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Il existe une valeur de pour laquelle la fonction : ⟼ vérifie ′( ) = Cette valeur est notée ○ Cette fonction est appelée

Tout ce qu"il faut savoir en math

P ourcentage

2Prendre un pourcentaget% d"un quantitéa:at100

2Calculer le pourcentage d"une quantitéapar rapport à une quantitéb:ab

1002Le coecient multiplicateurCMpour une augmentationa:CM=1+a100

2Le coecient multiplicateurCMpour une réductionr:CM=1r100

2On calcul le pourcentage d"évolution d"une quantité par :Valeur finalevaleur initialevaleur initiale

1+t100

n2Une quantitéAdiminuénfois successivement d"un même pourcentagetdevient :A 1t100 n2Statistiques

LamédianeMed"une série statistique est la valeur de la variable qui partage l"eectif total en deux

parties égales.

LequartileQ1est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 25 % des valeurs de la série lui

soient inférieures ou égales.

LequartileQ3est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 75 % des valeurs de la série lui

soient inférieures ou égales.

LedécileD1est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 10 % des valeurs de la série lui

soient inférieures ou égales. LedécileD9est la plus petite valeur de la variable telle qu"au moins 90 % des

valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. On définitl"écart interquartilepar :Q3Q1etl"intervalle interquartilepar [Q1;Q3]

Lediagramme en boîtesreprésente une série statistique ainsi que sa médiane, ses quartiles et ses

valeurs extrêmes (éventuellement les déciles) :Une série statistique double dencouples (xi;yi) se représente, dans un repère orthogonal bien choisi,

par unnuage de points. Lepoint moyenGest le point dont les coordonnées sont :xG=¯x=n P i=1xin etyG=¯y=n P i=1yin

Paul Milan 1 sur

Terminale ES

3 PROBABILITÉS

Selon la forme du nuage, on peut l"ajuster de manière ane, quadratique (carre/racine carree) ou grâce

aux logarithmes/exponentielles (on pose, en general,zi=ln(yi)) Ajustement des extremes : Ajustement ane qui utilise les deux points extremes du nuage (le premier et le dernier) Ajustement de Mayer : Ajustement ane qui utilise les deux points moyens de deux sous-nuages du nuage global. Pour tous les ajustements anes, on peut calculer la somme des residusnP i=1[yi(axi+b)]2

Ajustement par laméthode des moindres carres: La droite d"equationy=ax+btelle quea=Cov(x;y)V(x), et qui passe par le point moyenG(¯x; ¯y) est la droite qui rend minimale la somme des residus

n P i=1[yi(ax+b)]2. On obtient son équation en utilisant la calculatrice (Menu STAT, CALC, REG) 3

Pr obabilités

L"univers

est l"ensemble des résultats possible d"une expérience aléatoire. UnévénementAest une partie de Pour tout événementA, 06P(A)61. On aP(?)=0etP(

)=1La somme des probabilités des événement élémentaires vaut 1.p1+p2++pn=1La probabilité d"un événement est égale à la somme des propabilité des événements élémentaires qui le

composent. Dans le cas d"équiprobabilité,P(A)=Card(A)Card( )=Nbre de cas favorablesNbre de cas possibles.

Pour deux événementsAetB,P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B)Si les événéments sont incompatibles (A\B=?) alorsP(A[B)=P(A)+P(B)Pour tout événementA, on noteAl"événement contraire etP(A)=1P(A)3.1Conditionnement et indépendance

BsachantApar :

P A(B)=P(A\B)P(A),P(A\B)=P(A)PA(B)On a alors l"arbre suivant :

Paul Milan 2 sur

Terminale ES

4 ALGÈBRE

Les événementsAetBsontindépendantslorsque la réalisation de l"un n"influe pas sur la réalisation

de l"autre. On a alors : P

A(B)=P(B) ouPB(A)=P(A))P(A\B)=P(A)P(B)

3.2

V ariablealéatoir e

On définit une variable aléatoireXsur

lorsqu"on associe un nombre réel aux événements de . La loi

de probabilité de la variable aléatoireXest la fonctionk7!P(X=k), souvent présentée dans un tableau :valeurs possiblesx

1x 2...x nprobabilitép 1p 2...p netp1+p2++pn=1 L"espèrence mathématique de cette loi est le nombre notéE(X) défini par : E(X)=p1x1+p2x2++pnxn3.3Répétition d"épr euve

Lorsque qu"on répète plusieurs fois et

de manière indépendante une expè- rience n"ayant que deux issues (suc- cès et échec),Sde probabilitépet¯S de probabilitéq=1p, on eectue uneexpérience de Bernouilli.

