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2, ′ 3 (ϕ) = 1 −1 0 2 −1 0 Conclusion naturelle : si on change les bases, on change la matrice 1 La réponse : KerR = Vect (0,−2, 1) n'est pas correcte

[PDF] pres 2 Détermination

laquelle ϕ a pour matrice A, alors la matrice de ϕ − λId est A − λIn Le déterminant cette matrice Rép`etons que le déterminant obtenu sera le même pour trouver le changement de base on raisonne comme si la matrice était une matrice

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

REPRÉSENTATION MATRICIELLE

DES APPLICATIONS LINÉAIRES

Dans tout ce chapitre,?est l"un des corps?ou?et les lettresn,p,q... désignent des entiers naturels non nuls. Tous

les résultats présentés demeurent cela dit vrais sur un corps?quelconque.

1 MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE DANS DES BASES

Définition(Matrice d"une application linéaire dans des bases finies)

Coordonnées deu(ej)dans?

écrites en colonne

Mat?,?(u) =Mat?u(?)=((((((a

11···a1j···a1p

a i1···aij···aip a n1···anj···anp)))))) u(e1)u(ej)u(ep) f1 fi fn

SoientEetFdeux?-espaces vectoriels de di-

mensions respectivespetn,?= (e1,...,ep)une base deE,?= (f1,...,fn)une base deFet u? ?(E,F). On appellematrice de u dans?et ?et on note Mat?,?(u)la matrice de la famille u(?) = u(e1),...,u(ep) dans la base?.

SiE=Fet?=?, la matrice Mat?,?(u)est sim-

plement notée Mat ?(u).

On connaît tout d"une application linéaire quand on connaîtl"image d"une base, donc quand on connaît sa matrice dans

deux bases données. Un exercice peut ainsi commencer ainsi :" On notefl"endomorphisme de?2[X]de matrice"

1 0 2 3 1 4

0 4 5"

dans la base canonique. » Il faut alors comprendre que :f(1) =3X+1,f(X) =4X2+XetfX2=5X2+4X+2. ExemplePour tout?-espace vectorielEde dimension finienet pour toute base?deE: Mat?IdE=In. ExempleEn notantTl"endomorphismeP?-→XP?+P(1)de?2[X]: Mat(1,X,X2)(T) =" 1 1 1 0 1 0

0 0 2"

car :T(1) =1,

T(X) =X+1 etTX2=2X2+1.

Théorème(Matrice dans les bases canoniques de l"application linéaire canoniquement associée à une matrice)

SoitA? ?n,p(?). Si on note?Al"application linéaire canoniquement associée àAet?pet?nles bases canoniques

respectives de?pet?n, alorsA=Mat?p,?n?A. DémonstrationRéfléchissez, il suffit d"appliquer scrupuleusement la définition. ExempleOn note?l"application linéaire canoniquement associée à la matrice" 1 0 1 1 -1 1"

2la famille

(0,1),(1,0) et??

3la famille

(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) . Ces familles?? 2et??

3sont alors respectivement des bases de?2et?3, et :

Mat 2,??

3(?) ="

1-1 0 2 -1 0" . En résumé, si on change les bases, on change la matrice!

Démonstration

•La famille??

2est une base de?2car sa matrice 0 11 0

dans la base canonique est inversible — d"inverse elle-même. Même idée pour??

3, sa matrice"

1 1 1 1 1 0

1 0 0"

dans la base canonique est inversible car triangulaire à coefficients diagonaux non nuls après échange de ses première et troisième colonne.

•Ensuite :?(0,1) ="

1 0 1 1 -1 1" 01 = (0,1,1) = (1,1,1)-(1,0,0). De même :?(1,0) = (1,1,-1) =-(1,1,1)+2(1,1,0). Les coordonnées de?(0,1)dans??

3sont donc

(1,0,-1)et celles de?(1,0)sont(-1,2,0). C"est le résultat voulu. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Théorème(Rang d"une application linéaire, rang d"une matrice associée)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels

de dimensions finies non nulles,?une base deE,?une base deFetu? ?(E,F). Alors rg(u) =rg Mat ?,?(u)

Tout rang d"application linéaire peut donc être calculé comme le rang d"une matrice grâce à l"ALGORITHME DU PIVOT.

DémonstrationD"après le théorème analogue pour les familles de vecteurs : rg Mat ?,?(u) =rg Mat ?u(?) =rgu(?)=dimVectu(?)=dimImu=rg(u).

Théorème(Calcul matriciel de l"image d"un vecteur par une application linéaire)SoientEetFdeux?-espaces

vectoriels de dimensions finies non nulles,?une base deE,?une base deF,u? ?(E,F)etx?E. Alors : Mat ?u(x)=Mat?,?(u)×Mat?(x).

