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PROBLEMASDE ONDAS.EFECTO DOPPLERAutor:Jos´e Antonio Diego Vives
Documento bajo licencia
Creative Commons (BY-SA)
Problema 1
Una sirena que emite un sonido defE= 1000 Hzse mueve alej´andose de un observador en reposo ydirigi´endose hacia un acantilado con velocidad constantedev1= 10 m/s. Determinar la diferencia de
frecuencia entre la onda que recibe el observador directamente de la sirena y la onda que le llega reflejada
en el acantilado. Para resolver este problema utilizaremos la f´ormula del efecto Doppler: fE c+vE=fRc+vRSentidos positivos de las velocidades
DondefE,fRson las frecuencias a la que se emiten las ondas y a la que se reciben yvE,vRyclas velocidades del emisor (E), del receptor (R) y de las ondas respec- tivamente. Se tomavEpositivo si 'E' se aleja de 'R', yvRes positivo si 'R' se aproxima a 'E'.csiempre es positiva.Soluci
´on
El observador recibir´a las ondas reflejadas en el acantilado con la misma frecuencia a la que estas ondas
llegan al acantilado ya que ambos est´an en reposo. Sin embargo las ondas llegan al acantilado con una
frecuencia diferente afEya que el emisor (la sirena) se est´a moviendo. Tomando la sirena como emisor y el acantilado como receptor:vR= 0yvE=-v1ya que el emisor seaproxima al receptor (el acantilado). La frecuencia con la que llegan las ondas al acantilado (fR1) y, una
vez rebotadas, luego al observador es:Ondas que llegan y rebotan en el acantilado.
fE c-v1=fR1c-→fR1=fEcc-v1 Sustituyendo los valores num´ericos del problema, obtenenmos: fR1= 1030 HzLa frecuencia de las ondas que llegan al observador directamente de la sirena variar´a tambi´en debido al
efecto Doppler. Tomando en este caso la sirena como emisor y el observador como receptor:vR= 0y v E=v1ya que el emisor se aleja del receptor. La frecuencia con la que llegan las ondas al observador (fR2) es:Ondas que llegan directamente al observador.
fE c+v1=fR2c-→fR2=fEcc+v1 Sustituyendo los valores num´ericos del problema, obtenenmos: fR2= 971 Hz La diferencia entre las frecuencias que llegan al observador es:Δf=fR1-fR2= 59 Hz
Problema 2
Un murci´elago que persigue una mosca emite ultrasonidos a una frecuencia de55 kHz. El murci´elago se
mueve av1= 13 m/sy la mosca av2= 2,4 m/sambos en la misma recta y no hay viento apreciable.Calcular en estas condiciones:
(a)Frecuencia con la que llegan las ondas a la mosca. (b)Frecuencia que detectar´a el murci´elago para el sonido reflejado en la mosca.Soluci´on
(a) Frecuencia con la que llegan las ondas a la mosca.En este caso el murci´elago es el emisor y su velocidad esvE=-v1ya que el murci´elago persigue (se
acerca) a la mosca. La mosca es el receptor yvR=-v2ya que la mosca se intenta alejar (huye) del murci´elago:Ondas que llegan a la mosca.
fE c-v1=fRc-v2-→fR=fEc-v1c-v2 Sustituyendo los valores num´ericos del problema, obtenemos: fR= 56,78 kHz (b) Frecuencia que detectar´a el murci´elago para el sonidoreflejado en la mosca.Ahora la mosca act´ua de emisor reflejando las ondas a la mismafrecuencia que le llegan y el murci´elago
act´ua de receptor. En este caso por lo tantofEson los56,78 kHzobtenidos en el apartado anterior. TomamosvE= +v2ya que la mosca (emisor) se aleja del murci´elago. El murci´elago (receptor) se acerca a la mosca por lo quevR= +v1:Ondas que llegan al murci´elago.
fE c+v2=fRc+v1-→fR=fEc+v2c+v1 Sustituyendo los valores num´ericos del problema, obtenemos: fR= 58,54 kHzProblema 3
Un coche se desplaza por una carretera recta con exceso de velocidad. Un radar m´ovil situado al borde de
la carretera emite microondas de frecuenciafE= 3×109Hz. Cuando el coche se est´a alejando del radar,
´este puede medir la velocidad del coche a partir de la interferencia entre las ondas que emite y las ondas
que le llegan reflejadas en la parte posterior del veh´ıculo.Si en esta interferencia se producen pulsaciones
de frecuenciafP= 576 Hz: (a)Determinar qu´e velocidad lleva el cochevC.(b)A continuaci´on el coche de polic´ıa se dispone a perseguir al veh´ıculo que se da a la fuga aceleran-
do. Si cuando la polic´ıa va a110 km/hel radar indica pulsaciones de375 Hz, ¿qu´e velocidad
llevar´a ahora el coche fugado?Soluci´on
(a) Determinar qu´e velocidad lleva el coche.Las ondas que llegan al radar, reflejadas en el coche, tienen una frecuencia diferente afEya que experi-
mentan dos veces el efecto Doppler. Al superponer estas ondas de frecuenciafRcon las ondas originales
del radar, se producir´an pulsaciones de frecuenciafP=|fE-fR|tal y como predice la teor´ıa. Para determinar la frecuencia de las ondas que llegan reflejadas al radar tenemos que saber primerocon qu´e frecuencia llegan y rebotan en el coche (efecto Doppler 1) y luego con qu´e frecuencia el radar
recibir´a estas ondas rebotadas (efecto Doppler 2).Frecuencia con que las ondas rebotan en el coche.
