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15 fév 2016 · Exemple : La fonction affine f définie par : f(x) = 2x + 3 est croissante sur R car son coefficient directeur est positif La fonction g définie par g(x) = 1

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Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 − 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+∞⎡⎣⎡⎣ Soit a et b deux nombres réels tels que : 4

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Ce résultat confirme la lecture graphique réalisée à la question 2 de la première partie Exercice 9 Seconde/Fonctions-Généralités/exo-074/corrige 1 Je calcule l'

Fonctions de référence

Variation des fonctions associées

Table des matières

1 Fonction numérique2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Variation d"une fonction4

3 Résolution graphique4

4 Fonctions de référence6

4.1 Fonction affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Fonction carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Fonction inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.4 La fonction racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.1 Étude de la fonction racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.2 Comparaison des fonctions carrée, identité et racine carrée. 8

4.5 La fonction valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5.2 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Sens de variation des fonctions associées10

5.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Produit par une constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3 Racine carrée et inverse d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.4 Exercices d"application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.1 Encadrement d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.2 Tableau de variation et courbe d"une fonction. . . . . . . . 13

5.4.3 Variation d"une fonction homographique. . . . . . . . . . . 14

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

1 Fonction numérique

1.1 Définition

Définition 1 :Unefonctionnumériquefd"unevariableréellexestunerelation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x). On écrit alors : f:RouDf-→R x?-→f(x) ?Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x) qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.

Remarque :

On dit quey=f(x)estl"imagedexparfet

xestun antécédent(non unique) dey=f(x)parf

Exemples ::

f(x) =3x-7fest une fonction affine

f(x) =5x2-2x+1fest une fonction du second degré

f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique

1.2 Ensemble de définition

Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des va- leurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définie

Exemples :

La fonctionfdéfinie parf(x) =⎷4-xest telle queDf=]-∞; 4] (on doit avoir 4-x?0) La fonctiongdéfinie parg(x) =3x2-5x-6est telle queDg=R-{-1 ; 6} (on doit avoirx2-5x-6?=0,x=-1 racine évidente)

1.3 Comparaison de fonctions

Définition 3 :On dit que deux fonctionsfetgsont égales si et seulement si : Elles ont même ensemble de définition :Df=Dg

Pour toutx?Df,f(x) =g(x)

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

1. FONCTION NUMÉRIQUE

Exemple :Les fonctionfetgsuivantes sont-elles égales? f(x) =? x-1 x+3etg(x) =⎷ x-1⎷x+3

Déterminons leur ensemble de définition :

Pourf, on doit avoir :x-1

x+3?0, soitDf=]-∞;-3[?[1 ;+∞[ Pourg, on doit avoir :x-1?0 etx+3>0, soitDg= [1 ;+∞[ On a donc :Df?=Dg. Les fonctions ne sont donc pas égales. Remarque :Cependant sur[1 ;+∞[, on af(x) =g(x) Définition 4 :Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalle I.

On dit que, sur I :

fest inférieure àg, notéf0 si, et seulement si :?x?I,f(x)?0. fadmet un maximumxMsi, et seulement si :?x?I,f(x)?f(xM). fadmet un minimumxm, si, et seulement si :?x?I,f(x)?f(xm). fadmet un extremum ssi,fadmet un minimum ou un maximum. Remarque :Deux fonctions ne sont pas toujours comparables (contrairement aux nombres réels). On dit que la relation d"ordre n"est pas totale. Par exemple : Les fonctionsfetgdéfinies respectivement surRpar :f(x) =xetg(x) =x2.

Si 0x2, soitf>g(0,5>0,52)

Six>1,x Exemple :La fonctionfdéfinie surRpar :f(x) = (x-2)2+1
La fonctionfa pour tableau de varia-
tion : x f(x) -∞2+∞ 11
La fonctionfest donc positivef?1 et
admet en 2 un minimum de 1 surR.
123456

1 2 3 4 5

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

2 Variation d"une fonction
Définition 5 :Soit I un intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non). aetbdeux réel de I Soitfune fonction définie au moins sur I. On dit que : festcroissantesur I si, et seulement si :af(b) festmonotonesur I si, et seulement sifest croissante ou décroissante sur I. Remarque :On dit qu"une fonction croissante conserve la relation d"ordre et qu"une fonction décroissante inverse la relation d"ordre. Pour montrer la monotonie d"une fonction sur I, on prendra deux réelsaetbde I tel quea>bet l"on étudiera le signe def(a)-f(b). Si le signe est positif la fonction est croissante, si le signe est négatif la fonction est décroissante. Exemple :La fonction affinefdéfinie par :f(x) =2x+3 est croissante surR car son coefficient directeur est positif.
La fonctiongdéfinie parg(x) =1
xest décroissante sur]0 ;+∞[ou]-∞; 0[.
3 Résolution graphique
Soit la fonctionfdéfinie sur[-1,8 ; 2,9]par :f(x) =3x4-4x3-12x2+15. À l"aide d"une représentation graphique, résoudre les questions suivantes. Toutes les valeurs seront données à la précision du dixième
1) Déterminer le tableau de variation de la fonctionf

