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Fonctions et diagrammes

Calcul littŽral

Equations

Nombres et op

ŽrationsPoser et résoudre des problèmes

pour construire et structurer des représentations des nombres réels

Résoudre des problèmes

numériques

Résolution de problèmes numériques en

lien avec les ensembles de nombres travaillés, l"écriture de ces nombres et les opérations

Résoudre des problèmes

numériques et algébriques

Résolution de problèmes en lien avec les

notions étudiées (fonctions, diagrammes, expressions algébriques et équations). Résolution de problèmes de proportionnalité.Espace

Poser et résoudre des problè

mes pour modéliser le plan et l"espaceRésolution de problèmes géométriques en lien avec les figures et les transformations

étudiées.Grandeurs et mesures

Mobiliser la mesure

pour comparer des grandeurs

Résolution de problèmes de mesurage

en lien avec les grandeurs et les théorèmes

étudiés.Modéliser des

phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques 55
A ffine, affineet linéaireou affine et constante, quadratique, du troisième degré, r acine, homographique... Le domaine des fonctions est riche de représentants d ivers aux multiples propriétés. Q u"elles soient illustrées au travers d"un tableau de valeurs, d"une représentation g raphiqueou simplement par leur expression fonctionnelle, les fonctions sont des o utils extrêmement importants pour la résolution de problèmes, l"étude de phéno- m ènes naturels et sociaux, ainsi que pour le bon fonctionnement de nombre d "appareils électriques et électroniques. E tudiées dès le Cycle ?et utiles autant aux lycéens, collégiens, gymnasiens qu"à d e très nombreuses professions de l"artisanat et de l"industrie, les fonctions ont a insi une place des plus importantes dans les programmes d"études. Les oeuvres de Bernar Venet, artiste plasticien fran- ais né en ????, s"inspirent, voire reproduisent, des léments mathématiques. C i-dessus: Installation of Equation, acrylique sur m ur, au Ludwig Museum, Coblence, Allemagne, A gauche: Représentation graphique de la fonction y = - , acrylique sur toile, ???x ???cm, ????, loca- t ion: Paris, musée national d"art moderne -Centre G eorges Pompidou. x 56

Fonctions et diagrammes

Apprentissages visŽs

?Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions ?Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques et d"expressions fonctionnelles ?Représentations de fonctions et passage d"une représentation à une autre ?Résolution de problèmes de proportionnalité ?Lecture de données ?Lecture, interprétation et réalisation de diagrammes ?Utilisation d"outils appropriés (calculatrice, tableur, grapheur, etc.)

Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

•Pour réactiver certaines connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 •Situations modélisables par des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .58 •Représentations de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 •Encore quelques problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 •Pour réactiver certaines connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 •Situations modélisables par des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .62 •Représentations graphiques et expressions fonctionnelles . . . .66 •Représentations de fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 •Problèmes et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 •Encore quelques problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

•Pour réactiver certaines connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 •Pour consolider et aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

•Unités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

•Encore quelques problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

Sommaire

57

Fonctions et diagrammes58Fonctions et algèbre

FA1Tableaux et reprŽsentations

FICHIERQue sais-je? p.31

ReprŽsente graphiquement les fonctions fet gdŽfinies par les tableaux suivants. Fonction f Fonction g

Fonctions

x-101

3x-303

x-101

2x- 6-8-6-4

FA3Combien de triangles?

a)Combien y a-t-il de triangles dans la figure ci-dessous? b)Combien y en aurait-il dans le cas d"une figure comportant 50 points alignŽs et numŽrotŽs sur la demi-droite d? c)Et pour npoints? 0 1 2345d

FICHIERFA2

Situations modŽlisables par des fonctions

FICHIERFA4ˆFA6

Pour rŽactiver certaines connaissances

Fonctions et diagrammes59Fonctions et algèbre

ReprŽsentations de fonctions

FA10Expression fonctionnelle et graphique

Indique ˆ quelle reprŽsentation graphique chacune des expressions fonctionnelles ci-dessous correspond. x- x 2 x-10x x4 xx-3 --5 0 5 5 0 5 -5 0 5 y x 5 -55 -5 f hi g

FICHIERFA7ˆFA9

Voici seize expressions fonctionnelles.

a)Lesquelles ont une droite pour reprŽsentation graphique? b)Lesquelles sont des fonctions linŽaires? c)Lesquelles sont des fonctions constantes? d)Lesquelles sont des fonctions affines?f:xx 2 g:x17x h:x2x+ 3 i:x1,5j:x-x k:x-x 2 -1 l:x m:xn:x5x 2 + 2 o:x-13 p:x-5x q:x1 + 3xr:x50x s:x-5x 2 t:xx+ 0,8 u:x2x+ x 100
1 1003
10

FA11Un peu d"ordre!