Sur l"ensemble des répétitions, on

peut compter le nombre de succès à l"aide d"un arbre. Ne pas oublier que l"évènement contraire de " obtenir au moins un succès » est " obtenir que des échec».4Algèbr e 4.1

Le second degré

P(x)=ax2+bx+cle trinôme du second degré. Lediscriminant =b24ac Si>0, l"équationP(x)=0 admetdeux racinesréelles distinctes : x 1=b+p

2aetx2=bp

Factorisation:

P(x)=a(xx1)(xx2)

LesignedeP(x) est du signe de

aà l"extérieur des racines et du signe deaà l"intérieur.Si =0, l"équationP(x)=0 admetune unique racineréelle "double» : x 0=b2a

Factorisation:

P(x)=a(xx0)2

LesignedeP(x) s"annule enx0

et est du signe deaailleurs.Si<0, l"équationP(x)=0n"admetpas de racineréelle

Onne peut pas factoriserP(x)

LesignedeP(x) est du signe de

a.Paul Milan 3 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

4.2

Domaine de définition d"une f onction

Il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.pu(x) existe ssiu(x)>0 ln (u(x))existe ssiu(x)>0 Les conditions peuvent se cumuler d"où des sytèmes et des intersections d"intervalles. 4.3

Limites et asymptotes

On étudie les limites d"une fonction aux bornes de son ensemble de définition. On peut utiliser alors :

2Les limites des fonctions élémentaires : ( limx!+1x2= +1)

2Les limites de comparaison (théorème des gendarmes)

2Les opérations sur les limites (somme, produit et quotient). Attention aux formes indéterminées

+1 1;0 1;11 et00

2La limite en1d"un polynôme est celle de son terme du plus haut degré.

2La limites en1d"une fonction rationnelle est celle de son quotient simplifié des termes du plus

haut degré.

2Les limites par croissance comparées (cf exponentielle et logarithmes)

Asymptote verticaleSi lim

x!af(x)=1, la droite d"équationx=aest asymptote verticale àCf.

Il faut en général étudier la li-

mite à gauche et à droite dea.Asymptote horizontale

Si lim

x!1f(x)=`, la droite d"équationy=`est asymptote horizontale àCf.Asymptote oblique

Si lim

x!1[f(x)(ax+b)]=0, la droite d"équationy=ax+best asymptote oblique àCfen+1, 1.

Position relative: il faut étudier

le signe def(x)(ax+b). 4.4

Théorème des v aleursintermédiair es

alors pour toute valeurkcomprise entref(a) etf(b), l"équationf(x)=kadmet uneunique

solution sur l"intervalle [a;b]. Ce théorème s"étend aux cas d"intervalles ouverts et aux bornes

infinieCas def(x)=0 : Sifest une fonction est dérivable (donc continue) et strictement monotone sur

l"intervalle [a;b] et sif(a)f(b)<0, alors il existe une unique solutionà l"équationf(x)=0 dans l"intervalle [a;b].Paul Milan 4 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

4.5

Déri véeet primiti ves

Si pour toutx2I,f0(x)>0 alorsfeststrictement croissantesurI. Si pour toutx2I,f0(x)<0 alorsfeststrictement décroissantesurI. Uneprimitivesur l"intervalleId"une fonctionfcontinue surIest une fonctionFdéfinie et dérivable surI, telle que :

8x2I;F0(x)=f(x)

