[PDF] [PDF] Coordonnées cylindriques et sphériques

[PDF] Coordonnées cylindriques et sphériques

Dans le système de coordonnées cylindriques, un point P de l'espace (3-D) est représenté Par le triplet (r, θ, z), où : r et θ sont les coordonnées polaires de la 

[PDF] Coordonnées polaires

Notons que (–r, θ) représente le même point que (r, θ + π) Coordonnées polaires Page 7 Exercice Tracer les points de coordonnées polaires 

[PDF] Syst`emes de coordonnées

On dira indistinctement qu'un objet se trouve au point M ou en −→ r 1 1 1 Repérage d'un vecteur en coordonnées cylindriques Quand il s'agit de repérer un 

[PDF] Chapitre 11 Syst`emes de coordonnées - Olivier GRANIER

Les syst`emes de coordonnées 11 1 1 Repérage géométrique d'un point d Nécessité du repérage : la Thermodynamique est apparue pour l'étude des ma-

[PDF] SYSTEME DE COORDONNEES Coordonnées cylindriques

1 MECANIQUE Lycée F BUISSON PTSI SYSTEME DE COORDONNEES Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques

[PDF] Syst`emes de coordonnées - Analyse vectorielle 1 Coordonnées

Soit A un vecteur fonction des coordonnées cartésiennes (on devrait plutôt parler de champ de vecteurs) La forme la plus générale de ce vecteur fait intervenir 

[PDF] Analyse vectorielle – systèmes de coordonnées

Dans un tel système, un point M est défini par ses coordonnées M=(x, y, z) 1 2 Coordonnées cylindriques du point Note : les coordonnées cylindriques sont 

[PDF] Système de coordonnées des mouvements

système de coordonnées Cette valeur est utilisée par l'instruction Mouvement du chemin coordonné de mouvement (MCPM) Réglage manuel (Manual Adjust)

[PDF] COORDONNÉES CARTÉSIENNES, CYLINDRIQUES, SPHÉRIQUES

Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre de rayon r et de hauteur H multipliée par dr : d 2 dr rH

[PDF] 1 Changement de système de coordonnées 2 Gradient - TIMC-IMAG

2 Gradient, Laplacien, divergence et rotationnel Exercice 5 Soient f et g deux fonctions de deux variables: montrer que grad(f g) = f grad(g) + g grad(f) Soient E 

[PDF] orthonormé

[PDF] étude de doc gouverner la france depuis 46

[PDF] cinématique du point matériel

[PDF] repère de frenet terminale s

[PDF] repère de frenet cours

[PDF] gouvernance européenne terminale es

[PDF] tres de mayo goya analyse

[PDF] les ménines velasquez

[PDF] francisco de goya

[PDF] goya les vieilles description

[PDF] changement de repere mecanique

[PDF] les vieilles de goya analyse

[PDF] formule de changement de base si

[PDF] les jeunes et les vieilles de goya

[PDF] vanité

Coordonnées

COORDONÉES POLAIRES (rappel)

En géométrie plane, le système

de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces).

La figure nous permet de nous

Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes. ƒSi le point Pa (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, ș)comme coordonnées polaires alors x= rcos șy = r sin ș r2= x2+ y2tan ș= y/x

COORDONNÉES CYLINDRIQUES

En dimension 3 il y a un système de coordonnées, appelé coordonnées cylindriques, qui :

ƒEst similaire aux coordonnées polaires.

ƒDonne une description simple de nombreux domaines (surfaces, volumes). Dans le système de coordonnées cylindriques, un point Pde -D) est représenté

Par le triplet (r, ș, z), où :

ret șsontles coordonnées polairesdelaprojection de P sur le plan xy, zestla distance orientéedu plan xyàP.

Pour convertir des coordonnées cylindriques en

cartésiennes, on utilise : x= rcos ș y= rsin ș z= z Pour convertir des cartésiennes en cylindriques, on utilise: r2= x2+ y2 tan ș= y/x z = z

COORDONNÉES CYLINDRIQUES

Exemple

a.Placer le point de coordonnéescylindriques(2, 2ʌ/3, 1)et donner sescoordonnéesrectangulaires. b.Donner les coordonnéescylindriquesdu point de coordonnéesrectangulaires(3, 3, 7).

Solution

a) Le point de cylindriquescoordonnées (2, 2ʌ/3, 1)estplacésur la figure.

Sescoordonnéesrectangulairessont

Le point a doncpour coordonnéesrectangulaires(1, , 1). 3

212cos 2 132

232sin 2 332

1 x y z S

Solution (b)

On a :

Un jeude coordonnéescylindriquesestdonc:

Un autre:

ƒCommepour les coordonnéespolaires, ily a uneinfinite de choixpossibles.

223 ( 3) 3 2

37tan 1, so 234

7 r n z T T S (3 2,7 /4, 7)(3 2, /4, 7)

Coordonnéescylindriques

Les coordonnéescylindriquessontutilesdansles problèmes oùexisteunesymétrieaxiale. On choisitalorsdes z de façonà cecoincide avec cetaxe de symétrie. ƒPar exemple, pour le cylindreà base circulaire, z, ila pour équationcartésiennex2+ y2= c2. ƒEncoordonnéescylindriques, cecylindrea comme

équation: r= c(beaucoup plus simple!).