Fonctions et diagrammes60Fonctions et algèbre

f, g, het isont quatre fonctions. a)Sont-elles toutes linŽaires? b)Ecris, si possible, l"expression fonctionnelle de chacune de ces fonctions.

FA12Chercher la bonne fonction

Les fonctions f, g, het isont linŽaires.

Dans chacune de ces lignes s"est glissŽ un couple d"intrus. Trouve-le!

Fonction f:(4 ; 12)(12 ; 48)(16 ; 64)(8 ; 32)

Fonction g:(-3 ; 1,5)(6 ; -3)(-10 ; 5)(-2 ; 0)

Fonction h:(1 ; 5)(0 ; 0)(1 ; 0,2)(-4 ; -0,8)

Fonction i:(15 ; 5)(10 ; 30)(33 ; 11)(27 ; 9)

FA13LinŽaire!

f g h i

4 28 5 2 1 0,1 5 25

8 56 1 - 2 8 0,8 9 81

-10 - 70 -12 - 15 -15 -1,5 -10 100

FICHIERFaire le point p.39

h, iet jsont trois fonctions.

Trouve laquelle est linŽaire et

indique son facteur de linŽaritŽ.

FA14 Quelle est la bonne fonction?

h i j - 40 0 0 -1

04 2 8 -2 12

26 5 1250 0

101410 10005 -30

1 6 k, let msont trois fonctions.

Seule l"une d"entre elles n"est pas

linŽaire. a)Indique laquelle. b)DŽtermine le facteur de linŽaritŽ des deux autres fonctions.

FA15Toutes linŽaires?

k l m k(3) =1,5l(- 4) =- 6m(9) = 3 k(18) =9l(2) = 3m(36) = 6 k(7,2) =3,6l(11) =16,5m(64) = 8

Fonctions et diagrammes61Fonctions et algèbre

situations suivantes. b)Fabio quitte la maison ˆ vŽlo afin de se rendre ˆ son cours de guitare. En chemin, il se rend compte qu"il a oubliŽ ses partitions. Il retourne les chercher et arrive ˆ l"heure

ˆ son cours.

c)Diego va jouer un match de hockey. Il charge son matŽriel dans sa voiture, puis se rend ˆ la patinoire. Avec son Žquipe, il gagne la partie 5 ˆ 2. En rentrant ˆ la maison, il rencontre une copine et s"arrte un moment pour discuter. Finalement, il rentre chez lui et regarde la TV. d)Jessica va ˆ pied ˆ son travail. En chemin, elle croise son voisin de palier Mario qui rentre chez lui ˆ vŽlo.

FA16Chemin faisant

FICHIERFA17etFA18

FICHIERQue sais-je? p.42

FA20Histoire de s"y retrouver

Pour rŽactiver certaines connaissances

Classe les fonctions suivantes selon leur type.

a : x3x- 5 b : xx 2 c : x2 x d : x-2x+ 5 e : x3x + 5 f : x3 g : x3x h : x-7 i : xx j : x0,5x 2 k : x-2,5x l : x23 m : x0,1x n : xx 3 o : x-x p : x q : x-100x+ 1 r : x-2x 3 s : x0 t : xx 100
x

FICHIERFA19

Fonctions et diagrammes62Fonctions et algèbre

ReprŽsente dans le mme graphique les fonctions fdŽfinie par f(x) = -2x 2 et gdŽfinie par g(x) = 2x- 3.

FA21Quadratique et affine

a)Soigneusement entreposŽes sur un grand plateau au dŽbut du mois de novembre, ces poires se g‰tent inexorablement d"une semaine ˆ l"autre.

Evolution du nombre de poires g‰tŽes:

1 re semaine2 e semaine3 e semaine

FA22‚a se g‰te!

Situations modŽlisables par des fonctions

b)EntreposŽes au mme endroit, ces pommes se g‰tent aussi inexorablement d"une semaine ˆ l"autre.