2) Résoudre les équations suivantes :
a)f(x) =0 b)f(x) =13
3) D"une façon générale donner le nombre et le signe des solutions de l"équation
f(x) =moùmest un réel quelconque.
4) Résoudre les inéquations suivantes :
a)f(x)?0 b)f(x)>13
5) Résoudre l"équationf(x) =3x
On programme cette fonction dans une calculette ou un ordinateur. On trouve alors la représentation suivante :
PAUL MILAN4PREMIÈRE S

3. RÉSOLUTION GRAPHIQUE

51015202530
-5 -10 -150.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-0.5-1.0-1.5-2.0 m=15 m=10 m=-17 m=13 Cf y=3x
1) On obtient le tableau de variation suivant :
x f(x) -1.8-1022.9 3131
1010
1515
-17-17 2929

2) a)f(x) =0 : on cherche les abscisses des points d"intersection de lacourbeCf
avec l"axe des abscisses. Avec la calculette, aller dans "calcul" sélectionner "zero". On obtient :x1?1,1 etx2?2,6 b)f(x) =13 : on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe C favec la droitey=13. Dans la calculette, entrer la fonction "Y=13" puis aller dans "calcul" sélectionner "intersect". On obtient :x1? -1,3, x
2? -0,4,x3?0,4 etx4?2,75.

3)f(x) =m: on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbeCf
avec la droitey=m. On obtient donc suivant les valeurs dem:
Sim<-17 : l"équation n"a pas de solution
Sim=-17 : l"équation admet une solution (positive) Si-17PAUL MILAN5PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

Sim=15 : l"équation admet 3 solutions (1 négative, 1 nulle et 1 positive) Sim>15 : l"équation admet 2 solutions (1 négative et 1 positive)

4) a)f(x)?0 : on cherche les abscisses des points de la courbeCfqui sont sur

ou en dessous de la droite des abscisses, on a donc :S= [1,1 ; 2,6] b)f(x)>13 : on cherche les abscisses des points de la courbeCfqui sont au dessus de la droite d"équationy=13, on a donc :

S= [-1,8 ;-1,3[?]-0,4 ; 0,4[?]2,75 ; 2,9]

5)f(x) =3x: on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe

C favec la droite d"équationy=3x. On trace la droitey=3xpuis on lit les solutions :x1?0,9 etx2?2,7

4 Fonctions de référence

4.1 Fonction affine

Propriété 1 :Une fonction affinefest une fonction définie surRpar : f(x) =ax+b Le signe du coefficient directeuradonne les variations de la fonction : sia>0,fest croissante et sia<0,fest décroissante La représentation d"une fonction affine est unedroitequi passe par le point(0 ;b)

4.2 Fonction carrée

Propriété 2 :La fonction carréefest la fonction définie surRpar : f(x) =x2 La fonction carrée est décroissante surR-et croissante surR+. La représentation de la fonction carrée est uneparaboled"axeOydont le sommet est l"origine.

4.3 Fonction inverse

Propriété 3 :La fonction inversefest la fonction définie surR?par : f(x) =1 x La fonction inverse est décroissante sur]-∞; 0[et sur]0 ;+∞[ La représentation de la fonction inverse est unehyperboleéquilatère dont le point de symétrie est l"origine et lesasymptotesles axes de coordonnées.

PAUL MILAN6PREMIÈRE S

4. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

?C"est une faute de dire que la fonction inverse est décroissante surR?car la monotonie s"étudie sur un intervalle.

4.4 La fonction racine carrée

4.4.1 Étude de la fonction racine carrée

Propriété 4 :La fonction racine carrée est la fonctionfdéfinie surR+par : f(x) =⎷ x La fonction racine carrée est croissante surR+. La représentation de la fonction racine carrée est la demi-parabole d"ordonnées positives d"axeOx. Montrons que la fonction racine carrée est croissante surR+. Soitaetbdeux réels positifs ou nuls tel quea>b. Déterminons le signe def(a)-f(b). f(a)-f(b) =⎷ Par définition de la racine carrée, on a⎷a+⎷b>0

De plus commea>b, on a :a-b>0

On a doncf(a)-f(b)>0

La fonction racine carrée est donc croissante surR+. On a alors le tableau de variation suivant : x x

0+∞

00 La représentation de la fonction racine carrée est une demi-parabole d"ordonnées positives d"axeOx. Elle admet une tangente verticale en 0.

