b)ånk=0f(k)(x)k!(bx)kA(bx)n+1(n+1)!oùA

est intelligemment choisi. f(b) =f(a)+ba2 (f0(a)+f0(b))f(3)(c): Indication. Appliquer le théorème de ROLLEàg0puisgoùg(x)=f(x)f(a)xa2 (f0(x)+f0(a))A(xa)3 oùAest intelligemment choisi. Que devient cette formule si on remplacefparFune primitive d"une fonctionfde classeC1sur[a;b]et deux fois dérivable sur]a;b[? Interprétez géométriquement.

à droite et à gauche en tout point deI.

1. Montrer quexa11::xann6a1x1+:::+anxn. En déduire quenpx

1:::xn6x1+:::+xnn

2. Soient petqdeux réels strictement positifs tels que1p +1q =1. (a) Montrer que, pour tous réels aetbpositifs ou nuls,ab6app +bqq avec égalité si et seulement si a p=bq. 1 (b)Soient a1,...,anetb1,...,bn, 2nnombres complexes. Montrer que : nå k=1a kbk

6nå

k=1jakbkj6 nå k=1jakjp!

1=p nå

k=1jbkjq! 1=q (Inégalité de HÖLDER): (c) Montrer que la fonction x7!xpest convexe et retrouver ainsi l"inégalité de HÖLDER. (d) T rouverunedémonstrationdirecteetsimpledanslecasp=q=2(inégalitéde CAUCHY-SCHWARZ). 1. Déterminer le de gréet le coef ficientdominant de Ln. 2.

En étudiant le polynôme An= (X21)n, montrer queLnadmetnracines réelles simples et toutes dans

]1;1[. xnul. Montrer qu"il existe un point distinct deOde la courbe représentative defen lequel la tangente passe par

l"origine. Ivérifiantf0(a)Montrer qu"il e xisteh>0 tel quef(a+h)f(a)h 8x2R;f(x)f00(x)6(f0(x))2(Indication. Appliquer la formule de TAYLOR-LAPLACEentrexetx+ypuis entrexetxy). 1. Montrer que si Pn"a que des racines simples et réelles, il en est de même deP0. 2. Montrer que si Pest scindé surR, il en est de même deP0.

SoitD:[a;b]!R

x7! f(a)f(b)f(x) g(a)g(b)g(x) 1 1 1 1. Montrer que Dest continue sur[a;b], dérivable sur]a;b[et calculer sa dérivée. 2. En déduire qu"il e xistecdans]a;b[tel que(g(b)g(a))f0(c) = (f(b)f(a))g0(c). +3. En remarquant quef(x2 +3) =f(x)2 +3, montrer quef0est constante puis déterminerf. (Indication. Considérerg(x) =exf(x)). 3

1)u0>1 et8n2N;un+1=p1+un;2)u0>1 et8n2N;un+1=ln(1+un)

Correction del"exer cice1 Nf

0est continue sur le segment[a;b]et donc est bornée sur ce segment. SoitM=supff0(x);x2[a;b]g, et soit

gla fonction affine qui prend les mêmes valeurs quefenaetb(c"est-à-dire8x2[a;b];g(x) =f(b)f(a)ba(x

a)+f(a) =) puish=fg. On va montrer queh=0 sous l"hypothèseM=f(b)f(a)ba. hest dérivable sur[a;b]et, pourx2[a;b],h0(x) =f0(x)f(b)f(a)ba=f0(x)M60.hest donc décroissante sur[a;b]. Par suite,8x2[a;b];0=h(b)6h(x)6h(a) =0. Ainsi,8x2[a;b];h(x) =0, ou encoref=g.f

est donc affine sur[a;b].Correction del"exer cice2 NOnadéjàg(b)=f(b)f(b)=0. Puisquea6=b, onpeutchoisirAtelqueg(a)=0(àsavoirA=(n+1)!(ba)n+1(f(b)

nk=0f(k)(a)k!(ba)k).

Avec les hypothèses faites surf,gest d"autre part continue sur[a;b]et dérivable sur]a;b[. Le théorème de

ROLLEpermet alors d"affirmer qu"il existec2]a;b[tel queg0(c) =0.

Pourx2]a;b[, on a

g

0(x) =nå

k=0f (k+1)(x)k!(bx)k+nå k=1f (k)(x)(k1)!(bx)k1+A(bx)nn! =nå k=0f (k+1)(x)k!(bx)k+n1å k=0f (k+1)(x)k!(bx)k+A(bx)nn!=nå k=0f (n+1)(x)n!(bx)n+A(bx)nn! (bx)nn!(Af(n+1)(x)): Ainsi, il existec2]a;b[tel que(bc)nn!(Af(n+1)(c)) =0, et donc, puisquec6=b, tel queA=f(n+1)(c).

