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Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
VincentDujardin- FlorentGirod1
Année scolaire 2014 / 2015
1. Externat Notre Dame -Grenoble
Table des matières0 Ensembles de nombres et intervalles deR31) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4
2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7
1 Algèbre8
1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9
2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10
3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12
4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13
2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14
1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18
3 Modéliser par des fonctions20
1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21
2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
4 Sens de variations - Fonctions affines28
1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34
1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40
6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41
1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44
17 Trigonométrie46
1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47
2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50
8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52
1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53
2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55
4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56
5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
9 Probabilités57
1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58
2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60
3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61
10 Fluctuation d"échantillonnage62
1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63
3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66
11 Géométrie dans l"espace67
1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69
3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70
12 Vecteurs, repérage72
1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Équations de droites84
1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88
2Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR
Bulletin Officiel (B.O)
Notations mathématiques
Les élèves doivent connaître les notions d"éléments d"un ensemble, d"un sous-ensemble, d"ap-
partenance et d"inclusion, d"intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,,ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, surdes exemples, à utiliser correctement les connecteurs logiques " et », " ou » et à distinguer
leur sens des sens courants de " et », " ou » dans le langage usuel.Objectifs du chapitre:
itemréférencesauto évaluation connaître les ensembles de nombres (et leurs notations) utiliser les symboles,,, traduire l"appartenance à un intervalle deR utiliser les connecteurs logiques " et », " ou » 31) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles
NotationListeDescription
Rtous les nombres que vous connaisseznombresréelsN0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels
Z;?3 ;?2 ;?1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers relatifsOn définit aussi les sous-ensembles suivants :
-R: tous les nombres réels sauf 0; -R+: tous les nombres réels positifs; -R: tous les nombres réels négatifs.1 - 2) Appartenance et inclusion
Certains nombres
appartiennentà un ensemble donné; on note cette appartenance avec le symbolePar exemple,?5Z.
Certains ensembles sont
inclusdans d"autres ensembles; on note cette inclusion avec le symbole Par exemple, si un nombre est entier naturel, alors il est entier relatif; cela se note :NZ2) L"axe des réels
On peut représenter les nombres réels sur une droite graduée: - On définit un repère():est l"origine (abscisse 0),définit l"unité (abscisse 1). ?3?2?1 0 1 2 3 4 5? - Chaque point est repéré par son abscisse. Ici :(3)et(?2). - L"axe des réels n"a pas de borne : il est infini à gauche et à droite. - On notela notion d"infini :?est l"infini à gauche, et+est l"infini à droite. 43) Intervalles deR
etsont deux nombres, avecExemples:
"appartient à l"intervalle fermé[;]» - signifie?? - se note[;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle ouvert];[» - signifie - se note];[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle[; +[» - signifie? - se note]; +[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle]? ;]» - signifie? - se note]? ;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6Remarque et vocabulaire:
-signifie " appartient » etsignifie " n"appartient pas »; -etsont les bornes de l"intervalle;- Lorsque la borneappartientà l"intervalle, elle est dite " fermée » : le crochet est orienté
vers la borne; 5 - Lorsque la bornen"appartient pasà l"intervalle, elle est dite " ouverte » : le crochet " tourne le dos » à la borne. exemples : avec= [?2 ; 6[, on sait que2et6 avec=]0 ; 7[, on sait que0et7 - L"infini n"étant pas un nombre, cette borne est toujours ouverte. - Il y a une infinité de nombres dans un intervalle[;](avec ).4) Union d"ensembles
Avecetdeux ensembles de nombres.
* se dit "appartient àunion» * signifieou(appartient à, à, ou aux deux)Application:
*[?1 ; 3][4 ; 6] signifie queest soit un nombre compris entre -1 et 3, soit un nombre compris entre 4 et 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[5 ; 6signifie queest soit un nombre compris (strictement) entre 0 et 4, soit un nombre égal à 5, soit un nombre égal à 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 6Ou inclusif, ou exclusif" Entrée ou dessert » sur un menu signifie l"un ou l"autre, pas les deux pour le prix indiqué :
le " ou » est exclusif. " Pour Noël, j"aimerais avoir un PC ou un voyage aux USA » : le " ou » est inclusif : on souhaiterait évidemment avoir les deux.En mathématiques, le
ouestinclusif(l"un, l"autre ou les deux) Dans le langage, " Et » et " Ou » peuvent piéger... " Les personnes ayant droit à des réductions à la SNCF sont celles de moins de 25 ans et celles de plus de 65 ans. »On comprend :
" Une personne a une réduction si elle a moins de 25 ans ou plus de 65 ans (elle ne peut pas avoir les deux à la fois). »En mathématiques :
" les solutions sont les nombres compris entre -2 et 0 (inclus) et entre 4 et 5 (inclus) »On peut dire aussi :
"L"ensemble des solutions est[?2 ; 0][ 4; 5]:est solution équivaut à dire qu"il appartientà[?2 ; 0]ou à[4 ; 5].
