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Groupes.
1.Uneloi de compositionsur un ensembleEest une application de
E×EdansE.
La loi estassociativesi (ab)c=a(bc) quel que soienta,b,c?E.
La loi estcommutativesiab=baquel que soienta,b?E.
Si la loi est associative, on peut d´efinir de fa¸con unique, pour toutn, le produit ordonn´e den´el´ementsa1,...,andeEtel que pour toutk < non a a
1...an= (a1...aK)(ak+1...an.
2.Un ´el´ementedeEestneutresi pˆour touta?Eon aae=ea=a.
Lemme.Il existe au plus un ´el´ement neutre.
3.SiEadmet un ´el´ement neutree, on dit queaestinversibles"il existe
un ´el´ementa?, appel´einversedea, tel queaa?=a?a=e. Lemme.Si la loi est associative, il existe au plus un inverse dea, not´ea-1.
4.Un ensemble muni d"une loi de composition associative s"appellesemi-
groupe. Un semi-groupe avec un ´el´ement neutre s"appellemono¨ıde. Un mono¨ıde dans lequel tous les ´el´ements sont inversibles s"appellegroupe. Lemme.L"ensemble des ´el´ements inversibles d"un mono¨ıde est un groupe. Exemple.SoitXun ensemble etEl"ensemble de toutes les applications deX dansX; la composition des applications fait deEun mono¨ıde. Les applications inversibles (les bijectionsX→X) constituent legroupe des permutations deX, not´eS(X). Exemple.SoitVun espace vectoriel etEl"ensemble de toutes les endomor- phismes deV; c"est un mono¨ıde par rapport `a la composition ( en fait, c"est une alg`ebre). Les endomorphismes inversibles constituent legroupe lin´eairede
V, not´eGL(V).
Exemple:(Z/nZ,·) est un mono¨ıde par rapport `a la mutiplication (noter que Z/nZ est un anneau). La classe dekest inversible modulonsi et seulement si kest premier avecn. Le groupe des classes inversibles - le groupe multiplicatif de Z/nZ - sera not´e (Z/nZ)?. Le nombre d"´el´ements du groupeGs"appellel"ordredeGet se note|G|.
5.Une partieHdu groupeGest unsous-groupedeGsiHest non-vide,
stable pour la loi et si pour tout ´el´ementa?Hon aa-1?H. Lemme.Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe. SoitGun groupe etAune partie non-vide deG. Le sous-groupe deG engendr´eparA, not´e< A >, est l"intersection de tous les sous-groupes qui contiennentA; c"est le plus petit sous-groupe contenantA. Lemme.< A >consiste de tous les produits des ´el´ements deAet de leurs inverses.
Si< A >=G, on dit queAengendreG.
Lemme. Les sous-groupes de (Z,+) sont de la formenZ. On a< k,n >=dZ o`ud=pgcd(k,n) etkZ∩nZ =mZ o`um=ppcm(k,n).
6.SoitGetG?deux groupes; une applicationf:G→G?est unmor-
phismede groupes sif(ab) =f(a)f(b) quels que soita,b?G. La compos´ee de deux morphismes est un morphisme. Si un morphismefest bijectif, son inversef-1est un morphisme; dans ce casfest unisomorphisme. 1 L"isomorphisme est une relation d"´equivalence entre les groupes. Si les groupes sont isomorphes, leurs propri´et´es alg´ebriques sont identiques. L"ensemble de tous les morphismesf:G→Gest un mono¨ıde; les mor- phismes bijectifs forment le groupe des automorphismes deG. Exemple.Soita?Getfa(b) =aba-1, alorsfa:G→Gest un automor- phisme deG. L"application qui fait correspondre `aa?Gl"automorphismefa est un morphisme deGdans le groupe des automorphismes deG. Soitf:G→G?un morphisme de groupes. On d´efinit lenoyaudefpar Ker(f) ={x?G:f(x) =e?}. Ker(f) est un sous-groupe deG. L"image Im(f) est un sous-groupe deG?.
