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25 2 1 Formes bilinéaires symétriques 25 2 2 Formes quadratiques 25 2 3 Expression analytique d'une forme quadratique si K = R 26 3 Orthogonalité 27
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En particulier, pour toute forme quadratique q, il existe une unique forme bilinéaire sy- métrique ϕs associée et elle est donnée par l'identité de polarisation
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Math-IV-algèbre
Formes (bi)linéaires
Alexis Tchoudjem
Université Lyon I
31 mai 2011
2 Dans ce cours?est un corps qui peut être?;?ou?. Autres notations :SiEest un?espace vectoriel etv1;:::;vnsont des vecteurs deE, on notera : hv1;:::;vni le sous-espace vectoriel deEengendré parv1;:::;vnc-à-dle sous-espace des combinaisons linéaires1v1+:::+nvn
où1;:::;2?.Table des matières
1 Quotients 5
1.1 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72 Formes linéaires 11
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112.2 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112.3 Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122.3.1 Base antéduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 22.4 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.5 Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152.6 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173 Formes bilinéaires 19
3.1 Matrice d"une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193.2 Formules de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . .
203.3 Formes bilinéaires non dégénérées . . . . . . . . . . . . . . . .
203.4 Orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213.5 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233.6 Formes bilinéaires symétriques et formes bilinéaires alternées .
244 Formes quadratiques, formes hermitiennes 25
4.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264.3 Rang, noyau, cône isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284.4 Diagonalisation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294.5 Classification des formes quadratiques complexes . . . . . . .
304.6 Classification des formes quadratiques réelles . . . . . . . . .
314.7 Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324.8 Formes quadratiques et hermitiennes positives . . . . . . . . .
354.9 Orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . .
354.10 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
4TABLE DES MATIÈRES
5 Espaces euclidiens et hermitiens 37
5.1 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375.1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405.1.2 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
415.2 Espaces hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
415.3 Réduction des matrices symétriques et des endomorphismes
adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.1 Adjoint d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . .
435.3.2 Réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
445.3.3 Quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
455.3.4 Classification des coniques . . . . . . . . . . . . . . . .
485.3.5 Classification des quadriques en dimension trois . . . .
566 Formes bilinéaires alternées 59
6.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
596.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
606.3 Le Pfaffien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616.4 Groupe symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
637 Les quaternions 65
7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
657.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
677.3 Lien avec les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68Chapitre 1
Quotients
1.1 Sommes directes
SoitEun?espace vectoriel. SoientF1;F2deux sous-espaces deE. On dit queEest lasomme directedeF1etF2ou queF2est unsupplé- mentairedeF1dansEsi : i)E=F1+F2etii)F1\F2= 0 notation :E=F1F2:
Exemple :
?=?+?i Proposition 1.1.1SiE=F1F2et siEest de dimension finie, alors : dimE= dimF1+ dimF2 Proposition 1.1.2SoitEun espace vectoriel de dimension finie et soitF un sous-espace deE. AlorsFadmet un supplémentaire dansE. Démonstration :Soite1;:::;erune base deF. C"est une famille libre donc, on peut la compléter en une basee1;:::;er;:::;endeE. PosonsG:=her+1;:::;eni.On a :E=FG.q.e.d.
Corollaire 1.1.2.1SiFest un sous-espace vectoriel d"un espaceEde di- mension finie, alors : dimFdimE de plus,dimF= dimEsi et seulement siE=F. 56CHAPITRE 1. QUOTIENTS
Théorème 1.1.3SoientF;Gdeux sous-espaces d"un même espace vectorielEde dimension finie. Alors :
dim(F+G) = dimF+ dimGdim(F\G): Exemple :SoientP1;P2deux plans distincts de l"espace?3qui passent par0. AlorsP1\P2est une droite.Démonstration :SoientF0,G0tels que :
F=F0(F\G) etG= (F\G)G0:
Alors :
F+G=FG0
)dim(F+G) = dimF+ dimG0= dimF+ dimGdim(F\G): q.e.d. SoientF1;:::;Fndes sous-espaces deEun?espace vectoriel. On dit queEest la somme directe desFisi toutx2Es"écrit de manière unique x=x1+:::+xnavec chaquexi2Fi.Autrement dit si :
i)E=F1+:::+Fn et ii)8x12F1;:::;8xn2Fn; x1+:::+xn= 0)x1=:::=xn= 0 notation :E=F1:::Fn.Exercice 1
dim(F1:::Fn) = dimF1+:::+ dimFn Exercice 2SoientF1;F2;F3trois sous-espaces d"un même espace vectorielEde dimension finie. Alors,
dim(F1+F2+F3) = dimF1+ dimF2+ dimF3 dim(F1\F2)dim(F2\F3)dim(F1\F3) +dim(F1\F2\F3):1.2. QUOTIENTS7
1.2 Quotients
SoitEun?espace vectoriel. SoitFun sous-espace deE. Pour tout x2E, on notex+Fl"ensemble des éléments de la formex+yoùy2F. Par exemple, siE=?2, siF=Dest une droite passant par0, alors pour toutx2?2,x+Dest la droite parallèle àDpassant parx.L"ensemble des
x+F:x2E est notéE=F.Remarque :0 +F=F.
