Soit une fonction u telle que sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I Les primitives sur I de sont les fonctions avec 3 Fonction logarithme décimal
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Soit une fonction u telle que sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I Les primitives sur I de sont les fonctions avec 3 Fonction logarithme décimal
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FONCTION LOGARITHME, FONCTION EXPONENTIELLE I Donner les propriétés et la représentation graphique des fonctions logarithme et exponentielle
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ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a = b 1 5 représentation graphique LA courbe représentative de la fonction ln a l'allure de la courbe ci-dessous : Chapitre 6 - Logarithmes
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8 En vous servant des graphiques de droite, tracer le graphique de chacune des fonctions définies par les équations suivantes a) y = ln
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Représentation graphique En utilisant les deux résultats précédents on peut représenter le graphe de la fonction logarithme népérien dans un plan affine
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Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ Posons f (x) = eln x Alors f '(x) = (ln x)'eln x = x(ln x )'
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Les propriétés de la fonction logarithme népérien sont donc à l'origine de la On peut alors déduire la représentation graphique de la fonction ln de celle de la
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CHAPITRE 5
FONCTIONS LOGARITHMES
148 Définition et représentation graphique
de la fonction logarithme népérien 1. Définition La fonction inverse est définie, continue sur elle admet donc des primitives sur2. Conséquences
• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur est strictement croissante.Elle est continue et bijective.
• La fonction logarithme népérien est la primitive, définie sur de la fonction qui s'annule en 1. 1 x1 x---?]0 ; + ∞ , [ ]0 xxln? ]0 [x1 x---? ]0 ; + ∞ , [ x01+∞ ln x1 x---?-∞+∞0′lnx()1
x---=1ln 0.=
xln x → 0 0 lim xlnx → + ∞ lim + =1 0A Be 1? ln 149cours savoir-faire exercicescorrigés • On appelle e le nombre réel tel que Au point la tangente a pour équation et au point la tangente a pour coefficient directeur 1. e xemple d"application
Déterminer les asymptotes à la courbe
représentative de la fonction : f c orrigé commentéIndication :
on commence par déterminer l'ensemble D de définition de la fonction f. existe si, et seulement si, ; le signe de ce quotient est celui d'un tri- nôme du second degré de racines 1 et -3.Par suite, si, et seulement si,
DoncIndication :
on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D. • pour d'où et donc par compositionDonc la droite d'équation est asymptote à
dans un voisinage de + et de - • et donc par compositionDonc la droite d'équation est asymptote à
• et donc et donc par compositionDonc la droite d'équation est asymptote à
D En définitive, il y a 3 asymptotes d'équations respectives : y = 0 ; et x = 1. eln 1.= Ae ; 1 () ,y1 e---x= B1 ; 0 () xx3+ x1-------------()().ln? fx()x3+ x1-------------0? x3+ x1-------------0?x]∞ ; 3 ] 1 ; + ∞ . [ ? [ -- ?D]∞
; 3 ] 1 ; + ∞ . [ ? [ --= x3+ x1-------------13 x---+ 1 1 x-----------------=x0≠13 x---+ 1 1 x----------------- x → ∞ lim 1 =XlnX → 1
lim 0 fx() x → ∞ lim 0. y0= x3+ x1------------- x → 3 - 3 lim 0 =XlnX → 0
0 lim =fx() x → 3 - 3 lim x3-= x1-() x → 1 1 lim 0 =x3+() x → 1 lim 4 =x3+ x1-------------()() x → 1 1 lim + XlnX → + ∞
lim + =fx() x → 1 1 lim + x1= x3-=CHAPITRE 5
FONCTIONS LOGARITHMES
150Propriétés et autres fonctions 1. Propriétés de la fonction logarithme népérien 2. Dérivées et primitives
• Soit une fonction u , définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, soit strictement positif : . Si • Soit une fonction u telle que sur un intervalle I dont la dérivée u est dérivable sur I.Les primitives sur I de sont les fonctions
avec3. Fonction logarithme décimal
La fonction logarithme décimal est définie sur par Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que la fonction logarithme népérien. Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puis- sances de 10.Conditions Propriétés (propriété caractéristique des fonctions logarithmes) avec (fonction " ln » bijective) (fonction " ln » strictement croissante) 2 a0? b0?ablnalnbln+= a b---lnalnbln-=1 b---lnbln-= a lnαaln=α?? alnbln=a?b= abln?lnab?? aln 1=a?e=aln 0=a?1=0x1??x0?ln
x1?xln 0? ux() u◦ln()′u′ u-----= ux()0≠u◦ln()′u′ u-----.= ux()0≠ u¢ u----- ulnC+C?.? ]0 ; + ∞[xlogxln10ln-------------.=
1log 0=10log 1=′x()log1
x10ln-----------------.= 151cours savoir-faire exercicescorrigés 4. Autres limites (à redémontrer à chaque fois). au voisinage de zéro.