Les primitives sont définies à uneconstante près.FonctionDérivéeD 0 ff(x)=kf

0(x)=0R

f(x)=xf

0(x)=1R

f(x)=xnn2Nf

0(x)=nxn1R

f(x)=1xf

0(x)=1x

2R f(x)=1x nn2Nf

0(x)=nx

n+1R f(x)=pxf

0(x)=12

pxR +f(x)=ln(x)f

0(x)=1xR

+f(x)=exf

0(x)=exRFonctionPrimitiveD

Ff(x)=kF(x)=kxR

f(x)=xF(x)=x22R f(x)=xnF(x)=xn+1n+1R f(x)=1xF(x)=lnxR +f(x)=1x nF(x)=1(n1)xn1R R f(x)=1pxF(x)=2pxR +f(x)=exF(x)=exR

DérivéeFormule

de la somme(u+v)0=u0+v0deku(ku)0=ku0du produit(uv)0=u0v+uv0de l"inverse 1u 0 =u0u

2du quotient

0=u0vuv0v

2de la puissance(

un)0=nu0un1de la racine pu 0=u02 pu du logarithme( lnu)0=u0u de l"exponentielle( exp(u))0=u0exp(u)PrimitiveFormule de la sommeR (u+v)=Ru+RvdekuR (ku)=kRudeu0unR u0un=un+1n+1de u0uR u0u =lnjujde u0u nn,1R u0u n=1(n1)un1de u0puR u0pu =2pu deu0euR u0eu=euPaul Milan 5 sur8 Terminale ES

4 ALGÈBRE

4.6 Représentation de la f onctionet du nombr edéri vé tativeCfde la fonctionfadmet au pointA(a;f(a)) une tangente de coecient directeurf0(a) dont l"équation est :quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Tout ce qu"il faut savoir en math

P ourcentage

2Prendre un pourcentaget% d"un quantitéa:at100

2Calculer le pourcentage d"une quantitéapar rapport à une quantitéb:ab

1002Le coecient multiplicateurCMpour une augmentationa:CM=1+a100

2Le coecient multiplicateurCMpour une réductionr:CM=1r100

2On calcul le pourcentage d"évolution d"une quantité par :Valeur finalevaleur initialevaleur initiale

1+t100

Paul Milan 1 sur

Terminale ES

3 PROBABILITÉS

Pr obabilités

L"univers

BsachantApar :

Paul Milan 2 sur

Terminale ES

4 ALGÈBRE

A(B)=P(B) ouPB(A)=P(A))P(A\B)=P(A)P(B)

V ariablealéatoir e

On définit une variable aléatoireXsur

Lorsque qu"on répète plusieurs fois et

Sur l"ensemble des répétitions, on

Le second degré

2aetx2=bp

Factorisation:

P(x)=a(xx1)(xx2)

LesignedeP(x) est du signe de

Factorisation:

P(x)=a(xx0)2

LesignedeP(x) s"annule enx0

Onne peut pas factoriserP(x)

LesignedeP(x) est du signe de

4 ALGÈBRE

Domaine de définition d"une f onction

Limites et asymptotes

2Les limites des fonctions élémentaires : ( limx!+1x2= +1)

2Les limites de comparaison (théorème des gendarmes)

2Les opérations sur les limites (somme, produit et quotient). Attention aux formes indéterminées

2La limite en1d"un polynôme est celle de son terme du plus haut degré.

2La limites en1d"une fonction rationnelle est celle de son quotient simplifié des termes du plus

2Les limites par croissance comparées (cf exponentielle et logarithmes)

Asymptote verticaleSi lim

Il faut en général étudier la li-

Si lim

Si lim

Position relative: il faut étudier

Théorème des v aleursintermédiair es

4 ALGÈBRE

Déri véeet primiti ves

8x2I;F0(x)=f(x)

0(x)=0R

0(x)=1R

0(x)=nxn1R

0(x)=1x

0(x)=nx

0(x)=12

0(x)=1xR

0(x)=exRFonctionPrimitiveD

Ff(x)=kF(x)=kxR

DérivéeFormule

2du quotient

0=u0vuv0v

2de la puissance(

4 ALGÈBRE