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Si f est une fonction convexe définie sur un ouvert convexe Ω de V , alors f est continue sur Ω et Exemple 3 Convexité d'une fonction quadratique

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3 Méthodes de résolution en programmation quadratique convexe 22 concernant les fonction quadratiques,ainsi que la notion de la convexité Le deuxième 

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1 4 2 Propriété des fonctions convexes Théorème : Soit J une fonctionnelle différentiable sur un sous-ensemble K convexe non vide Les assertions suivantes 

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L'optimisation d'une fonction quadratique de variables 0-1 sous contraintes convexe en un problème d'optimisation quadratique en 0-1 dont la fonction

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Les fonctions affines de IRn sont bien sûr convexes (elles sont aussi concaves) Comme on le vérifiera plus loin, les fonctions quadratiques convexes de IRn 

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En déduire que f est strictement convexe si et seulement si Q est définie positive 4 Soit Q une matrice définie positive (a) Montrer que la fonction qQ : x ↦→ 〈x  

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Minimisation d'une fonction convexe 1 2 1 2 1 Matrice réelle symétrique et forme quadratique Définition forme quadratique indépendante de yı et de y2

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?????SB??CSDP? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ??? ?? ???????u??n ?λ???(Q)? ???? ?????? ?????? ?????? ?? ?? ???????Q ?????q(x) =n? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijxixj? (Q01) : minq(x) =n? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijxixj n? i=1a kixi=bkk= 1,...,m n i=1a x i? {0,1}i= 1,...,n q

γ(x) =xt(Q+γI)x-γn?

i=1x i ???qγ(x) =q(x)?x? {0,1}n? x?X ????n? i=1u min n? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijXij X ii=xii= 1,...,n?????? 1xt x X? ?0 x??n,X?Sn

¯Q?

y y y y (RL) : minF(x) =n? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijyij n? i=1a kixi=bkk= 1,...,m????? n i=1a (2.2),(2.3),(2.4),(2.5) y ij=yjii < j????? x? {0,1}n x minF(x,y) =n? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijyij n? i=1a kixi=bkk= 1,..,m n i=1a kiyij=bkxjk= 1,..,m;j= 1,..,n y ij=yjii,j= 1,..,n:j?=i y ii=xii= 1,..,n n? i=1a n i=1a n i=1a y x x i? {0,1},yij≥0i,j= 1,..,n i=1,i?=jq ijxi?(Q01)??????? ? (RLg) : minF(x) =n? i=1c ixi+n? j=1z j n? i=1a kixi=bkk= 1,...,m n i=1a L n? i=1,i?=jq i=1,i?=jq ijxi-Lj(1-xj) j= 1,...,n x? {0,1}n,z≥0 n? i=1,i?=jq ijxi? L j= min? ?n i=1,i?=jq ijxi:x?X? U j= max? ?n i=1,i?=jq ijxi:x?X? z i=1q ijxi-Lj(1-xj) L

1j= min?

?n i=1,i?=jq ijxi:x?X,xj= 1? U

1j= max?

?n i=1,i?=jq ijxi:x?X,xj= 1? L

0j= min?

?n i=1,i?=jq ijxi:x?X,xj= 0? U

0j= max?

?n i=1,i?=jq ijxi:x?X,xj= 0? x ixj=xjxii < j x i¯xj=xi-xixji?=j

¯xj= 1-xji= 1,...,n

q

α(x) =q(x) +n-1?

i=1n j=i+1α1ij(xixj-xjxi) +n? i=1n j=1α2ij(xi¯xj-xi+xixj) n? i=1α31(¯xi-1 +xi) ?≥v?Π ?01? (Q01) : minq(x) =n? i=1n j=1,j?=iq ijxixj+n? i=1c ixi n? i=1a kixi=bkk= 1,...,m n x? {0,1}n X=? x? {0,1}n:n? i=1a kixi=bk, k= 1,...,m;n? ??X=? x?[0,1]n:n? i=1a kixi=bk, k= 1,...,m;n? q

α(x) =m?

k=1? n? i=1α kixi? n? j=1a kjxj-bk? q u(x) =n? i=1u i?x2i-xi? ???????x

2i=xi?? ??? ????? ? ? ??x??? ?? ??????? ??{0,1}n?

q

α,u(x) =q(x) +m?

k=1? n? i=1α kixi? n? j=1a kjxj-bk? n? i=1u i?x2i-xi? =q(x) +qα(x) +qu(x) ??? ???? ??????(Q01α,u)? Q

α=Q+12

?αtA+Atα?, Qα,u=Qα+Diag(u), c

α=c-αtb, cα,u=cα-u.

