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APPLICATIONS LINÉAIRES - Christophe Bertault
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Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
APPLICATIONS LINÉAIRES
Dans ce chapitre,?est l"un des corps?ou?etIest un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés
demeurent cela dit vrais sur un corps?quelconque à l"exception de ceux du paragraphe sur les symétries.
1 APPLICATIONS LINÉAIRES,ÉQUATIONS LINÉAIRES
1.1 DÉFINITION ET PREMIERS EXEMPLES
Définition(Application linéaire)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels. On appelleapplication linéaire de E dans
Ftoute applicationf:E-→Fqui préserve les combinaisons linéaires : ?x,y?E,?λ,μ??,f(λx+μy) =λf(x)+μf(y). L"ensemble des applications linéaires deEdansFest noté?(E,F).LorsqueE=F, on dit plutôt quefest unendomorphisme de E. L"ensemble des endomorphismes deEest noté?(E).
LorsqueF=?, on dit plutôt quefest uneforme linéaire de E. Toute application linéairef? ?(E,F)est unMORPHISME DE GROUPES ADDITIFS, donc : f(0E) =0F.Ensuite, siAest un sous-espace vectoriel deE, l"application restreintefAest elle aussi linéaire. En effet, s"il est vrai pour
tousx,y?Eetλ,μ??que :f(λx+μy) =λf(x)+μf(y), c"est a fortiori vrai pour tousx,y?A.Enfin, pour vérifier quefest linéaire, il est suffisant de vérifier quef(λx+y) =λf(x) +f(y)pour tousx,y?Eet
λ?? avecUN SEUL SCALAIRE. Dans ce cas :f(λx) =f(λx+0E) =λf(x)+f(0E) =λf(x)+0F=λf(x)pour tous
x,y?Eetλ,μ??, puis de mêmef(λx+μy) =f(λx)+f(μy) =λf(x)+μf(y).Définition(Homothétie)SoientEun?-espace vectoriel etλ??. L"applicationλIdEest un endomorphisme deE
appelé l"homothétie de E de rapportλ. En particulier IdE? ?(E).DémonstrationPour tousx,y?Eetα??:(λIdE)(αx+y) =λ(αx+y) =α(λIdE)(x)+(λIdE)(y).
ExempleL"application(x,y)f?-→x,x+y,x-2yest linéaire de?2dans?3. DémonstrationPour tous(x,y),(x?,y?)??2etλ??: fλ(x,y)+(x?,y?)
=fλx+x?,λy+y?=Exemple
Pour toutx??, l"applicationP?-→P(x)d"évaluation enxest uneFORMElinéaire de?[X]. Pour toutA??[X], l"applicationP?-→APde multiplication parAest un endomorphisme de?[X].Pour toutQ??[X], l"applicationP?-→P◦Qde compositionÀ DROITEparQest un endomorphisme de?[X].
L"applicationP?-→P?de dérivation est un endomorphisme de?[X].Exemple
Pour tout intervalleI, l"applicationf?-→f?est linéaire de?(I,?)dans??ou de?1(I,?)dans?(I,?). Comme elle
envoie?∞(I,?)dans lui-même, c"est également un endomorphisme de?∞(I,?).L"applicationf?-→?
1 0 fest uneFORMElinéaire de?[0,1],?.L"applicationu?-→limn→+∞unest uneFORMElinéaire de l"espace vectoriel des suites réelles convergentes.
1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Exemple
L"application(x,y)??-→x+y+1N"estPASlinéaire de?2dans?car?(0,0) =1?=0.L"application(x,y)ψ?-→x2+y2N"estPASlinéaire de?2dans?carψ2(1,1)=ψ(2,2) =8?=4=2ψ(1,1).
Définition-théorème(Application linéaire canoniquement associée à une matrice)SoitA? ?n,p(?). L"application
X?-→AXest linéaire de?pdans?net appelée l"application linéaire canoniquement associée à A. Je la noterai souvent?A
dans ce cours mais il ne s"agit pas là d"une notation universelle.L"applicationX?-→AXest définie de?pdans?net non l"inverse pour une simple raison de compatibilité desformats.
