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Chapitre II

La théorie de la

production et des coûts

1 1. Aspects techniques

1.1 Concepts de base

• Notation

Soit y = (y

1 , ... , y l ) un vecteur de production nette où y h = b h -a h b h , a h ≥ 0 y h < 0 : input si : b h = 0 i.e. y h = -a h b h < a h ⇒ b h - a h < 0 y h > 0 : output si : a h = 0 i.e. y h = b h b h > a h ⇒ b h - a h > 0 • Ensemble de production ou ensemble technologique : P

Définition

: L"ensemble de production est l"ensemble de tous les vecteurs de production nette qui sont techniquement possibles (réalisables).

On écrit alors y ? P

Remarque

L"ensemble P dépend du producteur. C"est donc dire que chaque producteur j aura son ensemble P j

• Fonction de production

Représentation de l"ensemble de production par une fonction numérique.

Définition

: Une fonction de production est une fonction f : ? l → ? telle que 2 f(y 1 , y 2 ? (y 1 , y 2 , ... , y l ) ? P ? f(y 1 , ... , y l

• Efficience technique

Définition

: y 1 est techniquement efficace si y 1 ? P et s"il n"existe pas y 2 ? P tel que y h

² ≥ y

h1 , h = 1, 2, ... , l . Ex. y 1 5 3 4 3- est techniquement efficace s"il n"existe pas y² ? P : y² = 6 3 3 3- ⇒ Pour l"ensemble de production : les vecteurs techniquement efficaces vont appartenir à la frontière de P ⇒ pour la fonction de production : f(y 1 , y 2 , ... , y l ) = 0 ? y est techniquement efficace ⇒ f(y) = 0

Remarque sur la fonction de production

Soit f(y

1 , y 2 , ... , y l ) = 0 la forme générale. De cette forme générale, on peut tirer la forme particulière suivante : f(y 1 , y 2 , ... , y l ) = y 1 - g*(y 2 , y 3 , ... , y l ) = 0

3 ou y

1 = g*(y 2 , y 3 , ... , y l

En utilisant la notation "a

h , b h

», on peut aussi écrire :

b 1 = g*(-a 2 , -a 3 , ... , -a l b 1 = g(a 2 , a 3 , ... , a l ) forme usuelle des manuels Représentation graphique de P (efficience technique) Considérons le cas d"une activité de production impliquant un seul output y 1 = b 1 disons la bière) et un seul input -y 2 = a 2 (disons le travail) (voir graphique 2-01)

Tout les points (vecteurs) de P ne sont pas d"un intérêt égal. Ainsi, le point A semble en un sens

"inférieur» aux points B ou C : c"est qu"on peut obtenir autant de bière en B pour moins de

travail ou plus de bière en C pour le même travail. ? B et C sont techniquement efficaces (? P) ; A est réalisable mais non techniquement efficace.

A est un vecteur (y

1 , -y 2 ) tel que f(y 1 , -y 2 ) < 0. BC D A P y 1 =g(a 2 ) ou f(y 1 ,-y 2 )=0 -y 2 =a 2 y 1 =b 1 2- 01

4 En général, y efficace ⇒ f(y) = 0 mais l"inverse n"est pas nécessairement vrai :

ex., le point D.

Remarques

Une fonction de production ne nous permet pas de tenir compte à la fois du phénomène de

proportionnalité ou de coefficients fixes (complémentarité des inputs) utilisé par Marx ou

Walras et de la possibilité de substitution entre les inputs utilisés par Pareto. Toutefois, l"approche moderne basée sur les ensembles de production peut tenir compte de ces deux aspects. C"est donc une approche plus générale.

Dans certains cas, il peut être intéressant de spécifier davantage le contexte dans lequel la

technologie de la firme est définie. Par exemple, à court terme, certains inputs peuvent être

fixés alors qu"ils deviendront variables à long terme. Cela aura évidemment un impact sur les

possibilités techniques de la firme. On distinguera alors la fonction de production (ou ensemble de production) à court et à long terme.

1.2 Étude de la fonction de production : forme particulière

1.2.1 Notation

y 1 = g*(y 2 , ... , y l b 1 = g (a 2 , ... , a l

Exemples

1.

La technologie Cobb-Douglas → b

1 = Aa 2α a 3β

α, β > 0

2.

La technologie Leontief → b

1 = min(αa 2 , βa 3 ) α, β > 0

1.2.2 Représentation graphique

5 1) La technologie Cobb-Douglas : Posons b

1 = b 1 la fonction s"écrit b 1 = a 2α a 3β (voir graphique 2-02)

équation de la courbe isoquante : a

2 = b 1

1/α

a

3-β/α

ensemble de production P : { (a 2 , a 3 ) | a 2α a 3β ≥ b 1

2) La technologie Leontief

Posons b

1 = b 1

La fonction s"écrit :

b 1 = min (αa 2 , βa 3 voir graphique 2-03)

1.2.3 TMST et Pm

Hypothèse de base : g est deux fois continûment dérivable ( g ? C²) gg ab a r rr 1 existent et sont continues gg aab aa rs rs rs 22
1 existent et sont continues

Considérons la différentielle totale de g :

db 1 = g 2 da 2 + g 3 da 3 + ... + g l da l P

Isoquante

a 3 a 2 bb 11 2- 02 pente=α bb 11 bb 11 a 3 a 2 2- 03 6

• Posons db

1 = 0 et da h = 0 sauf pour h = r, s

0 = g

r da r + g s da s da dag g r ss r =- = pente de l"isoquante = TMST (taux marginal de substitution technique) voir graphique 2-02)

Le TMST définit l"efficacité relative de l"input r par rapport à l"input s, i.e. combien d"input r

supplémentaire on doit fournir suite à une diminution de une unité de l"input s pour garder le

même niveau d"output.

• Posons da

h = 0 sauf pour h = s db 1 = g s da s db dag ss 1 = = pente de la fonction de production = P m , productivité marginale de l"input s P

Isoquante

a 3 a 2 bb 11 2- 02 7 voir graphique 2-04 )

Exemple

: La technologie Cobb-Douglas b 1 = g(a 2 , a 3 dy 1 = g 2 da 2 + g 3 da 3 da 2 / da 3 = -g 3 / g 2 ( TMST ) db 1 / da 2 = g 2 ( Pm ) db 1 / da 3 = g 3 ( Pm ) Q = A K L dK/dL = -β/α K/L ( TMST ) dQ / dK = Aα K

α-1

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