Exercice

z= ren coordonnées cylindriques

Solution

ƒz de la surface) est la même que r(distance de ce point à z).

ƒComme ș

z. Donc, toute section horizontale de la surface par un plan z= k (k> 0) est a cercle de rayon k. Ceci suggère que la surface est coordonnées rectangulaires.

On a : z2= r2= x2+ y2, cette équation

(z2= x2+ y2équation cartésienne z.

SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHERIQUES (3D)

Le systèmede coordonnéessphériquesestun autresystèmede coordonéesutile entroisdimensions. ƒIl simplifieenparticulierles calculstriples sur des volumes limitéspar des portions de sphèresoude cônes. Les coordonnéessphériques(ȡ, ș, ĭ) Pde sont:

ƒȡ= |OP|, ladistance deO

à P(ȡ0)

ƒș,le mêmeangle

coordonnéescylindriques.

ƒĭ, entre les vecteurszet

OP. l'angle formé par les vecteurs zet OPest appelé colatitude le plan équatorial et OP).

Notons que la première coordonnée (la

distance entre Oet P) est toujours positive, et que la colatitudeest comprise entre 0 et ,

En physique, les notations șet ĭsont

Généralement interverties, comme sur la

figure ci-contre.

La distance est souvent notée r.

REMARQUE TRÈS IMPORTANTE

Notations "physiques»

Notations "mathématiques»

COORDONNÉES SPHÈRIQUES

Utiliser un système de coordonnées sphériques peut être particulièrement utile pour résoudre des problèmes présentant origine du système. ca alors une équation très simple :

ȡ= c.

Our= c en

Le grapheéquationș= c

(= c ennotations physiques) estun demi plan verticalcontenant Oz.

équationĭ= c(ș= c en

notations physiques) représenteun demi-cône z.

COORDONNÉES SPHÈRIQUES

La relation entre coordonnéescartésiennesand sphériquesse déduitde la figure.

COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES

Considéronslestriangles OPQ

et, ona: z= ȡcos ĭ, r= ȡsin ĭ

ƒEt comme,

x= rcos ș, y= rsin ș

On obtientles formulesde

conversion : x= ȡsin ĭcos ș y= ȡsin ĭsin ș z= ȡcos ĭ

Avec les notations physiques, la relation

de passage aux coordonnées cartésiennes s'écritdonc :

COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES

Exercice :

Le point (r= 2, = ʋ/3, = ʋ/4) est donné en coordonnées schéma et calculer ses cordonnées cartésiennes.

Solution

Coordonnéescartésiennes:

1 2

3 1 3sin cos 2sin cos 23 4 2 22

3 1 3sin sin 2sin sin 23 4 2 22

cos 2cos 2 13 x x z U I T

SSU I T

SUI x y z

La formuledonnantla distance indiqueque :

r2= x2+ y2 + z2 ƒOnutilise cetteéquation pourconvertirles coordonnées cartésiennes en coordonnéesspheriques. Exercice: Le point estdonnéencoordonnées cartésiennes. Caculerdes coordonnéessphériquespour cepoint.

0,2 3, 2

COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES

On a :

Doncon a : r = 4, ߠ

ଷ(colatitude), ߮

Solution

Considérons M de coordonnées

sphériques (r, , ).

Le vecteur position de Mest :

OM= rur

urest le vecteur unitaire radial.

Repèrecomobile

Les coordonnées cartésiennes de Msont :

On aura donc pour ur: •‹ߠ...‘•߮ǡ•‹ߠ•‹߮ǡ...‘•ߠ

Repèrecomobile

Lvarie le point M

décrit un cercle, dans un plan parallèle à (Oxy), de rayon ݎ...‘•ߠ

Le vecteur unitaire tangent en Mà

cette courbe est noté u, il est situé dans le plan "horizontal» (x,y).

OM(et donc

à ur), puisque la norme de OMest constante

lorsque Mse déplace sur le cercle. on a : u= -sinux+ cosuy

Repèrecomobile

varie le point

Mdécrit un demi grand cercle

(méridien).

Le vecteur unitaire tangent à

cette courbe, en M, est noté u. Il est orthogonal à urpuisque, lorsque Mdécrit le demi cercle, la norme du vecteur OMest constante (ۻ۽ uest dans le plan "méridien», il est donc orthogonal à uqui est dans un plan "horizontal». Le repère comobile(M,ur,u,u) est orthonormé direct et lié à M. cartésiennes de u(à vérifier en exercice) : (coscos, cossin, -sin)

Exercice

Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer, par dérivation, le vecteur tangent à la courbe, en déduire les coordonnées cartésiennes de u Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer les coordonnées cartésiennes de ude deux façons différentes. Les équations paramétriques sont, bien sûr : On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à :

Solution

TT||2= r2sin2(sin2+ cos2) = r2sin2, ||T|| = rsin( sin est positif car אߠ-ǡߨ u= (-sin, cos, 0)

Les équations paramètiquessont :

On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à : ||T||2= r2cos2(cos2sin2) + r2sin2= r2 (cos2+ sin2) = r2 Donc ||T|| = r, les coordonnées cartésiennes de u= T/ ||T|| sont : (coscos, cossin, -sin) Remarque: comme on le voit sur les coordonnées de ur, urest une fonction des deux variables et phi. au chapitre suivant. On peut déjà observer que les calculs précédents montrent que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est u, et que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est sinu.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13