Pour tousA? ?p,q(?)etB? ?q,r(?):
?AB=?A◦?Bcar pour toutX??r: AB(X) = (AB)X=A(BX) =?A(BX) =?A?B(X)=?A◦?B(X). ExempleL"application linéaire canoniquement associée à 0 1 23 4 5 est l"application(x,y,z)?-→(y+2z,3x+4y+5z) de?3dans?2.Définition-théorème(Formes coordonnées relativement à une base)SoitEun?-espace vectoriel. On suppose
queEpossède une base?= (ei)i?I. Pour touti?I, l"application qui associe à tout vecteur deEsa coordonnée dans?
selon le vecteureiest une forme linéaire deEappelée laièmeforme coordonnée de E(dans?).DémonstrationSoientx,y?Ede coordonnées respectives(xi)i?I,(yi)i?Idans?etλ??. Le vecteurλx+y
admetλxi+yi i?Ipour coordonnées dans?car :λx+y=λ? i?Ix iei+? i?Iy iei=? i?Iλxi+yiei. En
particulier, pour touti?I, la coordonnée seloneideλx+yestλxi+yi. C"est la linéarité souhaitée!
Exemple
Les formes coordonnées de?npour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applications(x1,...,xn)?-→x1,
(x1,...,xn)?-→x2, ...,(x1,...,xn)?-→xn.Les formes coordonnées de?n[X]pour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applicationsP?-→a0,P?-→a1,
...,P?-→ansi on notea0,...,anles coefficients deP:P=anXn+...+a1X+a0. Définition(Isomorphisme, espaces vectoriels isomorphes)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels.Isomorphisme (d"espaces vectoriels) :On appelleisomorphisme(d"espace vectoriel)de E sur Ftouteapplication
linéaire bijective deEsurF.LorsqueE=F, on parle plutôt d"automorphisme(d"espace vectoriel)de E. L"ensemble des automorphismes deE
est noté GL(E)et appelé legroupe linéaire de E.Espaces vectoriels isomorphes :On dit queFestisomorphe à E(en tant qu"espace vectoriel) s"il existe un
isomorphisme deEsurF.Le fait que deux espaces vectoriels soient isomorphes signifie qu"à défaut d"être identiques au sens propre, ils le sont au
moins d"un point de vue vectoriel. Tout isomorphisme entre eux est comme un dictionnaire parfait pour passer de l"un à
l"autre. Toute propriété vectorielle i.e. que l"on peut exprimer en termes de combinaisons linéaires de l"un des espaces
a son analogue dans l"autre espace. Nous verrons bientôt queles isomorphismes préservent la dimension.
L"application linéaire(a,b,c)??-→a+bX+cX2est par exemple un isomorphisme de?3dans?2[X]. Cet isomorphisme
" géométrise »?2[X]en en faisant une sorte de copie parfaite de?3. La coplanarité des vecteurs(0,1,0),(0,0,1)et!
0,1,1 2! se traduit dans?2[X]par celle des vecteursX,X2etX+X2 2. ?3 (1,0,0)(0,0,1) (0,1,0) 0,1,12!Isomorphisme?