Evolution du nombre de pommes g‰tŽes:

1 re semaine2 e semaine3 e semaine

Fonctions et diagrammes63Fonctions et algèbre

Un cube d"arte quelconque est constituŽ de npetits cubes unitŽs, tous pareils.

On plonge le cube dans de la peinture jaune.

Combien de petits cubes auront trois faces peintes? Deux faces peintes? Une face peinte? Aucune face peinte?

FA24Le cube peint

Les c™tŽs de chacune de ces figures sont isomŽtriques. A chaque Žtape, on commence par diviser la longueur du c™tŽ de la figure prŽcŽdente par trois. On transforme ensuite chaque c™tŽ de la figure prŽcŽdente, en doublant le tiers central. En partant d"un triangle ŽquilatŽral dont le c™tŽ mesure 13,5cm:

ˆ 100m? ˆ la distance Terre-Lune?

c)Existe-t-il une Žtoile de cette sŽrie dont l"aire est supŽrieure ˆ celle du sol de ta salle de classe? 32
1

FA23Fractoiles

On désigne par figure fractaleune courbe, une

surface ou un objet qui possède, entre autres, la caractéristique de présenter des détails identiques à des échelles très différentes.

Partons par exemple d"un cube. Partageons-

le en vingt-sept petits cubes, tous identiques.

Retirons le petit cube central ainsi que les six

cubes situés au milieu de chacune des faces. Si l"on répète ce procédé à chacun des cubes restants, deux fois de suite, on obtient le solide ci-contre, appelé également "éponge de Menger-Sierpinski».

Fonctions et diagrammes64Fonctions et algèbre

On aligne des cubes sur une table, face contre face, et on dŽtermine le nombre de faces visibles et cachŽes. Combien y aura-t-il de faces de chaque sorte si l"on dispose de: a)2013 cubes? b)ncubes? c)ncubes avec cet arrangement?

FA25Alignement de cubes

On remplit d"eau les six rŽcipients ci-dessous.

Tous ont le mme volume (480cm

3 ) et la mme hauteur (10cm). Mets en relation les rŽcipients avec chacune des reprŽsentations graphiques.

1.2.3.

FA26Un peu d"ordre, s.v.p.!

Exemple:3 cubes

-nombre de faces visibles: 11 -nombre de faces cachŽes: 7

SUITE ?

Fonctions et diagrammes65Fonctions et algèbre

Graphiques:

4.5.6.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

050100150200250300350400450500

volume (cm 3 hauteur (cm)

IIIIII

IVVVI

FICHIERFA27

Fonctions et diagrammes66Fonctions et algèbre

Pourtant, leurs rŽsultats ne sont pas tout ˆ fait les mmes. En quoi sont-ils diffŽrents?

Trouve, si possible, des situations fonctionnelles de la vie courante dont les reprŽsentations graphiques ont la mme allure. a)b) c)d) yy xx yy xx

FA28Cherchez les diffŽrences

ReprŽsentations graphiques et expressions fonctionnelles

Fonctions et diagrammes67Fonctions et algèbre

Quatre fonctions ont ŽtŽ reprŽsentŽes dans le graphique ci-dessous. a)Etablis un tableau de valeurs pour chacune d"entre elles. b)Retrouve leur expression fonctionnelle.

FA29Correspondances

210
-2 y -22 x g i f h

FICHIERFA30

Fonctions et diagrammes68Fonctions et algèbre

Deux fonctions het isont dŽfinies par :

h(x) = 2x 3 i(x) =

ReprŽsente-les graphiquement.

2 x expressions fonctionnelles sont: Retrouve les expressions fonctionnelles de chacune de ces fonctions.

FA33Appariement

FICHIERFA32

x5x xx 3 x- 0,5x 2 x- 2x-3 x 4 x --5 0 5 5 0 5 -5 0 5 y x 55
--555 -5 f g i h j

Fonctions et diagrammes69Fonctions et algèbre

Voici l"esquisse de la reprŽsentation graphique de la fonction gdŽfinie par g(x) = faite 5 x

FA34Hyperboles

Les cinq fonctions ci-dessous sont

de la forme f(x) = ax 2

Voici leur expression fonctionnelle

et leur reprŽsentation graphique: g(x) = x 2 h(x) = 5x 2 i(x) = 0,25x 2 j(x) = -0,5x 2 k(x) = -4x 2

Quelles constatations peux-tu

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