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Razika NIBOUCHAetAlain SALINIER
Composition d"applications quasi-polynomiales
Tome 29, n
o2 (2017), p. 569-601. © Société Arithmétique de Bordeaux, 2017, tous droits réservés. L"accès aux articles de la revue " Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/), implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://jtnb.cedram.org/ legal/). Toute reproduction en tout ou partie de cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l"utilisation à fin strictement personnelle du copiste est constitutive d"une infrac- tion pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.cedramArticle mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux29(2017), 569-601Composition d"applications quasi-polynomiales
parRazikaNIBOUCHA etAlainSALINIER Résumé.L"objet de ce travail est l"étude de la composition des applications quasi-polynomiales deZdansZ, et plus particuliè- rement des applications quasi-affines, définies comme les appli- cations quasi-polynomiales de degré au plus 1. On montre que les applications quasi-affines correspondent aux endomorphismes continus de l"algèbre des suites reconnaissables indexées parZ. On représente les applications quasi-affines par des suites finies d"en- tiers, et on donne les formules explicites sur ces suites traduisant la composition ou la réversion des fonctions quasi-affines. Enfin, est étudié un problème de coloriage équivalent à la caractérisation de telles suites pour des bijections quasi-affines.Abstract.Composition of quasi-polynomial maps.
The aim of this work is to study compositional properties of quasi- polynomial maps fromZtoZ, and more particularly of quasi- affine maps, namely quasi-polynomial maps of degree at most 1. We show that quasi-affine maps correspond to continuous endo- morphisms of the algebra of recognizable bi-infinite sequences. We represent quasi-affine maps by means of finite sequences of in- tegers, and we give explicit formulae on these sequences which translate composition or reversion of quasi-affine maps. Finally, we consider a coloring problem equivalent to the characterization of such sequences for quasi-affine bijections.Introduction
Les applications quasi-polynomiales sont les applications deZdansC qui sont combinaisons linéaires à coefficients périodiques des fonctions puis- sances d"exposant entier naturel. Ce type d"applications semble être apparu dans les travaux de Cayley [ 7 ], qui a en substance observé que le dénumé- rant [ 9 , p. 120] d"un entier naturelnpar rapport à une suite strictement croissantea= (a1,a2,...)d"entiers naturels non nuls, c"est-à-dire le nombre de solutions en entiers naturels de l"équationa1x1+a2x2+···=n, est unefonction quasi-polynomiale de l"entiern. Ehrhart [10] en a mené une étudeManuscrit reçu le 19 janvier 2016, révisé le 13 septembre 2016, accepté le 17 octobre 2016.
Mathematics Subject Classification.11B37.
Mots-clefs.Bijections entre entiers rationnels, coloriages, quasi-polynômes, suites récurrentes
linéaires.