?2[X] 1X 2 X X+X22 2Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
ExempleL"applicationfS?-→f?,f(0)est un isomorphisme de?1(?,?)sur?(?,?)×?. Cet isomorphisme est un peu
surprenant car?1(?,?)est à la fois beaucoup plus petit que?(?,?)et isomorphe à?(?,?)×?, donc plus gros que
DémonstrationL"applicationSest linéaire car pour tousf,g? ?1(?,?)etλ??:S(λf+g) =
(λf+g)?,(λf+g)(0)λf?+g?,λf(0)+g(0)
=λf?,f(0)+g?,g(0)=λS(f)+S(g).Ensuite, il n"est pas dur de comprendre que l"applicationTqui associe à tout couple(g,a)? ?(?,?)×?la
fonctionx?-→a+? x 0 g(t)dtde classe?1admetSpour réciproque.1.2 OPÉRATIONS SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES
Théorème(Composition d"applications linéaires, réciproque d"un isomorphisme)SoientE,FetGtrois?-espaces
vectoriels. (i)Composition :Pour tousf? ?(E,F)etg? ?(F,G):g◦f? ?(E,G). En particulier, sifest un isomorphisme deEsurFetgun isomorphisme deFsurG,g◦fest un isomorphisme deEsurG. (ii)Réciproque :Sifest un isomorphisme deEsurF,f-1est un isomorphisme deFsurE.En particulier, la relation d"isomorphisme entre espaces vectoriels est une relation d"équivalence pour la réflexivité,
remarquer simplement que Id Eest un isomorphisme deEpour tout?-espace vectorielE.Démonstration
(i) Soientf? ?(E,F)etg? ?(F,G). Pour tousx,y?Eetλ??:g◦f(λx+y) =gf(λx+y)=gλf(x)+f(y)=λgf(x)+gf(y)=λg◦f(x)+g◦f(y).
(ii) Nous savons quef-1est bijective deFsurE, mais est-elle linéaire? Pour tousy,y??Fetλ??: f -1λy+y?=f-1λff-1(y)+ff-1(y?)
=f-1 fλf-1(y)+f-1(y?) =λf-1(y)+f-1(y?). ExempleL"applicationP?-→XP?X2est un endomorphisme de?[X].DémonstrationLes applicationsPα?-→P?,Pβ?-→PX2etPγ?-→XPsont linéaires, doncγ◦β◦αaussi.
ExempleL"applicationf?-→?
1 0 ft2dtest linéaire de?[0,1],?dans?. DémonstrationLes applicationsfα?-→f◦t?-→t2etfβ?-→? 1 0 f(x)dxsont linéaires, doncβ◦αaussi.Théorème(Traduction de l"inversibilité en termes d"application linéaire canoniquement associée)Une matrice
A? ?n(?)est inversible si et seulement si l"application linéaire?Acanoniquement associée àAest un automorphisme
de?n. Dans ce cas :?A-1=?A-1.DémonstrationD"après la caractérisation de l"inversibilité en termes desystèmes linéaires :
Aest inversible?? ?Y??n,?!X??n,Y=AX?? ?Y??n,?!X??n,Y=?A(X) ?Aest un automorphisme de?n.Dans ce cas
?A◦?A-1=?A A-1=?In=Id?net de même?A-1◦?A=Id?n, donc en effet?A-1=?A-1. ExempleL"application(x,y)?-→(3x+y,5x+2y)est un automorphisme de?2. Sa réciproque est l"application(x,y)?-→(2x-y,-5x+3y)car la matrice 3 15 2 est inversible d"inverse 2-1 -5 3Théorème(Combinaisons linéaires d"applications linéaires)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels. L"ensemble
?(E,F)est un sous-espace vectoriel deFE, donc un?-espace vectoriel. En d"autres termes, toute combinaison linéaire
d"applications linéaires deEdansFest une application linéaire deEdansF. 3Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
DémonstrationPour commencer?(E,F)?FEet l"application nullex?-→0Fest linéaire deEdansF.Pour la stabilité par combinaison linéaire, soientf,g? ?(E,F)etλ??. Montrons queλf+g? ?(E,F), i.e.
queλf+gest linéaire. Pour tousx,y?Eetα??:λf+g(αx+y) =λf(αx+y)+g(αx+y) =λαf(x)+f(y)+αg(x)+g(y)
ExempleL"applicationPf?-→PX2+2P?(1)est un endomorphisme de?[X].DémonstrationL"applicationP?-→PX2est linéaire. Ensuite,Pd?-→P?etPe?-→P(1)sont linéaires, donc
Pe◦d?-→P?(1)aussi par composition. Par combinaison linéaire,fest comme voulu un endomorphisme de?[X].
