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Chapitre1Taux et indices
1.1T auxd "évolution
1.1.1Dé finitionDéfinition 1.1On appelletaux d"évolutiond"une quantité y1à une quantité y2le nombre t
défini par : tAEy2¡y1y1AEValeur finale¡Valeur initialeValeur initiale
Remarque :Ce taux est positif pour une augmentation et négatif pour une baisse. ExempleLe prix d"un article passe de 80eà 60e. Quel est le taux d"évolution de ce prix? Le taux d"évolution de ce prix esttAE60¡8080AE¡2080
AE¡0,25AE¡25%
Le prix a donc subi une baisse de 25%.
1.1.2C oefficientmu ltiplicateurThéorème 1.1
Sitest le taux d"évolution d"une quantitéy1à une quantitéy2alorsy2AE(1Åt)£y1.1Åtest appelécoefficient multiplicateurdey1ày2.Exemple1.U nequant ité1500augmente de30%. Quelle est la nouvelle valeur?
2. U nequant itéaugmen tede 25%pour arriver à la valeur3750. Quelle était la valeur initiale? 1. U nea ugmentationd e30 %corr espondà u nem ultiplicationpar 1 Å30100AE1,3.
La nouvelle valeur est doncQAE1500£1,3AE1950
2. U nea ugmentationd e25 %corr espondà u nem ultiplicationpar 1 Å25100AE1,25.
La valeur de départQ0vérifie doncQ0£1,25AE3750 et doncQ0AE37501,25AE3000
1.1.3É volutionssucc essivesThéorème 1.2
Si une quantité subit des évolutions successives de tauxt1,t2,t3, ... alors le tauxglobalTcorres-
pondant à ces évolutions vérifie :1ÅTAE(1Åt1)£(1Åt2)£(1Åt3)...ExempleQuel est le taux T équivalent à des évolutions successives de¡30%,¡40%et¡10%?
Tvérifie : 1ÅTAEµ
1¡30100
1¡40100
1¡10100
AE0,7£0,6£0,9AE0,378
doncTAE0,378¡1AE¡0,622AE¡62,2%Terminale STMG - 2016/2017
1TAUX ET INDICESCOURS
1.1.4T auxré ciproqueThéorème 1.3
Si une quantité subit une évolution de tauxt, le tauxréciproqueest le tauxt0qui permet à la
quantité de retrouver sa valeur initiale.On a alors :
(1Åt0)£(1Åt)AE11Åt0AE11ÅtExempleQuel est le taux réciproque d"une évolution deÅ25%?
Le taux réciproquet0vérifie 1Åt0AE11Å25100AE11,25
AE0,8On a donct0AE0,8¡1AE¡0,2AE¡20%
1.2I ndices
1.2.1Dé finitionDéfinition 1.2L"indice en base 100 d"une quantité y2par rapport à une quantité y1est le
nombre : iAEy2y1£100
ExempleLa population d"une ville est de 25000 habitants en 2010, 27000 en 2011 et 31000 en 2012. Calculer les
indices en base 100 de la population en 2011 et 2012 en prenant comme référence l"année 2010.
En 2011, l"indice esti1AE2700025000
£100AE108 et en 2012,i2AE3100027000
£100AE124
On obtient ainsi le tableau ci-contre :Année201020112012Population250002700031000
Indice100108124
1.2.2I ndiceet coe fficientmultiplica teur
Théorème 1.4
Siiest l"indice en base 100 d"une quantitéy2par rapport à une quantitéy1alorsi100 est le coef- ficient multiplicateur dey1ày2. Le taux d"évolution dey1ày2vérifie donc :1ÅtAEi100
ExempleLe tableau précédent nous permet de conclure que le taux d"évolution de la population entre 2010 et 2011
est8%et celui entre 2010 et 2012 est24%. 2Terminale STMG - 2016/2017
COURSTAUX ET INDICES
1.3T auxm oyen
1.3.1R acinen -ièmeDéfinition 1.3Soit a un nombre réelpositifet n un entier naturel. Il existe un unique réel
positif solution de l"équation x nAEa. Ce réel est appeléracinen-ièmede a et se note a1n . On le note aussi npa.Remarque :Pour tout nombre positifa,a12
AEpaExempleOn a25AE32donc3215
AE2. On a aussi34AE81donc8114
AE3. 1.3.2C alculd "unt auxmo yenDéfinition 1.4Si une quantité subit n évolutions successives de taux global T alors le taux
moyen de ces n évolutions est le taux t qui, appliqué n fois, est équivalent au taux T.Théorème 1.5
Le taux moyentdenévolutions successives de taux globalTdoit vérifier l"égalité :(1Åt)nAE1ÅTExempleUn prix subit une évolution annuelle deÅ36%. Quel est le taux moyen mensuel correspondant à cette