En d"autres termes, l"ÉVALUATIONpar une application linéaire se traduit matriciellement entermes dePRODUIT.

DémonstrationIntroduisons les vecteurs de?et?:?= (e1,...,ep)et?= (f1,...,fn), ainsi que les coordonnées dexdans?:X=Mat?(x)et la matrice deudans les bases?et?:U=Mat?,?(u). u(x) =u" p? j=1x jej" =p j=1x ju(ej) =p j=1x jn i=1u ijfi=n i=1" p? j=1u ijxj" f i, donc les coordonnées deu(x)dans?sont" p? j=1u

1jxj,...,p

j=1u njxj" , i.e. le produit Mat ?,?(u)×Mat?(x).

ExempleOn notefl"endomorphisme de?2[X]de matrice"

3 3 6 0 1 2

0 2 4"

dans la base canonique.

Alors : Imf=Vect1,2X2+Xet Kerf=VectX2-2X.

DémonstrationPour commencer :

Imf=Vect

f(1),f(X),fX2 Ensuite, pour toutP=aX2+bX+c??2[X]:P?Kerf??f(P) =0??" 3 3 6 0 1 2

0 2 4""

c b a" 0 0 0" ?3c+3b+6a=0 b+2a=0

2b+4a=0L

1←L1-3L2??c=0 etb=-2a??P=aX2-2aX.

Conclusion : Kerf=VectX2-2X.

?Attention !Deux remarques sur cet exemple. •Les coordonnées deaX2+bX+cdans la base canonique de?2[X]sont(c,b,a)ET NON PAS(a,b,c).

•On raisonne matriciellement sur un squelette numérique, mais il ne faut pas oublier à la fin de l"exemple précédent

de réincarner le résultat dans le monde vectoriel?3[X]. La réponse KerR=Vect (0,-2,1) n"est pas correcte.

Théorème(Un dictionnaire entre les points de vue vectoriel et matriciel sur les applications linéaires)

(i) SoientEetFdeux?-espaces vectoriels de dimensions finies respectivespetn,?une base deEet?une base deF. L"applicationu?-→Mat?,?(u)est un isomorphisme de?(E,F)sur?n,p(?). (ii) SoientE,F,Gtrois?-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles de basesrespectives?,?,?et u? ?(E,F)etv? ?(F,G). Alors : Mat?,?(v◦u) =Mat?,?(v)×Mat?,?(u). En particulier, l"applicationu?-→Mat?(u)est un isomorphisme d"anneaux de?(E)sur?n(?)si on pose n=dimE.

(iii) SoientEetFdeux?-espaces vectoriels deMÊMES DIMENSIONSfinies non nulles,?une base deE,?une base

deFetu? ?(E,F). Alorsuest un isomorphisme deEsurFsi et seulement si Mat?,?(u)est inversible.

Dans ce cas : Mat

?,?u-1= Mat ?,?(u) -1. En résumé, l"assertion (i) exprime deux choses :

— une propriété de linéarité : Mat

?,?(λu+μv) =λMat?,?(u)+μMat?,?(v)avec des notations évidentes,

— unepropriétédebijectivitédéjàmentionnéeinformellement —onconnaîtentièrementfquand onconnaîtMat?,?(u).

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Elle relie aussi en passant deux résultats bien connus : dim?n,p(?) =npet dim?(E,F) =dimE×dimF.

L"assertion (ii) montre que lePRODUITest aux matrices ce que laCOMPOSITIONest aux applications linéaires. Nous

connaissions déjà ce résultat dans le cas particulier des applications linéaires canoniquement associées à des matrices.

DémonstrationJe vous laisse démontrer seuls l"assertion (i). (ii) Introduisons les vecteurs de?:?= (e1,...,en). Pour toutj??1,n?:

Mat?(ej) =(((((0

1...

0)))))

positionj

Mat?,?(v◦u)×Mat?(ej) =Mat?v◦u(ej)=Mat?,?(v)×Mat?u(ej)=Mat?,?(v)×Mat?,?(u)×Mat?(ej),

mais n"oublions pas que Mat ?(ej)est lejèmevecteur de la base canonique de?n. Nous venons donc de montrer que Mat ?,?(v◦u)et Mat?,?(v)×Mat?,?(u)ont les mêmesjèmescolonnes, et ce pour tout j??1,n?. Comme voulu : Mat?,?(v◦u) =Mat?,?(v)×Mat?,?(u). (iii) Siuest bijective et si on posen=dimF: Mat?,?(u)×Mat?,?u-1=Mat?IdF=In, donc Mat ?,?(u)est inversible d"inverse Mat?,?u-1.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8