5) Intersection d"ensembles
Avecetdeux ensembles de nombres.
* se dit "appartient àinter» * signifieet(appartient à la fois àet à)Application:
*[?1 ; 3][2 ; 6] signifie queest à la fois un nombre comprisentre -1 et 3, et compris entre 2 et 6: il est donc compris entre 2 et 3. En fait,[?1 ; 3][2 ; 6] = [2 ; 3] On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[2 ; 6signifie queest à la fois un nombre compris (strictement)entre 0 et 4 , etsoit égal à 2, soit égal à 6: il est égal à 2. En fait,]0 ; 4[2 ; 6=2 On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 7Chapitre 1AlgèbreBulletin Officiel (B.O)
ContenuCapacités AttenduesCommentaires
Expressions algé-
briquesTransformations d"ex-
pressions algébriques en vue de la résolution de problèmes- Associer à un problème une expres- sion algébrique. - Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d"une ex- pression en vue de la résolution du problème donné. - Développer, factoriser des expres- sions polynomiales simples; trans- former des expressions rationnellessimples.Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l"occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développer desstratégies s"appuyant sur l"observationde courbes, l"anticipation et l"intelli-gence du calcul. Le cas échéant, celas"accompagne d"une mobilisation éclai-rée et pertinente des logiciels de calculformel.
Objectifs du chapitre:
itemréférencesauto évaluation développer, factoriser des expressions polynomiales simples; transformer des expressions rationnelles simples montrer que deux expressions sontégales ou pas
81) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse
(rappels)1 - 1) quelques synonymes
SigneOpérationSynonyme
+Additionajouter, sommer, ... ?Soustractionenlever, retirer, ...Multiplicationrépéter plusieurs fois, ...
Divisionpartager en parts égales, ...
1 - 2) Somme et différence
Soustraire un nombreéquivaut à ajouter son opposé?.Autrement dit :?équivaut à+ (?)
Exemple:3?2 = 3 + (?2)
Remarque: tous les nombres ayant un opposé, les mathématiciens considèrent souvent les différences comme des sommes.1 - 3) Produit et quotient
Diviser par un nombreéquivaut à multiplier par son inverse1Autrement dit :
équivaut à1
Exemple:62= 612= 605
Question: cette proposition est-elle vraie ou fausse : " tous les nombres ont un inverse »?1 - 4) Déterminer la nature d"une expression
Les expressions algébriques comportent généralement (ou presque) les quatre opérations. Ladernière opérationque l"on utilise,en respectant les priorités de calcul, pour évaluer l"expression donne son type : une somme (+), une différence (-), un produit () ou un quotient () Exemples: pour tout nombre,(?1)(+ 2)estun produit. pour tout nombre,2+?2estune somme. 92) Transformations d"expressions (rappels)2 - 1) Réduire et ordonner
Définition 1:Ordonnerune expression, c"estrangerles termespar ordre décroissant des puissances de la variable.Exemple: pourun nombre, ordonner :32?8?2 + 43
réponse:32?8?2 + 43= 43+ 32?8?2 Définition 2:Réduireune expression, c"est la simplifier enregrou- pant les mêmes puissances des parties littérales (lettres). Exemple: pourun nombre, réduire et ordonner l"expression :2+3+2+4?52?2 réponse:2+ 3 +2+ 4?52?2 =2?52+ 2+ 4+ 3?2 =?32+ 6+ 1 Dans Xcas, la commande pour réduire et ordonner estnormal(expression)2 - 2) Développer
Définition 3:Développerun produit, c"est l"écrire sous la forme d"une somme. Vocabulaire: les éléments d"une somme s"appellent lestermes. Propriété 1: distributivité et double distributivitéPour,,,quatre nombres, on a
1.(+) =+
