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Universit´e Claude-Bernard Lyon 1

EXAMEN FINAL

TECHNIQUES MATH

´EMATIQUES DE BASE

LICENCE 1`ere ANN

´EE

Mardi 31 mai 2005. Dur´ee de l"´epreuve: 2h

Il est interdit d"utiliser des calculatrices.

Il est admis de consulter le polycopi´e ou des notes personelles.

Exercice 1 (

´Etude de fonction).´Etudier la fonction

f(x) = arccos?1-x2

1 +x2?

et dessiner son graphe, en suivant les ´etapes ci-dessous:

1. Trouver le domaine de d´efinition def.

2. Calculer les limites def(x) quandxtend vers les bornes du domaine def.

3. D´eterminer le signe def?(x) et dresser le tableau de variation def.

4. D´eterminer les points de minimum et/ou maximum locaux etcalculer la valeur def

correspondante. Exercice 2 (Calcul d"int´egrale).Calculer l"int´egrale ?1 01

5chx+ 3shx+ 4dx

en utilisant le changement de variablet=ex.

Exercice 3 (

´Equation diff´erentielle du 2`eme ordre).Trouver l"unique solutionyde l"´equation diff´erentielle (E)y??(x)-5y?(x) + 6y(x) =-e2x qui v´erifiey(0) = 0 ety?(0) = 0.

Exercice 4 (

´Equation diff´erentielle du 1er ordre).

1) Trouver la primitive de la fonctionf(x) =x-1

x(2-x)sur l"intervalle ]0,2[.

2) R´esoudre l"´equation diff´erentielle homog`ene

(E0)x(2-x)y?(x) + (1-x)y(x) = 0 sur l"intervalle ]0,2[.

3) Calculer la d´eriv´ee de la fonctiong(x) = arccos(x-1) sur l"intervalle ]0,2[.

4) R´esoudre l"´equation diff´erentielle inhomog`ene

(E)x(2-x)y?(x) + (1-x)y(x) =x(2-x) sur l"intervalle ]0,2[.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23