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M8 - CHANGEMENT
DE R´EF´ERENTIELS
OBJECTIFS
•Par d´efinition, le vecteur vitesse---→vM/R=? d--→OMdt? R ,O´etant un point fixe du r´ef´erentielR,d´epend du r´ef´erentiel dans lequel on l"´evalue. De mˆeme pour l"acc´el´eration---→aM/R=?d---→vM/R
dt? RDans ce chapitre, on se limite aux aspects cin´ematiques et on cherche `a ´etablir le liens entre les
vitesses et les acc´el´erations exprim´ees dans deux r´ef´erentiels diff´erents.Nouveaut´es de cette le¸con :
•Loi de composition des vitesses. •Loi de composition des acc´el´erations.•Notion de point co¨ıncidant pour savoir retrouver la vitesse d"entraˆınement-→ve(M)et
l"acc´el´eration d"entraˆınement-→ae(M) •Expression g´en´erale de l"acc´el´eration de Coriolis-→aC(M).I Mouvement relatif de deux r´ef´erentiels
I.1 Position du probl`eme
Q :Si on connaˆıt???la trajectoire deMdansRa la vitesse----→vM/Ra(t) l"acc´el´eration----→aM/Ra(t), quelle sont???la traj. deMdansRe la vitesse----→vM/Re(t) Pour r´epondre `a cette question, il faut connaˆıtre le mouvement deRepar rapport `aRa: ♦D´efinition :Le mouvement deRepar rapport `aRa s"appelle lemouvement d"entraˆınement. R a=Rs"appelle ler´ef´erentiel fixeour´ef´erentiel ab- solu. R e=R1s"appelle ler´ef´erentiel mobileour´ef´erentiel relatif. Notation :(-→ex,-→ey,-→ez) et (-→ex1,-→ey1,-→ez1) notent lesBases OrthoNorm´eesDirectes cart´esiennes deRetR1respecti- vement. I.2 Rotation relative des deux tri`edres des B.O.N.D. deRaetRe♦D´efinition :Il l existe un vecteur qu"on appellevecteur rotation d"entraˆınementdeRe=R1
p/r `aRa=R, not´e-→ΩR1/Rtel que : ?d-→ex1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ex1 ?d-→ey1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ey1 ?d-→ez1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ez1I.3 Translation et rotation
Le mouvement d"entraˆınement deRe=R1par rapportRa=Rest la superposition : - d"unerotation`a la vitesse angulaire-→ΩR1/R - et d"unetranslationqu"on peut caract´eriser par---→vO1/R=? d--→OO1 dt? RAvecOun point fixe dansRetO1un point fixe dansR1.
M8I. Mouvement relatif de deux r´ef´erentiels2008-2009 I.4 Mouvement d"entraˆınement par translation a Translation d"un solide dansR: ♦D´efinition :Un solide est enmouvement de trans- lationpar rapport `a un r´ef´erentielRsi, pour deux points AetBquelconques de ce solide, le vecteur--→ABgarde toujours les mˆemes direction, sens et norme au cours du temps :AB=-→Cte.
zPropri´et´es :Les trajectoires de tous les points d"un solide en translation sont superposables.Si ces trajectoires sont :
•des courbes de forme quelconque : on parle de translationcurviligne •des droites parall`eles : on parle de translationrectiligne •des cercles de mˆeme rayon : on parle de translationcirculaire.zPropri´et´e :--→AB=--→Cste?--→OB(t)--→OA(t) =-→Cte?---→vB/R(t) =---→vA/R(t)
Cl :au cours d"une translation, tous les points d"un solide ont,`a chaque instantt, le mˆeme vecteur vitesse-→v(t). Rq :Bien entendu, ce vecteur vitesse peut varierau cours du temps, en norme comme en direction! bR1est un solide g´eom´etrique qui peut ˆetre en translation p/r `aR:Dans ce cas, tout vecteur li´e `aRe=R1demeure
constant dansRa=R1; entre autre :-→ex1,-→ey1et-→ez1.Donc :
d-→ex1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ex1=-→0 ?d-→ey1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ey1=-→0 ?d-→ez1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ez1=-→0? -→ΩR1/R=-→0zCl :Lorsqu"un r´ef´erentielR1a un mouvement d"entraˆınement de translation par rapport `a
un r´ef´erentielR, alors, son vecteur rotation d"entraˆınement en nul. I.5 Mouvement d"entraˆınement par rotation de R epar rapport `aRaHyp :Supposons que,?t:
•(Oz) = (O1z1) etO=O1. •le r´ef´erentielR1est en rotation dans le r´ef´erentielR autour de la verticale.Alors :???-→e
x1= cosθ-→ex+ sinθ-→ey-→ey1=-sinθ-→ex+ cosθ-→ey-→ez1=-→ez
Soit, en d´erivant par rapport au temps dans le r´ef´erentielR:2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.