Observons à présent que pour toutesf,f?? ?(E,F)etg,g?? ?(F,G):Attention cependant! La relationg+g?◦f=g◦f+g?◦fest vraie en toute généralité sans linéarité alors que la
relationg◦f+f?=g◦f+g◦f?requiert à tout prix la linéarité deg. Faites l"effort de vous en convaincre.
L"énoncé qui suit repose entièrement sur l"idée que pour tout?-espace vectorielE, la composée de deux endomorphismes
deEest encore un endomorphisme deE. En d"autres termes, la composition est uneLOI INTERNEsur?(E). Théorème(Anneau?(E))SoitEun?-espace vectoriel.Le triplet?(E),+,◦est un anneau d"élément neutre multiplicatif 1?(E)=IdE, non commutatif en général.
GL(E)est le groupe des inversibles de l"anneau?(E): U?(E)=GL(E).On omet souvent de noter le symbole◦de composition en notantgfà la place deg◦fpour tousf,g? ?(E).
La loi produit de?(E)est laCOMPOSITION. Pour tousf? ?(E)etn??,fndésigne donc IdEsin=0 etf◦f◦...◦f?
ntermessin?1. Comme dans tout anneau, deux formules importantes sont vraies dans?(E): (f+g)n=n k=0! n k! f kgn-k(formule du binôme)etfn-gn= (f-g)n-1? k=0f kgn-k-1pour tousf,g? ?(E)QUI COMMUTENT. Il est essentiel quefetgcommutent. Pour montrer que(f+g)(f-g) =f2-g2
par exemple, il faut pouvoir simplifierf gavecgf. DémonstrationPour commencer,?(E)est un groupe commutatif pour l"addition en tant que sous-espace vectoriel deEE.Ensuite,lacompositionestuneloidecompositioninterne sur?(E)carlacomposéededeuxapplications linéaires
est linéaire. Cette loi est associative et admet Id E, qui est linéaire, pour élément neutre. Enfin, nous avons vu juste avant que la composition est distributive sur l"addition. ExempleLes endomorphismesPD?-→P?etPM?-→XPde?[X]NEcommutentPAS, donc l"anneau??[X]N"estPAS
commutatif. Par exempleD◦M(X) =X2?=2Xalors queM◦D(X) =X×X?=X. Définition(Endomorphisme nilpotent)SoitEun?-espace vectoriel etf? ?(E). On dit quefestnilpotentsi fk=0?(E)pour un certaink???. Le plus petit de ces entierskest alors appelé l"indice de nilpotence de f.
ExemplePour toutn??, l"endomorphismePD?-→P?de?n[X]est nilpotent d"indicen+1. DémonstrationPour toutP??n[X]:P(n+1)=0, doncDn+1=0?(?n[X]), doncDest nilpotent d"indiceinférieur ou égal àn+1. L"égalitéXn(n)=n! montre cependant queDn?=0?(?n[X]), doncDest d"indicen+1
(exactement). 4Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
1.3 IMAGE D"UN SOUS-ESPACE VECTORIEL
Théorème(Image d"un sous-espace vectoriel par une application linéaire)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels
etf? ?(E,F). Pour tout sous-espace vectorielAdeE, l"imagef(A)deAparfest un sous-espace vectoriel deF.
En particulier, l"imagef(E)est un sous-espace vectoriel deFnoté Imfetfest surjective deEsurFsi et seulement si
Imf=F.
DémonstrationSoitAun sous-espace vectoriel deE. Montrons quef(A)est un sous-espace vectoriel deF. Pour
commencerf(A)?Fet 0F=f(0E)?f(A). Ensuite, soienty,y??f(A)etλ??, disonsy=f(a)ety?=f(a?) pour certainsa,a??A. Par linéarité def:λy+y?=λf(a)+f(a?) =fλa+a?avecλa+a??AcarAest un sous-espace vectoriel deE, doncλy+y??f(A).ExempleL"image de l"endomorphisme(x,y,z)g?-→x+2y+z,2x+y-z,x+2y+zde?3est le plan d"équationz=x.
DémonstrationPour tout(x,y,z)??3:(x,y,z)?Img???(a,b,c)??3,