[PDF] [PDF] VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES
Mme question si f est holomorphe Exercice 1 1 9 Soit U un ouvert connexe de C et soient f et g des fonctions holomorphes sur U telles que f(z) + g(z) ∈ R pour
Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes, i e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non
Mme question si f est holomorphe Exercice 1 1 9 Soit U un ouvert connexe de C et soient f et g des fonctions holomorphes sur U telles que f(z) + g(z) ∈ R pour
Exercice 1 Soit un ouvert connexe non vide ω ⊂ C, soit z0 ∈ ω, et soit une fonction f ∈ O(ω\{z0}) holomorphe en-dehors de z0 On suppose que f est bornée au
c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C∗ telles P = e(f) ne dépend pas de θ Exercice 2 11 Soit f : Ω ↦− → C une fonction holomorphe sur Ω ouvert
Exercice 3 Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la fonction f et
Exercice 1.1.1SoitUun ouvert deCetf:U!C. On noteP=Q==m(f)les parties relle et imaginaire def. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes : (i)fest holomorphe surU. (ii) Pour toutz02U,fest direntiable enz0etDfz0estC-linaire. (iii) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0et@f@y (z0) = i @f@x (z0)(par denition,@f@x (z0) =@P@x (x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)et@f@y (z0) = @P@y (x0;y0) +i@Q@y (x0;y0)). (iv) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0etfvrie les quations de Cauchy-Riemann, c'est dire que @P@x (x0;y0) =@Q@y (x0;y0) et@P@y (x0;y0) =@Q@x (x0;y0): b)Montrer que sifest holomorphe enz0=x0+iy02Ualors pour tout u2C, on aDfz0(u) =f0(z0)u. En dduire que : f
0(z0) =@P@x
(x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)etJacfz0=jf0(z0)j2: 5
6CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES
Exercice 1.1.2Les applications suivantes sont elles holomorphes sur un ouvert
UdeC? Si oui, calculer leur drive.
1.z7!z.
2.z7!zz.
3.z7!
4.z7! =m(z).
5.z7!z
3.
6.z7!zkpourk2Nx.
7.z7!zkpourk2Nx.
8.z7!ez:=ex(cosy+isiny)siz=x+iy.
Exercice 1.1.31. Soitf:C!Cdenie parf(x+iy) =x+ 2ixy. La fonctionfest-elle holomorphe surC?
c)fadmet des drives partielles et ou les quations de Cauchy-Riemann sont satisfaites.
Exercice 1.1.6Soitf:C!Cla fonction dnie par :
f(x+iy) =8 :xy(x+iy)x
2+y2six+iy6= 0,
0six+iy= 0.
Montrer quefn'est pas direntiable en0, mais possde des drives partielles qui satisfont les quations de Cauchy-Riemann en0. Exercice 1.1.7SoitUun ouvert connexe deC. Soitf:U!Cune fonction holomorphe. On noteP=1. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :
Exercice 1.1.10SoitUun ouvert connexe deCet soientfetgdes fonctions holomorphes surUtelles quef(z)g(z)2Rpour toutz2U. On suppose aussi queg(z)6= 0pour toutz2U. Montrer qu'il existec2Rtel quef(z) =cg(z) pour toutz2U. Exercice 1.1.11Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=Dz6= 0. i)Montrer que s'il existe une constantek2Rtelle que8(x;y)2U, (P(x;y);Q(x;y)) =k, alorsfest constante surU. ii)Quelles sont les fonctions holomorphes surUdont l'image est incluse dans une droite du plan?; un cercle du plan? Exercice 1.1.12Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=1. Caractriser les fonctionsQ1:U!Rtelles queP+iQ1est holomorphe surU.
2. Trouver toutes les fonctionsf:C!Cholomorphes telles que
1. Donner une condition necessaire et susante portant sura;b;cpour qu'il
existefholomorphe surCtelle que2. Si cette condition est remplie, determiner toutes les fonctionsfholomorphes surCtelles que0=r0exp(i0),(r0;0)2R+R. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes (i)fest drivable enz0. (ii) @f@ (z0) =ir0@f@r (z0): (iii) @P@r (r0cos(0);r0sin(0)) =1r 0@Q@ (r0cos(0);r0sin(0))et @P@ (r0cos(0);r0sin(0)) =r0@Q@r (r0cos(0);r0sin(0)) Les quations (ii) et (iii) sont appeles les quations de Cauchy-Riemann en coordonnes polaires. b)Application :On noteUle plan complexe priv de la demi-droitefz: Montrer quefest holomorphe surU. Calculerf(z)2. c)Trouver toutes les fonctionsfholomorphes surCtellesP=1.2 Considerations geometriques
Exercice 1.2.1SoitA=a b
c d un endomorphisme deR2. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :
(i) dtA>0et il existek2R+tel que pour tousu;v2Con a :hAu;Avi= k
2hu;vi;
(ii) il existe2Retk2R+tels que
A=kcosksin
ksin kcos (iii)a=detb=c; (iv) il existew2Ctel que pour toutu2Con a :Au=wu; (v)Aest la compose d'une rotation de centre 0 et d'angleet d'une homothtie de rapportk. (vi)AestC-linaire; (vii)A(i) =iA(1); Si dtA6= 0, ces conditions sont encore quivalentes : (viii)Aprserve les angles orients (dans ces conditions on dit queAest une similitude directe). Rappelons que siz1,z2sont deux lments deC, on appelle angle orient entre les vecteursz1,z2l'unique rel2[;[tel que : z
2jz2j=eiz1jz1j:
Exercice 1.2.21. SoitUun ouvert deCet soitf:U!Cune application dierentiable. Montrer que les assertions suivantes sont equivalentes : (a)fest holomorphe surUetf0(z)6= 0pour toutz2U.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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