2008-2009II. D´erivation d"un vecteur par rapport au tempsM8
d-→ex1 dt? R =θ(-sinθ-→ex+ cosθ-→ey) =θ-→ey1?d-→ey1 dt? R =θ(-cosθ-→ex-sinθ-→ey) =-θ-→ex1?d-→ez1 dt? R =-→0On peut facilement v´erifier que :
dt? R dt? R θ-→ez1×-→ez1=-→0 =?d-→ez1 dt?RDonc, en posant
-→Ω =θ-→ez, pouri=x, youz: ?d-→ei1 dt? =-→Ω×-→ei1 Alors (cf.I.2)-→Ω repr´esente levecteur rotation deR1par rapport `aR: -→ΩR1/R=-→Ω =θ-→ezRq :(Important `a comprendre!)?
La base (
ex1,-→ey1,-→ez1) est unebase cart´esiennedans le r´ef´erentielR1 Mais ces trois mˆeme vecteurs sont les vecteurs d"unebase polairedans le r´ef´erentielR.Cl :La nature d"une base (cart´esienne ou polaire) d´epend du r´ef´erentiel dans lequel on
travaille. II D´erivation d"un vecteur par rapport au tempsII.1 Formule de Varignon
•Soit un vecteur quelconque-→U. On peut le projeter dans laB.O.N.D.deR1=Re:-→U=Ux1-→ex1+Uz1-→ez1+Uz1-→ez1
•On peut d´eriver ce vecteurpar rapport au temps dans le r´ef´erentielRa=R: l"observateur,
pour cette op´eration, estLI´E`aR: d-→U dt? R R +Uy1?d-→ey1dt? R +Uz1?d-→ez1dt? R d-→U dt? R d-→Udt? R d-→U dt? R d-→Udt? R1+-→ΩR1/R×-→U
II.2 Composition des vecteurs rotation
a Relation entre-→ΩR1/Ret-→ΩR/R1? d-→U dt? R d-→Udt? R1+-→ΩR1/R×-→U
d-→U dt? R 1=? d-→Udt? R d-→U dt? R d-→Udt? R -→UD"o`u :
-→ΩR1/R=--→ΩR/R1 b Composition des vecteurs rotations : Supposons trois r´ef´erentielsR1,R2etR3. On a :? d-→U dt? R 2=? d-→Udt? R1+-→ΩR1/R2×-→U
d-→U dt? R 3=? d-→Udt? R d-→U dt? R 3=? d-→Udt? R -→U Qadri J.-Ph.http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3 M8II. D´erivation d"un vecteur par rapport au temps2008-2009 D"o`u :-→ΩR1/R3=-→ΩR1/R2+-→ΩR2/R3 c Application : coordonn´ees sph´eriques Le rep`ere (O,-→ex,-→ey,-→ez) est le" solide géométrique »LIÉau référentielR. Le repère(O,-→e ,-→e?,-→ez)est le " solide géométrique »LIÉau référentielR?tel que :-→ΩR?/R= ?-→ez. Le repère(O,-→er,-→eθ,-→e?)est le " solide géométrique »LIÉau référentielR1tel que :-→ΩR1/R?=θ-→e?.• D"après la composition des vecteurs rotation :-→ΩR1/R=-→ΩR1/R?+-→ΩR?/R=θ-→e?+ ?-→ez
• d"où :?d-→er dt? R 0? ????d-→er dt? R1+-→ΩR1/R×-→er
θ-→e?+ ?-→ez)×-→er=θ-→eθ+ ?-→ez×-→er? sinθ-→e? →?d-→erdt? R =θ-→eθ+ ?sinθ-→e?1? •d"o`u :?d-→eθ dt? R 0? ????d-→eθ dt? R1+-→ΩR1/R×-→eθ= (θ-→e?+ ?-→ez)×-→eθ=-θ-→er+ ?-→ez×-→eθ????