2.(+)(+) =+++
Preuve: vu au Collège
Exemple: développer, réduire et ordonner(4+ 3)(8?) réponse:(4+ 3)(8?)=48 + 4(?) + 38 + 3(?) =32?42+ 24?3 =?42+ 32?3+ 24 =?42+ 29+ 24 Dans Xcas, la commande pour développer une expression estexpand(expression) 102 - 3) Factoriser
Définition 4:Factoriserune expression, c"est l"écrire sous la forme d"un produit. Vocabulaire: les éléments d"un produit s"appellent lesfacteurs. En seconde, il y a deux méthodes pour factoriser, à appliquerdans l"ordre : Méthode 1: On cherche s"il y a unfacteur commun apparent.Exemple: Factoriser l"expression(+ 1)(+ 3)?2(+ 1)
réponse:(+ 1)(+ 7)?2(+ 1)=(+ 1)[(+ 7)?2] =(+ 1)[+ 7?2] =(+ 1)(+ 5) Méthode 2: On regarde si on reconnaît uneidentité remarquable connue. Exemples: pourun nombre, factoriser au maximum les expressions suivantes1.162+ 24+ 9
2.36?(+ 3)2
réponses:162+ 24+ 9=(4)2+ 243 + 32 =(4+ 3)236?(+ 3)2=62?(+ 3)2
=[6?(+ 3)][6 + (+ 3)] =[6??3][6 ++ 3] =(3?)(9 +) Dans Xcas, la commande pour factoriser une expression estfactor(expression) 113) Trois méthodes pour démontrer une égalité
Important:
On ne change pas un nombre lorsque l"on réduit
, ordonne, développe, factorise , met au même dénominateurson expression.On ne fait que le transformer.
Pour montrer par le calcul que deux expressionsetde formes différentes sont en fait égales, on peut utiliser une des trois méthodes de rédactionci-dessous.Méthode 3: on transformejusqu"à trouver.
Remarque: on peut aussi partir de B pour trouver AExemple: montrer que pour tout,(+ 2)2+ 3=2+ 7+ 4
réponse:(+ 2)2+ 3=2+ 22+ 22+ 3 =2+ 4+ 4 + 3 =2+ 7+ 4 Méthode 4: on calcule la différence entreet, c"est-à-dire?. Si elle est nulle, alors=.Exemple: montrer que pour tout,(+ 2)2+ 3=2+ 7+ 4
réponse:(+ 2)2+ 3?(2+ 7+ 4)=2+ 22+ 22+ 3?2?7?4 =2?2+ 4+ 3?7+ 4?4 =0 Méthode 5: on transforme, on transformepour obtenir une même troisième expression. Exemple: vérifier que pour toutréel,(+ 1)(+ 2) =(+ 3) + 2 réponse: d"une part,(+ 1)(+ 2) =2+ 2++ 2 =2+ 3+ 2D"autre part,(+ 3) + 2 =2+ 3+ 2
Remarque: comment démontrer que deux expressions ne sont pas égales? Par exemple, comment montrer que les expressions(+ 2)2?(+ 2)(+ 1)et2?6+ 2 ne sont pas égales? 124) Égalités équivalentes (rappels)
Remarque importante
:?= 0équivaut à= Preuve: on passe de la première à la seconde en ajoutant. Définition 5: Deux égalités sont équivalentes si lorsque l"une est vraie, l"autre aussi (et donc lorsque l"une est fausse, l"autre aussi).Remarque: le signesignifie " équivalent à ». En seconde, on préférera l"écriture en
français plutôt que ce signe. Propriété 2: En ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente.Preuve: propriété admise
Propriété 3: En multipliant ou en divisant par le même nombre non nul les deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente.Preuve: propriété admise
Propriété 4: En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur un seuloules deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente. Preuve: on ne change pas un nombre en le factorisant, le développant, en mettant au même dénominateur. On change sa forme : l"égalité est inchangée, donc équivalente. 13Chapitre 2Équations et inéquations : basesalgébriques et approche graphiqueBulletin Officiel (B.O)
ContenuCapacités AttenduesCommentaires
Équations
Résolution graphique
et algébrique d"équa- tions- Résoudre une équation se ra-menant au premier degré.Pour un même problème, combiner résolutiongraphique et contrôle algébrique.Utiliser en particulier, les représentations gra-phiques données sur un écran par une calcula-trice, un logiciel.