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METHODES NUMERIQUES 1

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Chapitre 1: Résolution d'équations à l'aide de méthodes numériques

§ 1.1 Introduction

Problème :

Exemples :

La plupart des problèmes en sciences appliquées débouchent sur des équations que l'on ne peut résoudre à l'aide de simples formules. Outre les équations polynomiales de degré plus grand ou égal à 5 (où il n'existe pas de formule générale), il y a celles où interviennent des fonctions trigonométriques, exponentielles ou logarithmiques. • x 5 2x 4 +100x
3 2=0 • x 3 2=x • sin(x)=x+1 • ln(x)=x ou e x =3x La résolution d'une équation pourra se ramener à la recherche des zéros d'une fonction f. Par exemple : sin(x)=x+1 revient à chercher les zéros de la fonction f définie par: f(x)=sin(x)x1 Plusieurs méthodes permettent de calculer les zéros de f par approximations successives avec, théoriquement, la précision désirée. Ces méthodes supposent toutefois que les zéros soient plus ou moins localisés. Ainsi, pour chaque zéro, on devrait pouvoir donner un intervalle [a ; b] qui ne contient pas d'autre zéro que celui recherché. Souvent des informations sur le comportement de la fonction f (dérivée première, dérivée seconde) sont nécessaires. Dans ce chapitre on ne considère que des fonctions f qui satisfont aux deux conditions suivantes : f est continue et dérivable sur un intervalle [a ; b] f (a) et f (b) sont de signes différents

Théorème :

Par le théorème de la valeur intermédiaire (théorème de Bolzano), on sait qu'il existe alors au moins un zéro de f dans l'intervalle [a; b] , c'est-à-dire un nombre r tel que f (r) = 0.

2 CHAPITRE 1

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§ 1.2 La dichotomie

Rappel :

Soit f une fonction continue sur [a ; b] telle que sgn(f (a)) sgn(f (b)). On se propose de déterminer un zéro de f compris entre a et b. La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles emboîtés qui contiennent le zéro de f cherché.

On calcule x

1 =1

2(a+b), le milieu de l'intervalle [a ; b]

Si sgn(f (a)) sgn(f (x

i )) , un zéro de f appartient à l'intervalle [a ; x i ] et l'on poursuit la recherche sur cet intervalle.

Sinon, on a nécessairement sgn(f (x

i )) sgn(f (b)) et c'est cet intervalle [x i ; b] qui est retenu. On définit ainsi une suite d'intervalles emboîtés [a n ; b n ] de la façon suivante : • [a 0 ; b 0 ] = [a ; b] • [a n+1 ; b n+1 ]= [a n ; x n ] si sgn(f(a n ))sgn(f(x n où x n =a n +b n 2 [x n ; b n ] sinon On poursuit les calculs aussi longtemps que la longueur de l'intervalle [a n ; b n ] est supérieure à la précision voulue. a b x f(x) y = f (x)

METHODES NUMERIQUES 3

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Exemple:

Résoudre l'équation e

x - 2x = 3, on désire que les solutions admettent une erreur absolue inférieure à 1/10

4 CHAPITRE 1

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Remarques

• Vitesse de convergence

Les intervalles [a

n ; b n ] obtenus par la méthode de dichotomie vérifient b n a n =1 2 n (ba). Si r désigne le zéro de la fonction commun à tous les intervalles [a n ; b n ], l'erreur absolue maximale est proportionnelle à 1 2 n Comme 1 2 3 >1 10>1 2 4 , il faut 3 à 4 itérations supplémentaires pour obtenir une nouvelle décimale de la solution. quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22