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vecteur Coordonnées du milieu d'un segment Norme d'un vecteur I) Repère orthonormé et base orthonormée Définition ○ On définit le repère orthonormé 

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I) Repère orthonormé et base orthonormée

Définition

łOn définit le repère orthonormé dont

, le triplet (O ; I, J) tel que : (OI) ٣

OI= OJ = 1 unité

O est appelé origine du repère.

La droite (OI) est du

repère (O ; I, J).

La droite (OJ) est du

repère (O ; I, J).

Les points I et J définissent sur chacun des

axes une graduation. Ce repère peut aussi se noter (O ;ଓԦ ,ଔԦ ).

1) Définition

Dans un repère orthonormé, tout

point M est repéré par un unique appelé couple de coordonnées de M ࢞ࡹ abscisse du point M et ࢟ࡹordonnée de M

2) Exemple

Sur la figure ci dessus les points A, B, C, D et E ont pour coordonnées :

A : ݔ஺= 2 et ݕ஺ = 3

on écrit A( 2 ; 3 )

B : ݔ஻ = 2 et ݕ஻ = 1 ;

on écrit B ( 2 ; 1 )

C : ݔ஼ = 4 et ݕ஼ = 1,5 et

on écrit C( 4 ; 1,5 )

D : ݔ஽ = 0 et ݕ஽ = 2

on écrit D( 0 ; 2 )

E : ݔா = 3 et ݕா = 0 ;

on écrit E( 3 ; 0 ) de même : le point I a: 1 pour abscisse et 0 pour ordonnée I ( 1 ; 0 ) le point J a: 0 pour abscisse et 1 pour ordonnée J ( 0 ; 1 ) le point O a: 0 pour abscisse et 0 pour ordonnée O ( 0 ; 0) III

1) Définition

est un vecteur donné. La point O un unique point M. On sait les coordonnées du point M tel que

Autre :

Bien souvent au lieu de noter

Exemple

M, N et P

2) Propriété

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère. et seulement si, ࢞ൌ࢞ǯ et ࢟ൌ࢟ǯ

Démonstration :

La translation de vecteur ݒԦ associe au point O, le point ܰ

ܯ et ܰ

IV) Coordonnées du vecteur ۰ۯ

1) Propriété

Les coordonnées du vecteur ۰ۯ

Démonstration

Dans un repère (O ; ଓԦ, ଔԦ) , on note ܯ [ܯܣ] ont le même milieu ܭ

On a donc :

On en déduit :

ݔெ = 2 ݔ௄ Ȃ ݔ஺ = ʹ ௫ಳ ݕெ= 2 ݕ௄ Ȃ ݕ஺ = ʹ ௬ಳ les coordonnées du point ܯ

Exemple

On a alors :

V) Dans un repère orthonormé on considère les points A ( ݔ ஺; ݕ ஺) et

B ( ࢞ ࡮; ࢟ ࡮)

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées ( ࢞ ࡵ; ࢟ ࡵ) avec :

Exemples :

1) Dans un repère orthonormé, on considère les points A (3 ; 5 ) et B ( 3 ; 2) soit J le

milieu de [ AB ]

2 = 3

2

2) Dans un repère orthonormé on considère les points A (1 ; 2) et B (4 ; 4 ) soit I le

milieu de [AB]

Alors xI = xA + xB

2 = 1 + 4

2 = 5

2 et yI = yA + yB

2 = 2 + 4

2 = 1

1) Calcul de la distance AB

La distance entre les points A et B est :

Exemple :

Dans un repère orthonormé on donne A ( 2 ; 3) et B (1 ; 5) AB = ( 1 ( 2))2 + ( 5 3 )2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13

Démonstration :

On suppose comme sur la figure ci-contre

que ݔ஻ ݔ஺ et ݕ஻ ݕ஺ Soit C le point tel que ݔ஼ = ݔ஻ et ݕ஼= ݕ஺

Le triangle ABC est rectangle en C

En appliquant le théorème de Pythagore

dans le triangle ABC on peut écrire :

AB2 = AC2 + BC2

Comme AC = ݔ஼ ݔ஺ = ݔ஻ ݔ஺ et BC = ݕ஻ ݕ஼ = ݕ஻ ݕ஺ on a : AB2 = (ݔ஻ ݔ஺ )2 + (ݕ஻ ݕ஺ )2 et comme AB est positif

La norme du vecteur۰ۯ

Exemple 1 : Dans un repère orthonormé Les coordonnées des points A et B sontquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44