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est orthonormé Illustration : Repère orthonormé : OIJ est un triangle rectangle isocèle en O Ex 123p265 : Lecture de coordonnées dans un repère oblique

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Chapitre 3: Configurations planes. Repérage du plan

I) Configurations planes

Cf Math'X p242-245

Exercices 22 p 253 : Utilisation de la trigonométrie de collège . Exercice 23 p 254: Théorème de Pythagore et réciproque: intégré au DM des vacances . Exercice 34 p 255 : Propriété parallélogramme + rectangle, symétrie centrale .

Exercice 35 p 255 : Modification d'un algorithme.

II) Repérage du plan

1) Repères

a) Définitions et illustrations.

Définition 1 : On appelle repère du plan un triplet (O,I,J) de trois points distincts non alignés.

Définition 2 : Soit (O,I,J) un repère du plan. O est appelé origine du repère.

Définition 3 : Soit (O,I,J) un repère du plan .Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit

que le repère (O,I,J) est orthogonal. Illustration : Repère orthogonal : OIJ est un triangle rectangle en O.

Définition 4 : Soit (O,I,J) un repère du plan. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si de

plus OI=OJ, on dit que le repère est orthonormé. Illustration : Repère orthonormé : OIJ est un triangle rectangle isocèle en O.

Définition 5 : Soit (O,I,J) un repère du plan. Un repère est dit quelconque s'il ne vérifie aucune des

propriétés des définitions 2 et 3. Illustration : Repère quelconque : OIJ est un triangle quelconque. c) Propriété, définitions

Propriété1 ( admise) : Soit (O,I,J) un repère du plan. Dans ce repère, tout point A du plan est

caractérisé par un unique couple (xA;yA) de nombres réels. Définition 6 : On appelle coordonnées du point A cet unique couple(xA;yA). On appelle alors abscisse du point A le nombre réel xAet ordonnée du point A le nombre réel yA. d) Exemple

Exemple 1 :

Dans le repère (O,I,J) , on a: O (0; 0); I (1; 0); J (0; 1);A(xA;yA). Ex 37 p 256 : Lecture de coordonnées dans un repère orthonormé. Ex 123p265 : Lecture de coordonnées dans un repère oblique.

2) Distance entre deux points dans un repère orthonormé.

a) Théorème

Théorème1 ( admis ) : Soit (O,I,J) un repère orthonormé du plan, A(xA; yA) et B(xB; yB) deux

points du plan.

Alors la distance AB est donnée par:

AB =

Démonstration ( non faîtes ) : Soit A(xA; yA) et B(x; yB) deux points du plan dans un repère

orthonormé (O,I,J).

Si xA = xB, la distance AB vaut AB = | yB - yA |.

Si yA = yB, la distance AB vaut AB = | xB - xA |.

Sinon, considérons le point K (xB; yA). Le triangle AKB est alors rectangle en A. On a AK = |xB - xA|, et donc AK² = (xB - xA)².

De même on trouve BK² = (yB - yA)².

Par le théorème de Pythagore dans le triangle AKB, on obtient:

AK² + BK² = AB².

b) Exemple

Exemple 2 :

Soient deux points A(3;-1) et B (1;4) dans un repère orthonormé (O,I,J) d'unité 1cm. Rédaction : Le repère (O,I,J) est orthonormée donc on a

On aAB=

Ainsi c) Applications - Nature d'un triangle Exercice : Soit A(-2;-1), B(1;3) et C(-3;6) dans un repère orthonormé (O,I,J).

Quelle est la nature du triangle ABC ?

On commence par faire une figure :

ABC semble être un triangle rectangle isocèle en B.

Démontrons le.

Le repère (O,I,J) étant orthonormé, d'après le théorème 1 du cours, on montre que:

AB=5cm

BC=5cm

Le plus grand côté est AC et AC²=50.

On a alors AC²=AB²+BC²; Ainsi par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est

rectangle en B. Qui plus est, AB=BC, donc le triangle ABC est isocèle en B. Conclusion: ABC est un triangle rectangle isocèle en B.

Exercice 58 p 257 : Nature d'un triangle.

Exercice 62 p 257 : Trigonométrie, points alignés , nature de triangles.

Exercice 64 p 258 : Distance et cercle.

3) Coordonnées du milieu d'un segment

a) Propriété

Propriété 1 ( admise ) : Soit (O,I,J) un repère du plan quelconque, A(xA; yA) et B(xB; yB) deux

points du plan.

Notons I(xI; yI) le milieu du segment [AB].

On a : xI = xA+xB

2 et yI = yA+yB

2.Démonstration ( non faîtes ):

1 er cas: xA = xB ou yA = yB .

Supposons yA = yB ( l'autre cas se traitant de la même manière) et que xA < xB

I est le milieu de [AB] si et seulement si

I∈[AB]et IA=IB, c'est à dire yI = yA= yB

et xI - xA= xB - xI , ce qui donne xI = xA+xB

2et yI = yA+yB

2.

2ecas:

xA≠xBetyA≠yBOn note C le point tel que xC = xB et yA = yC .

Le triangle ABC est rectangle C. On note K le milieu de [AC] ; d'après le théorème des milieux, la

droite (IK) est parallèle à (BC), donc xI=xK=xA+xC

2(cf 1er cas),soit xI=xA+xC

2On procéderait de même avec le milieu L de [BC] pour établir que yI=yA+yC

2 b) Exemple

Exemple 3 :

Soient deux points A(3;-1) et B (1;4) dans un repère orthonormé (O,I,J) d'unité 1cm.

Notons I le milieu du segment AB.

Alors I( 2;3

2) Ex 45 p 256 : Coordonnées du milieu d'un segment + théorème des milieux) . c) Applications - Nature d'un quadrilatère

Exercice : Dans le plan muni d'un repère (O,I,J) orthonormé, on considère les points A(-1;-2),

B(3;-3), C(5;0), D(1;1). Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Méthode : On commence par placer les points!

On conjecture que ABCD est un parallèlogramme. Démontrons le.

Rédaction :

Calculons les coordonnées des milieux K de [AC] et L de [BD].

On a xK = xA+xC

2=2 et yK = yA+yC

2=-1

On a de plus xL = xB+xD

2=2 et yL =

yB+yD 2=-1 Ainsi, les points K et L ont les mêmes coordonnées donc ils sont confondus.

Ainsi, le quadrilatère ABCD a ses diagonales [AC] et [BD] qui ont le même milieu. On en déduit

que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Ex74 p 258 : Nature d'un quadrilatère qui se révèle être un rectangle. - Coordonnées du symétrique d'un point

Exercice : Soit (O,I,J) un repère du plan orthonormé, A(-5;2), D(-3;4). Calculer les coordonnées du

symétrique E de D par rapport à A.

Faire un schéma!

Rédaction : Soit ( xE; yE) les coordonnées du point E. Par définition du symétrique, A est le milieu du segment [DE].

Ainsi, on a xA = xE+xD

2 et yA = yE+yD

2, c'est à dire -5 = xE-3

2 et 2 = yE+4

2On en déduit donc que xE=-7 et yE=0.

On contrôle ensuite sur la figure et on conclut.

Exercice 49 p 257 : Coordonnées du symétrique d'un point et nature d'un quadrilatère qui se révèle

être un parallélogramme.

Exercice 75 p 258 : Coordonnées du milieu d'un segment, coordonnées du symétrique d'un point

par rapport à un autre point, nature d'un triangle qui se révèle être un triangle isocèle et d'un

quadrilatère qui se révèle être un losange ) Exercice 120 et 130 plus compliqués faits en AP avec les '' bons élèves ''quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44