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antihoraire • Opération linéaire* : multiplication de matrice *Le calcul des cos/ sin n'est pas linéaire, mais l'application de la rotation R l'est Supposons qu'on connaisse 193 B B A A P H P = (direction flèche a changé) 1 1 B B B A A

Local par rapport au repère Eye avec une matrice de changement de repères La rotation en 3D s'effectue autour d'un axe dont on donne un vecteur directeur

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rotation du rep`ere R vers le rep`ere R ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base Bernard BAYLE Introduction `a la Robotique

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certains coefficients de la matrice de la rotation d'angle α dans une base orthonormée directe (quelconque) B : En changeant l'orientation de P, on change la mesure des angles en son opposée 5 On fixe un rep`ere orthonormé Si ω, z

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Matrices de rotation : Cas particulier de rotation autour d'un axe est peu commode pour effectuer des calculs systématiques, dus par exemple à des changements successifs de repères Exemple : $réponse = « Répondre par Oui ou Non »

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173

Transformations

géométriques : rotation et translation

Repères

En robotique, on doit constamment transférer

174
xm ym 12 7 référentiel carte/global

Coordonnées du repère (robot):3

Coordonnées globales du repère:12

Autre exemple : caméra

Si les objets sont directement en coordonnées de la caméra, on peut facilement calculer une image GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile175

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1/ 01

y z x A P A

AuAvAf

coordonnées 3D coordonnées image 2D

Autre exemple : caméra

facilement. 176
le référentiel du monde (global) = référentiel caméra

Convention sur la notation

Point Pdéfini dans le repère B:

de B, selon les axes de B, et se terminant à P GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile177 xB yBP BP

Transformation pour repères translatés

dans le repère A : La position de P, exprimée dans le repère A, est 178
xA yA xr yr 10 5 réf. A réf. B P B AT B ATBPB

AABP P T

B B AA AA x x x y y y B B P P T P P T

Tous cela fonctionne tant

que les repères A et B ont la même orientation. Sinon, il faut tenir comptedes rotations.

DĠfinir l'opĠration de rotation

Correspond à déplacer un point (vecteur), avec antihoraire Opération linéaire*: multiplication de matrice 179
x y

21cos sin, sin cosR P RP

TT P1 (prémultiplication)

Exemple rotation 2D

Rotation de =15o ǯ rectangle autour de (0,0) : on applique cette équation pour chaque point GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile180 % Rotation d'un rectangle

P(:,1) = [0 0]';

P(:,2) = [2 0]';

P(:,3) = [2 1]';

P(:,4) = [0 1]';

angle = 15*pi/180; % radian

R = [cos(angle) -sin(angle) ; ...

sin(angle) cos(angle) ];

P2 = R*P; %rotat. sur tous les points

PP2 2 1 1 2 1 1 cos15 sin15 0.9659 0.2588

0.2588 0.9659sin15 cos15

oo oo x x x y y y

Transformation pour des repères pivotés

Soit le repère B pivoté de =45opar rapport à A. Soit un point Pdéfini dans ce repèreB: BP=(9,16) xA yA réf. A AAB

[PDF] [PDF] Transformations géométriques : rotation et translation

Transformations

Repères

En robotique, on doit constamment transférer

Coordonnées du repère (robot):3

Coordonnées globales du repère:12

Autre exemple : caméra

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1/ 01

AuAvAf

Autre exemple : caméra

Convention sur la notation

Point Pdéfini dans le repère B:

Transformation pour repères translatés

AABP P T

Tous cela fonctionne tant

DĠfinir l'opĠration de rotation

21cos sin, sin cosR P RP

Exemple rotation 2D

P(:,1) = [0 0]';

P(:,2) = [2 0]';

P(:,3) = [2 1]';

P(:,4) = [0 1]';

R = [cos(angle) -sin(angle) ; ...

P2 = R*P; %rotat. sur tous les points

0.2588 0.9659sin15 cos15

Transformation pour des repères pivotés

BP R P

17.71)

AP quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19