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Exercices de théorie des corps finis Exercice 1 — 1) Donner tous les polynômes irréductibles de degré inférieur `a 4 sur F2 2) Quelle est la factorisation sur F4 

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Exercice 7 Théorie de Galois des corps finis et version faible du théor`eme de Dirichlet: Soit p un nombre premier et n un entier premier avec p On pose q = pr

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Exercice 4 2 Soit K un corps fini `a q éléments de caractéristique p impair 1 Montrer que l'application ϕ : K× → K× x ↦→ x2 est un morphisme de groupes et 

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Montrer que G est cyclique 4 En déduire que toute extension finie d'un corps fini est monogène Exercice 4 (Polynômes cyclotomiques dans les corps finis) 

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3 oct 2016 · TD3 : corps finis 1 CORPS Exercice 1 : Existe-t-il des corps `a 30, `a 31, `a 32 éléments? les décrire Exercice 2 : 1 Montrer que F7 et F13 

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Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout élément est somme de deux carrés Solution de l'exercice 2 Soit Fq le corps fini en question (o`u q = pr) On 

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3 - Soit K un corps commutatif et G un sous-groupe fini d'ordre n de (K∗, ·) Dans tout cet exercice, p désigne un nombre premier = 3 et Fp le corps fini à p 

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Corps finis Exercice 1 Décrire les éléments des anneaux suivants et Lesquels de ces anneaux sont-ils des corps ? Exercice 2 Soit P = X4 + X + 1 ∈ F2[X]

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Universit´e Paris 7 3 octobre 2016

Alg`ebre

TD3 : corps finis

1 CORPS

Exercice 1 :

Existe-t-il des corps

`a 30,`a 31,`a 32´el´ements? les d´ecrire.

Exercice 2 :

1.Montrer queF7etF13contiennent chacun des´el´ements d"ordre 6. Combien pour chacun?

2.Quels sont les plus petits corps qui contiennent un´el´ement d"ordre 9?

3. `A quelle conditionFqposs`ede-t-il un´el´ement d"ordren? (une racinen-i`eme de l"unit´e).

2 IRR´EDUCTIBLES

Exercice 3 :

1.Montrer quex7+x+1 est irr´eductible surF2.

Exercice 4 :

On consid

`ere le polynˆomexn1 surFppourp-n.

1.Montrer qu"il est scind´e surFqsi et seulement sinjq1.

2.En d´eduire quexn1 poss`ede un facteur irr´eductible de degr´eksurFp, o`ukest l"ordre depmodulo

n.

Exercice 5 :

Montrer que pgcd(xpnx,xpmx) =xppgcd(m,n)x.

3 FROBENIUS

Exercice 6 :

On consid

`ere le corpsFq, o`uq=pn.

1.Montrer que le Frobeniusfpest d"ordrendans le groupe des automorphismes deFq.

2.En d´eduire le groupe des automorphisme deFqest form´e des puissances defp.

Exercice 7 : Galois

SoitP2Fp[x], etaune racine dePdans une extensionFq.

1.Montrer queapest racine deP

2.On suppose quePest irr´eductible de degr´ek. Montrer quea,ap...apk1sont leskracines distinctes

deP. et que les orbites de la permutation correspondent aux facteurs irr

´eductibles deP.

Exercice 8 :

1.Montrer quexpx1 n"a aucune racine dansFp.

2.Calculer par r´ecurrencexpkmodxpx1.

3.En d´eduire quexpx1 est irr´eductible surFp.

4.Montrer de mˆeme quexqx1 est irr´eductible surFq.

1

4 EQUATIONS

Exercice 9 :

Montrer que dans un corps fini, tout

´el´ement s"´ecrit comme somme de deux carr´es.

Exercice 10 :

On consid

`ere un polynˆomeP=ax2+bx+csurFp, aveca6=0 etp6=2.

1.Montrer quePest scind´e dansFp2.

2.On consid`ere deux racinesa,bdePdansFp2, et on poseD= (ab)2. CalculerDen fonction dea,b,c.

En d

´eduire queD2Fp.

3.Montrer quea2Fpsi et seulement sib2Fp, si et seulement siDest un carr´e dansFp, si et seulement

siDp12 =1 modp.

4.Inversement, montrer quePest irr´eductible si et seulement siDp12

1 modp.

Exercice 11 :

Soientp,q2F4avecq6=0. On consid`ere l"´equationE:x3+px+q=0 surF4.

1.Montrer que l"applicationf:x7!x4+px2+qxest une application lin´eaire duF2-espace vectoriel

F 4.

2.Montrer que les solutions de l"´equationEsont les vecteur non nuls du noyau def.

3.En d´eduire que l"´equation poss`ede 2d1 solutions dansF4, o`ud2f0,1,2gest la dimension de ker(f).

4.Montrer quex3+ax+1 est irr´eductibleF4=F2[a].

5.On consid`ereF8=F2[b]o`ub3=b+1. R´esoudrex3+b=0 dansF8.

5 SOLITAIRE

Exercice 12 :

On consid

`ere le jeu de solitaire, dans lequel le joueur s"efforce de ne lais- ser plus qu"une bille par des

´eliminations suivant une r`egle de saute-

mouton.

On indice les coordonn

´ees des cases dansZ. En notantaun g´en´erateur deF4, on peut pour toute disposition de billes de coordonn´eesx,yfor- mer les sommes

A=å

x,yax+yetB=å x,yaxy.1.Montrer qu"au terme d"un mouvement valide, la pairfA,Bgest conserv´ee.

2.On part de la position o`u seule la bille centrale (x=y=0) est enlev´ee. Que valentAetB?

3.Montrer que dans une position finale la bille restante a des coordonn´ees dans 3Z.

4.Quelles sont les positions finales valides? on peut montrer qu"on les atteint effectivement.

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