Q

α,u=0

B

BBBBBBBBBB@q

11+mP k=1α k1ak1+u1... ... q1j+mP k=1α k1akj... ... q ii+mP k=1α kiaki+ui... qij+mP k=1α kiakj... ... ... ... ... q nn+mP k=1α knakn+un1 C

CCCCCCCCCCA

c

α,u=0

B

BBBBBBBBBBBBBB@c

1-u1-mP

k=1α k1bk c i-ui-mP k=1α kibk c

1-un-mP

k=1α knbk1 C

CCCCCCCCCCCCCCA

?? ??? ?????? ?? ??????? ??? ???? ????x? {0,1}n??? ???Ax=b? ?? ????? u=-λmin(Q)e?qα,u(x)??? ??????? ????? ?? ??????? ????? ??????? ??? ?????? ??qα,u(x)???? ??????? ?? (C(Q01)) : maxα??m×n,u??n Q

α,u?0?

min x?X qα,u(x)? ???????(SDQ01) : minn? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijXij X ii=xii= 1,..,n????? -bkxi+n? j=1a kjXij= 0k= 1,..,m;i= 1,..,n????? Ax=b A 1xt x X? ?0 x??n, X?Sn (LD) :max

α??m×n,u??n

Q

α,u?08

>:max

βt??m

?t??p min x?[0,1]nctα,ux+xtQα,ux+βt(Ax-b) +β?t(A?x-b?)¯ff9>>= L :maxu??n Q

˜α,u?0?

minx?[0,1]n? ct˜α,ux+xtQ˜α,ux+˜βt(Ax-b) +˜β?t(A?x-b?)?? f u(x) =ct˜α,ux+xtQ˜α,ux+˜βt(Ax-b) +˜β?t(A?x-b?) =ct˜αx+xtQ˜αx+˜βt(Ax-b) +˜β?t(A?x-b?) +n? i=1u i(x2i-xi) L? :maxu??n Q

˜α,u?0?

min x??nfu(x)? v L =v? L? L L :maxu??n Q

˜α,u?0?

?min x??nf u(x)? v L =maxu??n Q

˜α,u?0?

max

η??n+?

min x??n? f u(x) +n? i=1η i(x2i-xi)??? =maxu??n Q

˜α,u?0?

min x??n{fu(x)}? =v? L? ?? ??????u=u+η? ???fu(x)??? ?? ??????? ??? ??? ???Q˜α,u?0? L L L (P˜α,˜β,˜β?) :min ct˜αx+n? i=1n j=1q

˜αijXij+˜βt(Ax-b) +˜β?t(A?x-b?)

s.c. X ii=xii= 1,...,n?????? 1xt x X? ?0 x??n, X?Sn

α??n×m,β??m,β???p

+v(Pα,β,β?). (SDQ01)?? i=1a (Q01m) : minq(x) =n? i=1q ixi+n? i=1n j=i,j?=iq ijXij n? i=1a kixi=bkk= 1,...,m n j=1a kjXij=bkxik= 1,...,m;i= 1,...,n n X ij=xixji=i,...,n;j= 1,...,n x??n, X?Sn 1xt x X? ?0?????? ?? ????? ?????? (Q01p) : minq(x) =n? i=1c ixi+n? i=1n j=1,j?=iq ijxixj n? i=1a kixi=bkk= 1,...,m n j=1a kjxixj=bkxik= 1,...,m,i= 1,...,n n i=1a x

2i-xi= 0i= 1,...,n

max

α??m×n,u??n

Q

α,u?0?

(D1) : maxα??m×n,u??n Q

α,u?0?

min x (D2) : max

α??m×n,u??n

β??m,β???p

+,λ??n+ Q

α,u?0(

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