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CAP 2

ème année Mathématiques

C.TESTI Page 1 sur 12 CHAPITRE XII LES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES

I ] DEFINITIONS :

S'appelle un ........

Sur cet axe, le point O est appelé ............... Les points qui se trouvent à sa droite ont des valeurs .............. Les points qui se trouvent à sa gauche ont des valeurs .............. Un axe se découpe en graduations. Le point M est à ...... graduations à ............ de O.

S'appelle un ............

· L'axe horizontal est l'axe des ................ On le note en général ...... · L'axe vertical est l'axe des ................ On le note en général ......

· Dans un repère un point possède des .................... que l'on note ( ........ ; ........ )

· La première correspond à ....................... · La deuxième correspond à ....................... Dans le repère ci-dessous donnez les coordonnées des points A, B, C et D

A ( ............ ; .............. )

B ( ............ ; .............. )

C ( ............ ; .............. )

D ( ............ ; .............. )

1 M 0 0 0

A x y B C D

CAP 2

ème année Mathématiques

C.TESTI Page 2 sur 12 Une ligne infinie qui passe par une infinité de points s'appelle .................

II ] FONCTION LINEAIRE ET FONCTION AFFINE:

FONCTION LINEAIRE POINTS COMMUNS FONCTION AFFINE

FONCTION DE LA FORME

Exemples :

Ce sont toutes deux des ........

a et b peuvent être .............. ou ...............

FONCTION DE LA FORME

Exemples :

La droite passe par .............

(On peut l'utiliser comme premier point.)

La représentation graphique

de ces fonctions est

Pour la tracer, on calcule 2 ou

3 points que l'on place dans

un repère. La droite ne passe pas par

On utilise des repères entier

ou seulement une partie. Les intervalles sont donnés dans les énoncés et les repères souvent tracés. Elle est .......................... On peut faire des produits en croix dans les tableaux de valeurs. Elle n'est pas ....................

On ne peut pas faire des

produits en croix dans les tableaux de valeurs. Exemples : a = ... y = 2 x

La fonction est .................

a = ... y = - 3 x

La fonction est .................

a est appelé ......................

Si a est positif, la fonction est

.......... (la droite ............)

Si a est négatif, la fonction est

.......... (la droite ............) Exemples : a = ... y = 2 x + 5

La fonction est .................

a = ... y = - 3 x + 5

La fonction est .................

CAP 2

ème année Mathématiques

C.TESTI Page 3 sur 12

Il existe plusieurs écritures possibles, ne vous laissez pas surprendre, cela ne change rien pour le travail à effectuer.

Exemple :

y = a x ou f(x) = a x ou g(x) = a x ou toute autre lettre (voir exercices).

III ] APPLICATION:

Exemple : consommation d'un véhicule

Une voiture a une consommation moyenne de 7 litres aux 100 kilomètres. Au départ, son réservoir contient 50 litres d'essence. Soit x le nombre de km parcourus.

1 ) Exprimer la quantité d'essence restant dans le réservoir.

On résout l'exercice sans tenir compte des lettres.

Quantité d'essence utilisée

Nombre de kilomètres parcourus

On obtient la quantité d'essence consommée, donc la quantité restant dans le réservoir (que

l'on appelle q(x) ) est définie par la fonction suivante : q(x) = ..................

2 ) Quelle est la forme de cette fonction ?

La fonction q(x) = ............ est une fonction .............

3 ) Quel est le coefficient directeur de cette fonction ?

Son coefficient directeur est a = .....

4 ) Quelle est la direction de cette fonction ?

La fonction q(x) est une fonction .............

CAP 2

ème année Mathématiques

C.TESTI Page 4 sur 12

5 ) Représenter graphiquement cette fonction .

On prend au hasard des valeurs de x comprises entre 0 et 400 km. En général on prend la première (x = 0), la dernière (x = 400) et celle du milieu (x = 200). Deux points suffisent pour tracer une droite, mais avec 3 points on vérifie.

x 0 200 400 q(x) = ........ ........................... ........................... ...........................

Détails des calculs :

Si x = 0 q(0) = ....................................................................... Si x = 200 q(200) = ....................................................................... Si x = 400 q(400) = ....................................................................... On obtient les coordonnées de 3 points que l'on place dans un repère :

Compléter le graphique en annexe.

6 ) Sur le graphique combien reste - t - il d'essence après avoir parcouru 150 km ?

On trace des pointillés sur le graphique et on fait une phrase pour répondre à la question.

On lit pour x = 150 y = ..........

Après avoir parcouru 150 km il reste ......... litres d 'essence dans le réservoir.

Vérification par le calcul :

On remplace x par 150 dans la fonction.

7 ) Sur le graphique combien a - t on parcouru de km s'il reste 25 l d'essence?

On lit ...............

Vérification par le calcul :

On remplace la quantité donc q(x) par 25 l dans la fonction. CAP 2

ème année Mathématiques

C.TESTI Page 5 sur 12 On obtient une équation du 1 er degré à une inconnue que l'on va résoudre :

8 ) Une autre voiture consomme 5 l aux 100 km et son réservoir contient 46 l d'essence.

La formule correspondante de la quantité restant dans le réservoir est la suivante :

Q(x) = 46 - 0,05 x

a) représenter graphiquement cette fonction sur le même graphique. x

0 200 400 Q(x) = 46 - 0,05 x

Si x = 0 Q(0) = ....................................................................... Si x = 200 Q(200) = ....................................................................... Si x = 400 Q(400) = ....................................................................... On obtient les coordonnées de 3 points que l'on place dans le repère : b ) Déterminer graphiquement le point d'intersection de ces deux fonctions On lit sur le graphique : ( ......... ; ......... ) Cela revient à résoudre graphiquement le système d'équations : y = 50 - 0,07 x y = 46 - 0,05 x c ) Vérifier le résultat obtenu par le calcul : Au moment où elles se croisent, les deux droites ont un point commun, elles sont donc q(x) = Q(x)

On résout l'équation ainsi obtenue :

CAP 2

ème année Mathématiques

C.TESTI Page 6 sur 12

On remplace x par ........ dans l'une ou l'autre des équations : Cela revient à résoudre par le calcul le système d'équations : y = 50 - 0,07 x y = 46 - 0,05 x Il existe deux méthodes : par addition , par substitution.