En este caso el radar es el emisor y su velocidad esvE= 0ya que est´a parado en el arc´en. El coche es el
receptor yvR=-vCya que se aleja del radar con velocidadvC:Ondas que llegan al coche.
fE c=fR1c-vC-→fR1=fEc-vCc Frecuencia con que las ondas rebotadas llegan al radar. Ahora el coche act´ua de emisor emitiendo con una frecuenciafE=fR1, y su velocidad esvE= +vC ya que se aleja del receptor. El radar es el receptor yvR= 0ya que est´a parado en el arcen:Ondas rebotadas que llegan al radar.
fR1 c+vC=fR2c-→fR2=fR1cc+vC Sustituyendo la expresi´on obtenida anteriormente parafR1: fR2=fEc-vC
?c?cc+vC=fEc-vCc+vC Las pulsaci´on que se producir´an por la superposici´on de las ondas son: fP=|fE-fR2|=fE?
1-c-vC
c+vC? de donde se puede despejar la velocidad del cochevC: vC=cfP2fE-fP= 28,8ms= 103,7kmh(b) A continuaci´on el coche de polic´ıa se dispone a perseguir al veh´ıculo que se da a la fuga acelerando.
Si cuando la polic´ıa va a110 km/hel radar indica pulsaciones de375 Hz, ¿qu´e velocidad llevar´a ahora
el coche fugado? Si se cumple quec >> vE, vR(totalmente v´alido para el caso de ondas electro- magn´eticas), la f´ormula del efecto Doppler se puede simplificar por: f R=fE? 1 +vr c? DondefE,fRson las frecuencias a la que se emiten las ondas y a la que se reciben, v r=±|vE-vR|es la velocidad relativa entre el receptor y el emisor tomada positiva si se acercan y negativa si se alejan uno del otro, ycla velocidad de las ondas (siempre positiva). Si el radar detecta ahora pulsaciones de frecuenciafP= 375 Hz, la frecuencia con la que le llegan al radar las ondas rebotadas en el coche (fR2) es: fP=|fE-fR2| →fR2=fE-fP= (3×109-375) Hz
donde hemos tomado el signo '-' ya que el coche fugado ir´a a m´as de110 km/halej´andose del coche
de polic´ıa.Esta frecuenciafR2es el resultado de aplicar dos veces el efecto Doppler, como se explic´o en el apartado
(a), por lo que se cumple: fR2=fR1?
1-vr c? =fE?1-vrc?
2 de donde podemos despejar la velocidad relativa del coche respecto del coche de polic´ıa (vr): f R2 fE=?1-vrc?
2→vr=c?
1-? fR2 fE? sustituyendo los valores num´ericos del problema y el valordefR2encontrado anteriormente, queda: v r= 3·108? 1-?3·109-375
3·109?
= 18,7ms= 67,4kmhFinalmente, la velocidad del coche fugado ser´a la velocidad que lleva el coche de polic´ıa m´asvr:
vC= 110 + 67,4 = 177,4kmhProblema 4
Una barca que navega a velocidadvproduce ondas superficiales en un estanque debido a una oscilaci´on
vertical. La barca efect´ua 12 oscilaciones en 20 segundos ycada oscilaci´on produce una cresta de ola.
Cada ola tardaΔt= 6 sen llegar a la orilla que se encuentra ad= 12 mde la barca. Adem´as se observa
que el ´angulo que forman las dos ramas del rastro que deja la embarcaci´on en el estanque es de 90o. Para
este caso se pide: (a)¿Cu´al es la longitud de onda de las ondas generadas en la superficie del agua? (b)¿A qu´e velocidad se desplaza la barca por el estanque?Soluci´on
(a) ¿Cu´al es la longitud de onda de las ondas generadas en la superficie del agua? Las ondas tardanΔt= 6 sen recorrer la distanciad= 12 mque separa la barca de la orilla. Desde quese genera una onda hasta que llega a la orilla se habr´an generado 'N=fΔt' ondas m´as, siendofla
frecuencia de las ondas.EstasNondas generadas duranteΔtestar´an recorriendo la distanciad, por lo que la longitud de cada
onda ser´a: