Semestre automne 2018-2019 math univ-lyon1 fr/homes-www/lerouvillois/ Éléments de correction TD no 5 Formule d'Itô et applications Exercice 1 : Retour sur
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Equations différentielles stochastiques, Corrigés 145 Montrer, sans utiliser la formule d'Itô pour des pro- Exercice 3 2 6 Formule d'Itô Soit Yt = ∫ t 0
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ne contient que quelques coquilles corrigées Il n'y aura pas d'exercice portant sur le chapitre 9 (Filtrage Applications directes de la formule d'Itô Soit B un
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Corrigé des exercices du chapitre 8 – Intégrale d'Itô Calculer d(tBt) `a l'aide de la formule d'Itô La formule d'Itô avec u(t, x) = tx donne d(tBt) = Bt dt + tdBt 4
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Semestre automne 2018-2019 math univ-lyon1 fr/homes-www/lerouvillois/ Éléments de correction TD no 5 Formule d'Itô et applications Exercice 1 : Retour sur
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Examen du 7 janvier 2013 – Durée : 2h30 Exercice 1 1 Dans tous les cas, on écrit le processus demandé comme f(t, Bt) et on applique la formule d'Itô
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rappel suivi d'exercices des notions vues en Calcul stochastique au premier semestre, puis une partie de phistiqués la formule de Ito permet de différentier une fonction d'un processus stochas- tique iii corrigé page 3 3 Remarquons
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Processus stochastiques - M1 Actuariat lerouvillois@math.univ-lyon1.frSemestre automne 2018-2019 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/Éléments de correction TD n
o5 Formule d"Itô et applications.Exercice 1: Retour sur Rt0BsdBs.
En appliquant la formule d"Itô àB2t, (re)montrez queRt0BsdBs=12
B2tt.Remarque :C"est quand même bien plus simple avec la formule d"Itô qu"avec le passage à la limite de
l"intégrale stochastique des processus étagés non?Correction exercice 1:Vu en classe.
Exercice 2: Processus d"Itô et martingale.
1. Écrire le processus
sin(Bt)et t0comme processus d"Itô.2. Montrer que le processus
B3t3tBt
t0est une martingale.Correction exercice 2:Vu en classe
Exercice 3: Processus d"Ornstein-Uhlenbeck.
Pour décrire la dynamique des taux courts, en particulier dans le modèle de Vasicek (1977), onmodélise l"évolution du processus de taux par la différentielle stochastique suivante (aveca;b >0) :
dX t=a(bXt)dt+dWt1. Expliquez heuristiquement (en ne vous focalisant que sur l"équation stochastique) pourquoi
ce processus a une "force de rappel versb".2. En appliquant la formule d"Itô au processusYt= (Xtb)eat, déterminer la solution de cette
EDS, appelée processus de Ornstein-Uhlenbeck.
3. On suppose queX0=x02R. Justifiez que(Xt)t0est un processus Gaussien dont on
précisera la fonction espérance et la fonction de covariance. Préciser la loi deXt, pour tout
t0. Quelle est la limite en loi deXtlorsquet! 1? 1 Figure1 - Simulation de la solution de l"équation de Ornstein-Ulenbeck aveca== 1,b= 5et x 0= 0.Correction exercice 3:
1. Dans l"équation différentielle stochastique,a(bXt)dtpeut être considéré comme un terme
de force etdWtcomme un terme de bruit. Maintenant, - SiXtb, alorsa(bXt)dt0 - SiXtb, alorsa(bXt)dt0, cara >0. Dans tous les cas, la forcea(bXt)dttend à ramenerXtversb. On peut donc la qualifier de "force de rappel".2. La deuxième formule d"Ito donne
Y t=Y0+Z t 0 easdXs+Z t 0 a(Xsb)easds+ 0: car la dérivée seconde de(t;x)7!(xt)eatpar rapport àxest nulle.En remplaçantdXtpara(bXt)dt+dBt, on obtient :
Y t= (X0b) +Z t 0 easa(bXs)ds+Z t 0 easdBs+Z t 0 a(Xsb)easds =X0b+Z t 0 easdBs:Donc finalement,X
t=b+eat(X0b) +eatZt 0 easdBs:23. (a) La fonctions7!easétant déterministe et de carré intégrable, l"intégrale stochastiqueRt
0easdBsest uneintégrale de Wiener. Par conséquent, le processus stochastique as-
socié(Rt0easdBs)t2R+est un processus Gaussien.
Maintenant, si on prend un ensemble de temps croissants0t1:::tnet un ensemble de réels(a1;:::;an), on a n X i=1a iXti=nX i=1a i(b+eati(x0b)) +nX i=1a ieatiZ ti0easdBs;
peut se réécrire sous la forme : n X i=1a iXti=C+nX i=1a 0iZ ti0easdBs:
Or, le processus(Rt
0easdBs)t2R+étant Gaussien, on a quePn
i=1a0iR ti0easdBssuit une
loi normale. Or, une variable aléatoire Gaussienne plus une constante est encore une loiGaussienne. Par conséquent,Pn
i=1aiXtisuit une loi normale. On a donc montré que le processus(Xt)t2R+était Gaussien. (b) La fonction espérance est donnée parE[Xt] =E
b+eat(x0b) +eatZt 0 easdBs =b+eat(x0b) +eatE Zt 0 easdBs =b+eat(x0b): où la dernière égalité a lieu car Rt0easdBsest une intégrale de Wiener donc est processus
centré. (c) La fonction de covariance est donnée par :80st;Cov(Xs;Xt) =E[(XsE[Xs])(XtE[Xt])]
=E (easZs 0 eaudBu)(eatZt 0 eaudBu) =2ea(t+s)E Zs 0 eaudBuZ t 0 eaudBu =2ea(t+s)Zs^t 0 e2audu =2ea(t+s)e2as12acarst22a(ea(ts)ea(t+s));
où la quatrième égalité a lieu car la fonction de covariance d"un processus de Wiener est
donnée par : Cov Zs 0 udBuZ t 0 udBu =Z s^t 0 2udu; 3 (cela s"applique lorsquet7!test un processus déterministe de carré intégrable). (d) On en déduit, en particulier, queX t N b+eat(x0b);2(1e2at)2a; et que doncX tloi!t!1N b;22aExercice 4: Equation de Black et Scholes. On considère deux actifs : unactif sans risque(S0t)0tTde taux de rendementr >0et unactif risqué(St)0tTde taux de rendement >0et de volatilité >0. On fait l"hypothèse que le taux d"actif risqué évolue selon la formule de Black-Scholes. Autrement dit : dS