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∆z On retrouve la formule de l'hydrostatique avec axe orienté vers le haut 2 ) Application numérique :

dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, l'équation de continuité et le théorème de Bernoulli Elles sont considérées très importantes

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1 5 Comportement des fluides visqueux - Équation de Navier-Stokes `A la fin de cette version PDF, en annexe C, figurent des corrigés succincts des exercices et pression en −ρv2/2 (d'apr`es le second théor`eme de Bernoulli) exercées

CORRECTION EXERCICES ECOULEMENT DES FLUIDES

Exercice 1 :

q v = 3000 L/min = 3000 . 10-3 60 m
3.s-1 Comme le liquide est incompressible, le débit est CONSTANT. q v = s . v = p D2

4 . v Þ v = 4 . qv

p D2 v

1 = 44 . qv

p p D1122 = 4,42 m.s -1 v2 = 44 . qv p p D2222 = 1,59 m.s -1

Exercice 2 : 1.) BERNOULLI : p + r . g . z + 1

2 . r . v2 = cte

1 + r . g . z1 + 1

2 r . v12 = p2 + r . g . z2 + 1

2 . r . v22 En simplifiant par les termes liés la vitesse, on

obtient : p2 - p1 = r . g . z1 - r . g . z2 Þ p2 - p1 = - r . g . (z2 - z1)

Donc DDp = - - rr . g . DDz .

On retrouve la formule de l'hydrostatique avec axe orienté vers le haut.

2.) Application numérique :

Dpeau = - reau . g . Dz Þ DDpeau = - 0,5 .105 Pa Dpair = - rair . g . Dz Þ DDpair = - 65 Pa

3.) Variation relative comparée à la pression atmosphérique normale.

D peau P atm = - -50 000

1 . 105 Þ DDpeau

P atm = - 50% Dpair P atm = - -65

1 . 105

Þ DDpair

P atm = - 0,065%

Conclusion : pour les écoulements d'air (gaines de ventilation par exemple), il est inutile de tenir

compte du terme " altitude » rr . g . z

Exercice 3 :

1.) Qv = S . v avec S = p D2

4 Þ Qv = p D2

4 . v Þ Qv = 0,113 m3.s-1

Ecoulement isovolume :

Q v = DV

Dt à 60°C

Q vO = DVO

Dt à 0°C

En raisonnant sur

l'équation des gaz parfaits

P . V = n . R . T , on peut écrire :

Situation écoulement Situation C.N.T.P.

P e = 1 . 105 Pa Po= 1 . 105 Pa

DVe = 0,113 m3 DVo = à calculer

n e = ? ne = no T e = 60 + 273 = 333 K T1 = 0 + 273 = 273 K P . DV = n R T Comme P , n et R sont constants Þ DV

T = constante D

2 = 0,200 m D

1 = 0,120 m Entre t et Dt , à deux endroits différents de

l'écoulement le volume déplacé est le même. t t +Dt t t +Dt DVe Te = DVo

To Þ DVo = To DVe

Te ÞÞ DDVo = 93 .10-3 m3.s-1

2.) Comme on donne la masse volumique de l'air pour 0°C , on prndra le débit volumique QvO pour

calculer le débit massique : Qm = ra . QvO ÞÞ Qm = 0,121 kg.s-1

Exercice 4 : 1.) qv = 16,3 m3/h = 16,3

3600 m

3.s-1 Þ qv = 4,53 . 10-3 m3.s-1

Comme le liquide est incompressible, le débit est CONSTANT. q v = s . v = p D2

4 . v Þ v = 4 . qv

p D2 v

1 = 44 . qv

p p D1122 = 0,4 m.s -1 v2 = 44 . qv p p D2222 = 14,4 m.s -1

2.) BERNOULLI : p + r . g . z + 1

2 . r . v2 = cte

Situation A : les deux conduites sont dans le même plan horizontal :

Conduite principale : conduite secondaire :

1 = 4. . 105 Pa p2 = à calculer

1 = z2 z2 = z1

1 = 0, 4 m/s v2 = 14, 4 m/s

1 + r . g . z1 + 1

2 r . v12 = p2 + r . g . z2 + 1

2 . r . v22 En simplifiant par les termes liés l'altitude

(même altitude : z1 = z2 ), on obtient : p2 = p1 + 1

2 r . v12 - 1

2 . r . v22

Donc p

2 = p1 + 1

2 r . ( v12 - v22 ) mais v12 est négligeable devant v22

Soit : p2 = p1 - 11

22 rr . v222 2 ÞÞ p2 = 3 .105 Pa

Situation B : la conduite secondaire est située 12 m plus haut que la conduite principale.. On prnd l'origine des altituders à l'endroit le plus bas du problème

Conduite principale : conduite secondaire :

1 = 4. . 105 Pa p2 = à calculer

1 = 0 z2 = 12 m

1 = 0, 4 m/s v2 = 14, 4 m/s

1 + r . g . z1 + 1

2 r . v12 = p2 + r . g . z 2 + 1

2 . r . v22

Ce qui donne : p2 = p1 - r . g . z 2 + 1

2 r . ( v12 - v22 ) mais v12 est négligeable devant v22

Donc : p2 = p1 - rr . g . z 2 - 11

22 rr . v222 2 ÞÞ p2 = 1,8 .105 Pa

Exercice 5 : 1.)