Proposition 1.2.1Soientx;x02E. Alors,x+F=x0+F,xx02F.En particulier, pour touty2F,x+F= (x+y) +F.
Remarque :On écrit aussix=x0modFà la place dex+F=x0+F. On définit une addition et une multiplication par les scalaires surE=F par : i)8x;y2E;(x+F) + (y+F) := (x+y) +F ii)8t2?;8x2E; t:(x+F) :=tx+F : Proposition 1.2.2Cette addition et cette multiplication sont bien définies. Avec cette addition et cette multiplication,E=Fest un?espace vectoriel abstrait, c"est le " quotient deEparF» . Démonstration :Il s"agit de montrer que six+F=x0+Fety+F=y0+F, alors :(x+y) +F= (x0+y0) +F. Puis que six+F=x0+F, alors pour toutt2?,tx+F=tx0+F. Maintenant il est facile de vérifier les axiomes de définition d"un espace-vectoriel.q.e.d. Remarque :Le neutre (ou le zéro) deE=Fest0E=F= 0 +F=F. SiE=Fest de dimension finied, on dit queFest decodimensionddansE. Notation :codim(F;E).
Proposition 1.2.3Soit:E!E=Fl"application :x7!x+F. C"est la projection canonique deEsurE=F. L"applicationest linéaire surjective et son noyau est : ker=F : En pratique, on représente les éléments deE=Fpar un supplémentaire deFdansEplutôt que par l"ensemble des classes moduloF. En effet :8CHAPITRE 1. QUOTIENTS
Proposition 1.2.4SoitEun?espace vectoriel. SoitFun sous-espace deE. Alors siSest un supplémentaire deFdansE, c-à-dFS=E, la restriction deàS:0:S!E=F x7!x+F
est un isomorphisme. En particulier,Fest de codimension finie si et seulement siF admet un supplémentaire de dimension finie. Et dans ce cas tous les supplé- mentairesSdeFdansEsont de dimension :dimS= codimE(F). Démonstration :Injectivité :ker0= ker\S=F\S= 0. Surjectivité : six+F2E=F, il existex12F;x22Stels quex=x1+x2.Alors :x+F=x2+F=0(x2).q.e.d.
Corollaire 1.2.4.1SiEest de dimension finie et siFest un sous-espace deE, alors :dimEdimF= codim(F;E). " Il y a une infinité de supplémentaires (tous isomorphes) alors qu"il n"y a qu"un seul quotient. Donc utiliser le quotient évite de faire un choix particulier. » Proposition 1.2.5Soit':E!E00une application linéaire surjective. Alors, on a un isomorphisme d"espaces vectoriels :':E=ker''!E00 défini par :x+ ker'7!'(x). Démonstration :L"apllication de l"énoncé est bien définie et est bien linéaire.Elle est surjective car siy2E00, il existex2Etel que'(x) =ydonc :'(x+ ker') =y. Elle est injective car :
x+ ker'2ker','(x+ ker') = 0 ,'(x) = 0,x2ker',x= 0 mod ker' : q.e.d. On en déduit le célèbre théorème du rang : Théorème 1.2.6 (théorème du rang)SoitEun?espace vectoriel de dimension finie. Si':E!Fest une application linéaire, alors :dimE= rang(') + dimker'. (On rappelle que le rang d"une application linéaire est la dimension de son image.