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2 2 Exercices 2 5 Corrigé du devoir cours Toutes les équations différentielles qui seront traitées ont des solutions, et nous le vérifierons au cas par cas 2

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(b) Application : calculer les primitives de ln sur un intervalle approprié Exercice 2 : équations différentielles 1 Résoudre les équations différentielles suivantes 

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Exercice 7 9 Donner une équation différentielle ayant e2x cosx et e2x sinx comme solutions 5 Le grenier (non corrigé) On consulte le cours, pour en déduire que les racines sont complexes conjuguées égales à 3 + i et 3 − i (la partie

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Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0,∞[ Exercice 2 Résoudre l' équation suivante : y − 3y + 2y = ex Exercice 3 Résoudre l'équation suivante :

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Le cours d'équation différentielles se prête bien à une utilisation d'outils juillet 2017 : quelques coquilles ont été corrigées et un exercice (problème de Gilles Picard à l'ÉTS https://cours etsmtl ca/seg/gpicard/mat265V1 pdf et sur le site

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UniversitéClaudeBernardLy on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2014

Séried'exercices n

o 6

Équationsdiffér entielles

Exercice1:calculde primitives

1.Déterminezlesprimitives suivantes surdesintervallesappropriés:

1) Z x 3/4 dx,2) Z (sin(x)+3cos(x))dx,3) Z (x 3 +6x+1)dx,4) Z 3 p xdx, 5) Z cos(3x)dx,6) Z 1+4x p

1+x+2x

2 dx,7) Z (ln(x)) 2 x dx,8) Z sh(x)dx.

2.(a)Soientuetvdeuxfonctionsde classeC

1 surR,soientaetbdeuxréels,montrer la formuled'intégrationpar parties: Z u 0 (x)v(x)dx=u(x)v(x) Z u(x)v 0 (x)dx. (b)Application:calculerlesprimiti vesde lnsuruninterv alleapproprié.

Exercice2:équationsdiffér entielles

1.Résoudreleséquations différentiellessui vantessur desintervallesappropriés:

1)x 0 =5x,2)x 0 +3t 2 x=t 2 ,3)t 2 x 0 +tx=1,4)tx 0 x=t 2 sin(t).

2.Résoudreles équationsdifférentiellessuivantes surdesinterv allesappropriés:

5)tx 0 x=2t 2 ,x(1)= 5,6)tx 0 +x=e t ,x(1)=2 ,

7)(t+1)x

0 +x=ln(t),x(1)= 10,8)x 0 +tan(t)x=cos 2 (t),x(0)= 1.

3.(a)Chercherla solutioncontinuesatisf aisant:

x 0 +x=f(t), oùfestunefonction définiesurR par f(x)=

1,0x1,

0,x>1,

vérifiantx(0)=0 . (b)Cettesolutionest-elledériv ableen1?Conclure. 1

Exercice3:équation deBernoulli

Onconsidèrel'équation différentielle suivante : (B)x 0 +P(t)x+Q(t)x r =0, oùr2R,PetQsontdeuxfonctions définiesetcontinues suruninterv alleIdeR.

1.Résoudrecette équationdanslecasoùr=1.

2.Résoudrecette équationdanslecasoùr=0.

3.Onsupposema intenantr2R\{0,1}.

(a)L'équationdifférentielle (B)est-ellealorslinéaire ?Si non,pourquoi? (b)Onsupposeque l'intervalleIestdéfinide tellesorteque lessolutionsxsontà valeurs dansR .Onpose u=x 1r Montrerqueusatisfaitalorsl'équationdifférentielle suivante : (BU)u 0 +(1r)P(t)u+(1r)Q(t)=0. (c)L'équation(BU)est-ellelinéaire ? (d)Résoudre(BU). (e)Endéduireles solutionsde (B).

4.Application:résoudrel'équation

tx 0 +x=t 2 x 2 2quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20