La hauteur MM' sera appelée He

La hauteur NN' sera appelée he

L'eau étant incompressible, le

débit de l'écoulement est constant. Q v = SM . vM = SN . vN S

M = p D2

4 et S

N = p d2

4 p D2 4 . v

M = p d2

4 . v

N Þ vN = vM . p D2

4 . 4 p d2 Þ vN = vM . ( D d ) 2

2.) BERNOULLI : p + r . g . z + 1

2 . r . v2 = cte

M + r . g . zM + 1

2 r . vM2 = pN + r . g . zN + 1

2 . r . vN2 : les deux sections sont dans le même plan

horizontal.

Donc : pN - pM = - 11

22 rr . ( vN2 - vMM2 2 )

STATIQUE : pN = pN' - r . g . NN'

PM = pM' - r . g . MM'

Donc en retranchant les 2 égalités membre à membre, on obtient : p N - pM = pN' - pM' - r . g . (NN' - MM') = pN' - pM' + r . g . (MM' - NN') pN - pM = pN' - pM' + r . g . h D'autre part : dans le mercure on peut écrire : pN' - pM' = - rm . g . h Finalement : pN - pM = - rm . g . h + r . g . h Þ pN - pM = (rr - rrm ). g . h

3.) pN - pM (statique) = pN - pM (dynamique)

(r - rm ). g . h = - 1

2 r . ( vN2 - vM2 ) Puis on remplace vN par la relation trouvée en 1.)

- (r - rm ). g . h = + 1

2 r . ëêé

ûúù vM2 . ( D

d )4 - vM2

Donc vMM = - 22 . ((rr - rrm )). g . h

rr . ëëêêéé

ûûúúùù (( D

d ))44 - 11quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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CORRECTION EXERCICES ECOULEMENT DES FLUIDES

Exercice 1 :

4 . v Þ v = 4 . qv

1 = 44 . qv

Exercice 2 : 1.) BERNOULLI : p + r . g . z + 1

2 . r . v2 = cte

1 + r . g . z1 + 1

2 r . v12 = p2 + r . g . z2 + 1

2 . r . v22 En simplifiant par les termes liés la vitesse, on

Donc DDp = - - rr . g . DDz .

2.) Application numérique :

3.) Variation relative comparée à la pression atmosphérique normale.

1 . 105 Þ DDpeau

1 . 105

Þ DDpair

Exercice 3 :

1.) Qv = S . v avec S = p D2

4 Þ Qv = p D2

4 . v Þ Qv = 0,113 m3.s-1

Ecoulement isovolume :

Dt à 60°C

Dt à 0°C

En raisonnant sur

P . V = n . R . T , on peut écrire :

Situation écoulement Situation C.N.T.P.

DVe = 0,113 m3 DVo = à calculer

T = constante D

2 = 0,200 m D

1 = 0,120 m Entre t et Dt , à deux endroits différents de

To Þ DVo = To DVe

Te ÞÞ DDVo = 93 .10-3 m3.s-1

2.) Comme on donne la masse volumique de l'air pour 0°C , on prndra le débit volumique QvO pour

Exercice 4 : 1.) qv = 16,3 m3/h = 16,3

3600 m

3.s-1 Þ qv = 4,53 . 10-3 m3.s-1

4 . v Þ v = 4 . qv

1 = 44 . qv

2.) BERNOULLI : p + r . g . z + 1

2 . r . v2 = cte

Conduite principale : conduite secondaire :

1 = 4. . 105 Pa p2 = à calculer

1 = z2 z2 = z1

1 = 0, 4 m/s v2 = 14, 4 m/s

1 + r . g . z1 + 1

2 r . v12 = p2 + r . g . z2 + 1

2 . r . v22 En simplifiant par les termes liés l'altitude

2 r . v12 - 1

2 . r . v22

Donc p

2 = p1 + 1

2 r . ( v12 - v22 ) mais v12 est négligeable devant v22

Soit : p2 = p1 - 11

22 rr . v222 2 ÞÞ p2 = 3 .105 Pa

Conduite principale : conduite secondaire :

1 = 4. . 105 Pa p2 = à calculer

1 = 0 z2 = 12 m

1 = 0, 4 m/s v2 = 14, 4 m/s

1 + r . g . z1 + 1

2 r . v12 = p2 + r . g . z 2 + 1

2 . r . v22

Ce qui donne : p2 = p1 - r . g . z 2 + 1

2 r . ( v12 - v22 ) mais v12 est négligeable devant v22

Donc : p2 = p1 - rr . g . z 2 - 11

22 rr . v222 2 ÞÞ p2 = 1,8 .105 Pa

Exercice 5 : 1.)

La hauteur MM' sera appelée He

La hauteur NN' sera appelée he

L'eau étant incompressible, le

M = p D2

4 et S

N = p d2

M = p d2

4 . v

N Þ vN = vM . p D2

2.) BERNOULLI : p + r . g . z + 1

2 . r . v2 = cte

M + r . g . zM + 1

2 r . vM2 = pN + r . g . zN + 1

2 . r . vN2 : les deux sections sont dans le même plan