7. Lemme. a)SiHest un sous-groupe deG,f(H) est sous-groupe deG?.
SiH?est un sous-groupe deG?,f-1(H?) est sous-groupe deG. b)fest injectif si et seulement si Ker(f) ={e}. c)|G|=|Ker(f)||Im(f)|.
8.Un groupe est ditmonog`enes"il est engengr´e par un seul ´el´ement; un
groupe monog`ene fini est ditcyclique.
Exemples:(Z,+); (Z/nZ,+).
Soita?G;l"ordredeaest le plus petit entierk >0 tel queak=e; si un telkn"existe pas, on dit que l"ordre deaest infini. Lemme. a)L"ordre deaest ´egal `a l"ordre du sous-groupe engendr´e para. b)Sian=e, alors ord(a) divisen. c)Un groupe finiGest engendr´e parasi et seulement si ord(a) =|G|. d)Si ord(a) =n, alors ord(ak) =n/pgcd(k,n) =ppck(k,n)/k. e)SiG=< a >, alorsakest un g´en´erateur deGsi et seulement sikest premier avecn. f)ord(ab= ord(ba). g)Soit ord(a) =k, ord(b) =netab=ba. Alors ord(ab) est fini et divise ppcm(k,n). h)SiGest commutatif, l"ensemble d"´el´ements d"ordre fini est un sous-groupe deG. i)Soit ord(a) =k, ord(b) =netab=ba. Alors ord(ab) =knsi et seulement sikest premier avecn.
9. Structure des groupes cycliques.
a)L"image homomorphe d"un groupe cyclique est cyclique. b)Tout sous-groupe d"un groupe cyclique est cyclique. c)Deux groupes cycliques de mˆeme ordre sont isomorphes. Un groupe cyclique d"ordrenest isomorphe `a (Z/nZ,+). Un groupe monog`ene infini est isomorphe `a (Z,+) d)SoitGun groupe cyclique d"ordrenetHun sous-groupe deG. Alors l"ordre deHdivisenet pour tout diviseurddenil existe un seul sous-groupe H dd"ordred: on aHd={x?G:xd=e}.
10. L"indicatrice d"Euler?(n) est le nombre d"entiers entre 1 etnqui
sont permiers avecn. Noter que?(n) est ´egale au nombre de g´en´erateurs de (Z/nZ,+) et `a l"ordre du groupe multiplicatif (Z/nZ)?.
Sipest premier,?(p) =p-1.
2 Lemme.SoitGun groupe cyclique d"ordrenetdun diviseur den. Le nombre d"´el´ements deGd"ordredest ´egal `a?(d).
Corollaire: formule d"Euler.?
d|n?(d) =n.
11. Th´eor`eme de Lagrange.Dans un groupe fini l"ordre de tout sous-
groupe divise l"ordre du groupe. Corollaire. a)Dans un groupe fini l"ordre de tout ´el´ement divise l"ordre du groupe. b)Tout groupe d"ordre premier est cyclique. Appliqu´e au groupe (Z/nZ)?, le corollaire a) donne Th´eor`eme d"Euler.Sikest premier avecn, on ak?(n)= 1 (modn). Corollaire: petit th´eor`eme de Fermat.Sipest premier qui ne divise pask, alorskp-1= 1 (modp).
12. Th´eor`eme de Cauchy.SoitGun groupe fini netpun diviseur premier
de l"ordre deG. AlorsGposs`ede un ´el´ement d"ordrep. Corollaire.Un groupe fini commutatif dont l"ordre n"est pas divisible par un carr´e est cyclique.
13.Etant donn´e deux groupesG1etG2on d´efinit dans l"ensembleG1×G2
la loi dugroupe-produitouproduit direct"composante par composante": (a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2). Cette d´efinition s"´etend `a un nombre quelconque de groupes. (On d´efinit de mˆeme fa¸con le produit de mono¨ıdes et des anneaux.) Lemme.Le produit de deux groupes cycliques est cyclique si et seulement si leurs ordres sont premiers entre eux. Th´eor`eme chinois.Soitketnpremiers entre eux. Alors l"anneau Z/knZ est isomorphe `a l"anneau produit Z/kZ×Z/nZ. [Il suffit d"associer `a la classea(modkn) le couple (a(modk), a(modn)).] Corollaire.Soitketnpremiers entre eux. Alors le groupe multiplicatif (Z/knZ)?est isomorphe au produit (Z/kZ)?×(Z/nZ)?. Corollaire. Multiplicativit´e de l"indicatrice d"Euler.Soitketn premiers entre eux. Alors?(kn) =?(k)?(n). Sin=pa11...pallla d´ecomposition denen facteurs premiers, ?(n) = (pa1-pa1-1)...(pal-pal-1).