sin? 2? e →?d-→eθ dt? R =-θ-→er+ ?cosθ-→e?2? •d"o`u :?d-→e? dt? R 0? ????d-→e? dt? R1+-→ΩR1/R×-→e?= (θ-→e?+ ?-→ez)×-→e?= ?-→ez×-→e?≡ -?-→e.
Comme :
-→e= sinθ-→er+ cosθ-→eθ, on obtient :?d-→e? dt? R •De plus, comme---→vM/R=? d--→OM dt? R =?dr-→erdt? R = r-→er+r?d-→erdt? R Rq1 :Avec1?on obtient la vitesse en coordonn´ees sph´eriques : vM/R= r-→er+rθ-→eθ+rsinθ?-→e?Rq2 :On pourrait d´eriver `a nouveau le vecteur vitesse, et, grˆace `a1?,2?et3?, obtenir l"expression
de l"acc´el´eration en coordonn´ees sph´eriques. d D´eriv´ee temporelle d"un vecteur rotation d"entraˆınement •Supposons que-→U≡-→ΩR1/R. La formule deVarignons"´ecrit alors :?d-→ΩR1/R dt? R =?d-→ΩR1/Rdt? R1+-→ΩR1/R×-→ΩR1/R????-→0→Donc les deux d´eriv´ees temporelles sont ´egales. Comme elles sont ind´ependantes du choix du
r´ef´erentielRouR1pour les exprimer, on peut se contenter de noter : ?d-→ΩR1/R dt? R =?d-→ΩR1/Rdt? R1≡d-→ΩR1/Rdt
4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.
2008-2009III. Loi de composition des vitessesM8
III Loi de composition des vitesses
III.1 Vitesse absolue et vitesse relative
d--→OM dt? R a≡-→va savitesse relative, d´efinie dans le r´ef´erentiel relatifRe----→vM/Re=? d---→O1M dt? R e≡-→vr vM/Ra≡?
d--→OM dt? R a=? d--→OO1dt? R a? d---→O1M dt? R a vO1/Ra+? d---→O1M dt? R e? ???----→v M/Re+ -→ΩRe/Ra×---→O1M zD"o`u laLoi de Composition des Vitesses: III.2 Point co¨ıncidant et vitesse d"entraˆınement ♦D´efinition :Lepoint co¨ıncidant, not´eM?, est le point :1?fixedansRe(i.e.li´e`aRe)
2?quico¨ıncideavecM...
3?...`a l"instanttconsid´er´e
Rq :Bien comprendre que le point co¨ıncidant est un pointg´eom´etrique, puisqu"il est fixe dans
R e, et non un pointmat´erielcomme le pointM.Cons´equences :1??
vM?/Re=-→0 D`es lors, la loi de composition des vitesses appliqu´ee au pointM?donne : vM?/Ra=????----→vM?/Re+----→vO1/Ra+-→ΩRe/Ra×----→O1M?≡-→ve(M) avecM?(t) =M(t)
♦D´efinition :On appellevitesse d"entraˆınementdu pointM, not´ee-→ve(M), la vitesse qu"auraitle pointMdans le r´ef´erentiel absolusiM´etait fixe dansRe, c"est-`a-dire,siM´etait entraˆın´e par le mouvement d"entraˆınement du r´ef´erentiel relatif
R e. zPropri´et´e :On constate que lavitesse d"entraˆınementdu pointMcorrespond `a lavitesse absolue du point co¨ıncidantM?: -→ve(M)≡? vM?/Ra v