Quantité d'essence restante en fonction des km

0

51015202530354045500

100200300400500600700800900km ( x )

Quantité ( l )

CAP 2

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C.TESTI Page 7 sur 12

LES FONCTIONS FEUILLE D'EXERCICES 1

Exercice 1

Placer dans un repère orthonormé les points suivants. A ( 2 ; 0 ) B ( 0 ; 2 ) C ( 3 ; 1) D ( 1 ; - 4 ) E ( - 1 ; - 2) F ( 3 ; 3 )

Tracez les droites ( AB ), ( CD ) et ( EF ).

Quelles sont les coordonnées du point L intersection entre ( AB ) et ( CD ) ? Quelles sont les coordonnées du point M intersection entre ( CD ) et ( EF ) ? Quelles sont les coordonnées du point N intersection entre ( AB ) et ( EF ) ?

Exercice 2

Soit la droite D qui passe par les points A ( 2 ; 2 ) et B ( -3 ; -3 ). Tracez cette droite dans un repère orthonormé. Soit la droite D' d'équation y = - x. Tracez cette droite dans le même repère. Quelle est la nature de la droite D ? Quel est son sens de variation ? Quelle est la nature de la droite D' ? Quel est son sens de variation ?

Exercice 3

Tracez la droite D d'équation y = x + 1. Tracez dans le même repère la droite D ' d'équation y = - 2 x. Quelle est la nature de la droite D ? Quel est son sens de variation ? Quelle est la nature de la droite D' ? Quel est son sens de variation ? Déterminez graphiquement les coordonnées du point d'intersection de D et de D' ( on l'appelle I)

Exercice 4

Soit la droite (AB) qui passe par l'origine du repère et le point C ( 3 ; 6 ). Tracez cette droite. · Quelle est la nature de la droite (AB) ? Est elle croissante ou décroissante ? · Quelle est l'abscisse du point A sachant que son ordonnée est 4 ? · Quelle est l'ordonnée du point B sachant que son abscisse est -1 ? · Donnez une équation de la droite (AB). ( Que vaut y en fonction de x ? )

Exercice 5

Votre patron vous paye 40 F de l'heure. On appelle x le nombre d'heures travaillées et y le salaire.

Que vaut y en fonction de x ?

Tracez la droite y = 40 x. (pour x compris entre 0 et 40)

Unités : 1 cm pour 4 heures en abscisse.

1 cm pour 200 F en ordonnée.

Lire sur le graphique le nombre d'heures travaillées pour un salaire de 320 F. Lire sur le graphique le salaire pour 36 d'heures travaillées. CAP 2

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C.TESTI Page 8 sur 12 Les fonctions Exercice 1

Le bénéfice réalisé sur une marchandise est de 20 % du coût de revient CR. a ) Calculer le prix de vent PV de cette marchandise en fonction du coût de revient CR. b ) Représenter graphiquement cette fonction pour CR appartenant à [0;200] et PV = 1,2 CR. c ) Quelle est la forme de cette fonction ? d ) Est elle croissante ou décroissante ? ( Justifiez votre réponse)

PV en fonction de CR

0

020406080100120140160180200

CR (Francs)PV (Francs)

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C.TESTI Page 9 sur 12 Les fonctions Exercice 2

Le coût d'achat d'un article est de 2 400 F. On veut réaliser une marge brute de x % sur le coût

d'achat. On désigne par y le prix de vente hors taxe.

1 / Exprimer y en fonction de x.

2 / Donner la représentation graphique de cette fonction pour 0 £ x £ 20 si y = 2400 + 24 x.

3 / Quelle est la forme de cette fonction ?

PV HT en fonction de la marge brute (%)

2000

2100220023002400250026002700280029003000

02468101214161820

Marge Brute en %

( x )PV HT (Francs) ( y ) CAP 2

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C.TESTI Page 10 sur 12 Les fonctions Exercice 3

Un capital de 18 000 F est placé au taux annuel de 8 %

1 / Exprimer la valeur acquise A en fonction de n le nombre de jours de placement.

2 / Donner la représentation graphique de cette fonction pour :

0 £ n £ 360 si A = 18 000 + 4 n

3 / Quelle est la forme de cette fonction ?

Valeur acquise en fonction

du nombre de jours 18000

04080120160200240280320360400

Nombre de jours

= nA (Francs)

Valeur acquise

CAP 2

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C.TESTI Page 11 sur 12 Les fonctions Exercice 4

Un boulanger veut préparer de la pâte avec un taux d'hydratation à 60 % ( Le taux d'hydratation correspond au % d'eau par rapport à la farine). Soit P la pâte en kg, F la farine en kg et E l'eau en kg.

1° ) Exprimer F en fonction de P puis E en fonction de P

(Une baguette pèse 160 g)

2° ) Représenter graphiquement ces 2 fonctions pour

0 £ P £ 20 avec F = 0,625 P et E = 0,375 P

3° ) Si vous voulez faire 350 baguettes de (pâte) combien faudra-t-il de pâte ?

4° ) Lire sur le graphique les quantités de farine et d'eau nécessaires pour faire les 350

baguettes ?

F et E en fonction de P

0

020406080100120140160180200

P (kg)E et F (kg)

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