On peut remplir le tableau de valeur

suivant : x014149 ⎷x012123 123

1 2 3 4 5 6 7 8 9

PAUL MILAN7PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

4.4.2 Comparaison des fonctions carrée, identité et racinecarrée

Théorème 1 :Pour tout réelxpositif ou nul, on a les relations suivante : six?[0 ; 1],x2?x?⎷ xet six?[1 ;+∞[,⎷x?x?x2 Remarque :On observe que le rapport de ces fonctions s"inverse autour de 1 comme le montrent les représentations suivantes : On a tracé les fonctions carrée, identité et racine carrée.

On constate que :

six<1 la fonction carrée esten

dessousdelafonctionidentitéquiest en dessousde la fonction racine car- rée.

six>1 la fonction carrée estau

dessusde la fonction identité qui est au dessusde la fonction racine car- rée. 123
1 2 3 O ⎷x x2 x Soitxun réel positif ou nul : (?x?0,⎷x2=|x|=x) six?1, on multiplie parxchaque côté de l"inégalité doncx2?x Comme la fonction racine carrée est croissante surR+, elle ne change pas les inégalités, donc⎷ x2?⎷x?x?⎷xquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Fonctions de référence

Variation des fonctions associées

Table des matières

1 Fonction numérique2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Variation d"une fonction4

3 Résolution graphique4

4 Fonctions de référence6

4.1 Fonction affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Fonction carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Fonction inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.4 La fonction racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.1 Étude de la fonction racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.2 Comparaison des fonctions carrée, identité et racine carrée. 8

4.5 La fonction valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5.2 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Sens de variation des fonctions associées10

5.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Produit par une constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3 Racine carrée et inverse d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.4 Exercices d"application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.1 Encadrement d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.2 Tableau de variation et courbe d"une fonction. . . . . . . . 13

5.4.3 Variation d"une fonction homographique. . . . . . . . . . . 14

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TABLE DES MATIÈRES

1 Fonction numérique

1.1 Définition

Remarque :

On dit quey=f(x)estl"imagedexparfet

Exemples ::

f(x) =3x-7fest une fonction affine

f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique

1.2 Ensemble de définition

Exemples :

1.3 Comparaison de fonctions

Pour toutx?Df,f(x) =g(x)

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1. FONCTION NUMÉRIQUE

Déterminons leur ensemble de définition :

Pourf, on doit avoir :x-1

On dit que, sur I :

Si 0x2, soitf>g(0,5>0,52)

La fonctionfa pour tableau de varia-

La fonctionfest donc positivef?1 et

123456

1 2 3 4 5

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TABLE DES MATIÈRES

2 Variation d"une fonction

La fonctiongdéfinie parg(x) =1

3 Résolution graphique

1) Déterminer le tableau de variation de la fonctionf

2) Résoudre les équations suivantes :

3) D"une façon générale donner le nombre et le signe des solutions de l"équation

4) Résoudre les inéquations suivantes :

5) Résoudre l"équationf(x) =3x

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3. RÉSOLUTION GRAPHIQUE

51015202530

1) On obtient le tableau de variation suivant :

2) a)f(x) =0 : on cherche les abscisses des points d"intersection de lacourbeCf

2? -0,4,x3?0,4 etx4?2,75.

3)f(x) =m: on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbeCf

Sim<-17 : l"équation n"a pas de solution

TABLE DES MATIÈRES

4) a)f(x)?0 : on cherche les abscisses des points de la courbeCfqui sont sur

S= [-1,8 ;-1,3[?]-0,4 ; 0,4[?]2,75 ; 2,9]

5)f(x) =3x: on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe

4 Fonctions de référence

4.1 Fonction affine

4.2 Fonction carrée

4.3 Fonction inverse

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4. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

4.4 La fonction racine carrée

On dit quey=f(x)estl"imagedexparfet

f(x) =3x-7fest une fonction affine

f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique

Pour toutx?Df,f(x) =g(x)

Si 0x2, soitf>g(0,5>0,52)

Sim<-17 : l"équation n"a pas de solution

De plus commea>b, on a :a-b>0

On a doncf(a)-f(b)>0

six<1 la fonction carrée esten

six>1 la fonction carrée estau