14. Th´eor`eme.Tout groupe commutatif fini est isomorphe au produit
direct des groupes cycliques. Th´eor`eme.Tout groupe commutatif engendr´e par un nombre fini d"´el´ements est isomorphe au produit direct des groupes monog`enes.
15. Groupe des permutations.
On dit que le groupeGagit(ouop`ere) sur un ensembleEsi on a un morphismeφdeGdans le groupe des permutations deE: pour toutg?G,
φ(g)?S(E) etφ(gh) =φ(g)π(h).
Theor`eme (Cayley).Tout groupe est isomorphe `a un sous-groupe du groupe des permutations. Plus pr´ecisement,Gest isomorphe `a un sous-groupe deS(G). [Il suffit de consid´erer l"action deGsurGpar les "translations":
φ(g)(h) =gh.]
3 SoitE= [1,n]; par d´efinition, le groupeSnagit surE. La permutation circulaire dekentiersi1,...,ik, not´ee (i1,...,ik), envoieijen i j+1, envoieikeni1et laisse fixes les autres ´el´ements. Une telle permutation s"appellecyclede longuerk; l"ensemble{i1,...,ik}est sonsupport. Les cycles de supports disjoints commutent entre eux.
Unetranspositionest un cycle de longueur 2.
Lemme.Toute permutation se d´ecompose en produit des transpositions.
16.Une partieFdeEestinvarianteoustableparGsi pour toutg?G
et toutx?Fon aφ(g)(x)?F. Soitx?E; laG-orbitedexest l"ensembleOx={φ(g)(x),g?G}. Toute orbite est invariante. Lemme.Eest la r´eunion des orbites deux `a deux disjointes. Soitσ?Sn. Le sous-groupe< σ >agit sur [1,n] et l"ensemble [1,n] se d´ecompose en orbites sous l"action (des puissances) deσ. Sur chaque orbite la permutationσagit comme un cycle dont la longueur est le cardinal de l"orbite (les orbites singletons - les points fixes deσ- ne comptent pas). Proposition.Toute permutation se d´ecompose en produit des cycles de support disjoints. Cette d´ecomposition est unique `a l"ordre de facteurs pr`es. Corollaire. a)Soitl1,...,lkles longueurs des cycles dans la d´ecomposition deσ. Alors l"ordre deσest ´egal `a ppcm(l1,...,lk). b)Deux permutations sont conjugu´ees si et seulement si elles ont les mˆemes listes des longueurs des cycles dans leurs d´ecomposition en produit des cycles disjoints.
17. Signature. Lemme.Soitπ?Sn. Les expressions suivantes donnent
le mˆeme r´esultat:
1.sign(π) = (-1)r, siπse d´ecompose en produit dertranspositions.
2.sign(π) = (-1)n+o(π), o`uo(π) est le nombre des orbites deπ(le nombre
de cycles plus le nombre de points fixes deπ).
3.sign(π) = (-1)I(π), o`uI(π) est le nombre d"inversions pourπ- le nombre
de paires (i,j) tels quei < jmaisπ(i)> π(j).
4.sign(π) =?
i
18. D´eterminant. SoitEun espace vectoriel de dimensionnetf:E×...×E→Kune forme n-lin´eaire anti-sym´etrique (altern´ee). Soit (e1,...,en) une base deE. On d´ecompose les vecteursv1,...vnsuivant la base:vj=? iaijei. Lemme.
f(v1,...,vn) =c? π?Snsign(π)a1,π(1)...an,π(n)
o`uc=f(e1,...,en). Sic= 1, il "agit du d´eterminant dans la base (e1,...,en). 4quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15
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