L"égalitég(a) =0 s"éxrit alors

f(b) =nå k=0f (k)(a)k!(ba)k+(ba)n+1f(n+1)(c)(n+1)!; pour un certain réelcde]a;b[.Correction del"exer cice3 NPourx2[a;b], posonsg(x) =f(x)f(a)xa2 (f0(x)+f0(a))A(xa)3oùAest choisi de sorte queg(b) = g(a) =0 (c"est-à-direA=1(ba)3(f(b)f(a)ba2 (f0(b)+f0(a))). f2C2([a;b];R)\D3(]a;b[;R)et doncg2C1([a;b];R)\D2(]a;b[;R). Pourx2[a;b], on a : g

0(x) =f0(x)12

(f0(x)+f0(a))xa2 f00(x)3A(xa)2; puis g

00(x) =12

f00(x)12 f00(x)xa2 f(3)(x)6A(xa) =xa2 (12Af(3)(x)):

gest continue sur[a;b], dérivable sur]a;b[et vérifie de plusg(a)=g(b). Donc, d"après le théorème de ROLLE,

il existed2]a;b[tel queg0(d) =0. De même,g0est continue sur[a;d][a;b], dérivable sur]a;d[(6=/0)et

vérifie de plusg0(a) =g0(d)(=0). D"après le théorème de ROLLE, il existec2]a;d[]a;b[tel queg00(c) =0

ou encore tel queA=112 f(3)(c)(puisquec6=a). En écrivant explicitement l"égalitég(b) =0, on a montré que :

9c2]a;b[=f(b) =f(a)+ba2

(f0(b)+f0(a))112 f(3)(c)(ba)3:

Sif2C1([a;b];R)\D2(]a;b[;R)et siFest une primitive defsur[a;b], la formule précédente s"écrit :

5 Z b af(t)dt=F(b)F(a)=ba2 (F0(b)+F0(a))112

F(3)(c)(ba)3=ba2

(f(b)+f(a))112 f00(c)(ba)3:

Donc, sif2C1([a;b];R)\D2(]a;b[;R),

9c2]a;b[=Z

b af(t)dt=ba2 (f(b)+f(a))112 f00(c)(ba)3:

Interprétation géométrique.

Sifest positive,A1=Rb

af(t)dtest l"aire du domaineD=fM(x;y)2R2=a6x6bet 06y6f(x)getA2= ba2 (f(b)+f(a))est l"aire du trapèzea 0 b 0 b f(b) a f(a) . SiM2=supfjf00(x)j;x2[a;b]g existe dansR, on a : jA1A2j6M2(ba)312

:a?Correction del"exer cice4 NSupposons quefest convexe sur un intervalle ouvertI=]a;b[(aetbréels ou infinis).

Soitx02I. On sait que la fonction pente enx0est croissante.

Pourx6=x0, posonsg(x) =f(x)f(x0)xx0. Soitx0un élément de]x0;b[.8x2]a;x0[, on ag(x)

quegest majorée au voisinage dex0à gauche. Etant croissante,gadmet une limite réelle quandxtend versx0

par valeurs inférieures ou encore, lim x!x0;xFinalement,fest dérivable à droite et à gauche en tout point de]a;b[. En particulier,fest continue à droite et

à gauche en tout point de]a;b[et donc continue sur]a;b[.Correction del"exer cice5 N1.La fonction f:x7!lnxest deux fois dérivable sur]0;+¥[et, pourx>0,f00(x) =1x

2<0. Par suite,

fest concave sur]0;+¥[. On en déduit que : k=1a k=1)ln(nå k=1a kxk)>nå k=1a kln(xk); et donc par croissance defsur]0;+¥[, nÕ k=1xakk6nå k=1a kxk: 6 Si l"un desxkest nul, l"inégalité précédente est immédiate.

En choisissant en particuliera1=:::=an=1n

, de sorte que(a1;:::;an)2(]0;1[)net queånk=1ak=1, on obtient

8n2N;8(x1;:::;xn)2([0;+¥[)n;npx

1:::xn61n

(x1+:::+xn): 2. (a) Soient petqdeux réels strictement positifs vérifiant1p +1q =1 (de sorte que l"on a même1p 1p +1q =1 et doncp>1 et aussiq>1). Sia=0 oub=0, l"inégalité proposée est immédiate. Soit alorsaun réel strictement positif puis, pourx>0,f(x) =app +xqq ax. fest dérivable sur[0;+¥[(carq>1) et pourx>0,f0(x) =xq1a.qétant un réel strictement plus grand que 1,q1 est strictement positif et donc, la fonctionx7!xq1est strictement croissante sur[0;+¥[. Par suite, f

0(x)>0,xq1>a,x>a1=(q1):

fest donc strictement décroissante sur[0;a1=(q1)]et strictement croissante sur[a1=(q1);+¥[.

Ainsi,

8x>0;f(x)>f(a1=(q1)) =1p

ap+1q aq=(q1)a:a1=(q1):

Maintenant,

1p +1q =1 fournitq=pp1puisq1=1p1. Par suite,qq1=p. Il en résulte que 1p ap+1q aq=(q1)a:a1=(q1)= (1p +1q

1)ap=0:

fest donc positive sur[0;+¥[, ce qui fournitf(b)>0. De plus, f(b) =0,b=a1=(q1),bq=aq=(q1),bq=ap: (b)

Soient A=ånk=1jakjpetB=ånk=1jbkjq.

SiA=0, alors8k2 f1;:::;ng;ak=0 et l"inégalité est immédiate. De même, siB=0.

SiA>0 etB>0, montrons queånk=1jakjA

1=pjbkjB

1=q61.

D"après a),

nå k=1jakjA

1=pjbkjB

1=q6nå

k=1(1p jakjpA +1q jbkjqB ) =1pA :A+1qB :B=1; ce qu"il fallait démontrer. (c) Pour p>1, la fonctionx7!xpest deux fois dérivable sur]0;+¥[et(xp)00=p(p1)xp2>0. Donc, la fonctionx7!xpest strictement convexe sur]0;+¥[et donc sur[0;+¥[par continuité en

0. Donc,

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