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PanaMaths [ 1 - 8 ] Juin 2014

France métropolitaine - Juin 2014 - Série S - Exercice Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés AB , BC et CA On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé ;,,AAB AC AD de l'espace.

1. On désigne par

P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite DF.

On note H le point d'intersection du plan

P et de la droite

DF. a. Donner les coordonnées des points D et F. b. Donner une représentation paramétrique de la droite D F. c. Déterminer une équation cartésienne du plan P. d. Calculer les coordonnées du point H. e. Démontrer que l'angle

EHG est un angle droit.

2. On désigne par M un point de la droite

F et par t le réel tel que

DM tDF

. On note la mesure en radians de l'angle géométrique EMG. Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que soit maximale. a.

Démontrer que 22

355
224
MEtt. b. Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M.

En déduire que

1 sin 2 22ME
c. Justifier que est maximale si et seulement si 2

ME est

minimal. d. Conclure.

PanaMaths [ 2 - 8 ] Juin 2014

Analyse

L'exercice comporte deux parties très distinctes de par le type de questions abordées. Ces deux parties sont très indépendantes l'une de l'autre.

Dans la première partie, on évalue des connaissances élémentaires de géométrie cartésienne

dans l'espace (représentation paramétrique de droite, équation cartésienne de plan, produit

scalaire). Dans la seconde, on traite un problème d'optimisation (ici, recherche de la mesure maximale d'un angle). Ce type de problème est inhabituel dans un exercice de géométrie dans l'espace

et la principale difficulté se situe réellement au niveau de la question 2.c. On notera que les

trois autres questions peuvent être traitées indépendamment de celle-ci.

Résolution

Question 1.a.

Comme AD est le troisième vecteur du repère choisi, il vient immédiatement : 0;0;1D.

Comme F est le milieu du côté

@BC, il vient : 111
222

AFABACABAC

et on en déduit :

11;;022F

Bien sûr, on pouvait immédiatement écrire

1;0;0B et 0;1;0C puis retrouver les

coordonnes de F :

100100;;222F

0;0;1D et

11;;022F

Question 1.b.

Le vecteur

DF est un vecteur directeur de la droite DF et on a :

110; 0;0 122DF

soit

11;;122DF

. On peut alors retenir le vecteur 21;1;2uDF G comme vecteur directeur de la droite

DF. On a alors :

0 ;; / / 0 /

12 12xt xt

Mxyz DF t DM tu t y t t y t

zt zt

PanaMaths [ 3 - 8 ] Juin 2014

On en déduit une représentation paramétrique de la droite DF : 12xt yt t zt

Evidemment, si on a conservé le vecteur

11;;122DF

comme vecteur directeur de la droite DF, on aura obtenu la représentation paramétrique suivante : 1 2 1,2 1xt ytt zt Une représentation paramétrique de la droite

DF est :

12xt yt t zt

Question 1.c.

Comme le plan

P est orthogonal à la droite DF, il admet pour vecteur normal le vecteur

2uDF. On en déduit immédiatement qu'une équation cartésienne de P est de la forme :

20xy zd

où d est un réel à déterminer. Comme le point A, origine du repère, appartient au plan

P, il vient immédiatement :

0020 0d et donc 0d.

Finalement :

Une équation cartésienne du plan

P est :

20xy z

PanaMaths [ 4 - 8 ] Juin 2014

Question 1.d.

;; /12 20xt ytMxyz DF tzt xy z P

On a alors :

121212 12121 2 020 6203

1 3xt xtxt xtytytyt ytztztzt zt tt t xy z tt xyzt

Finalement :

Le point d'intersection de la droite

DF et du plan P est le point

111;;333H

Question 1.e.

Comme le point E est le milieu du segment

AB et comme le vecteur AB

est le premier vecteur du repère choisi, il vient immédiatement

1;0;02E.

Comme le point G est le milieu du segment

CA et comme le vecteur AC

est le deuxième vecteur du repère choisi, il vient immédiatement

10; ;02G.

Il vient alors :

1111;0 ;02333HE, soit : 111;;633HE

Puis :

11 1 10; ;032 3 3HG

, soit

11 1;;36 3HG

Le repère choisi étant orthonormé, on a enfin :

111111 111.06 3 3 6 3 3 18 18 9HE HG

Ainsi, les vecteurs

HE et HG sont orthogonaux. Donc, l'angle

EHG est droit.

L'angle

EHG est droit.

PanaMaths [ 5 - 8 ] Juin 2014

Question 2.a.

A partir de la relation

DM tDF

(ou directement à partir de la deuxième représentation paramétrique obtenue à la question 1.b.), on obtient :

11;;122

Mtt t

Comme on a :

1;0;02E, il vient :

11 1;0 ;0 122 2

MEtt t

, soit :

111; ;122

MEttt D'où, le repère choisi étant orthonormé :

2222222

222 22

11 11111122 44

515 15551112444 44244

355
224

MEttt ttt

tt ttt ttt tt

On a bien :

22
355

224ME t t

Question 2.b.

Comme on :

10; ;02G, il vient

1110; ;01222

MGt t t

, soit :

11;1 ;122

MGt t t

On obtient alors immédiatement, les coordonnées de ME et MG

étant identiques à l'ordre

près : 222
355

224MG ME t t. On en déduit immédiatement :

MGME

Le triangle MEG est isocèle en M.

PanaMaths [ 6 - 8 ] Juin 2014

Puisque la mesure en radians de l'angle géométrique

EMG est notée et que le triangle

MEG est isocèle en M, il vient :

1 2 sin2EG EM , soit

1sin22EM EG.

Il convient donc de calculer EG.

Comme on a :

1;0;02E et 10; ;02G et comme le repère choisi est orthonormé, il

vient : 22
2

11 1111000022 4422EG

Alors :

1111sin22 2222EM EG.

1sin222EM

Question 2.c.

On a

0 et donc 02

Sur l'intervalle

0;2 , la fonction sinus est strictement croissante.

Soit alors

max la valeur maximale de .

Pour toute

différente de max , on a max et donc max 22
puis max sin sin22

Ainsi,

max sin2 est maximal.

Réciproquement, supposons que pour

max , on ait max sin sin22 pour toute différente de max . On en tire alors max 22
et donc max Ainsi max est maximale.

Finalement :

est maximale si, et seulement si, sin2 est maximal.

PanaMaths [ 7 - 8 ] Juin 2014

A la question 2.b. on a vu que l'on avait :

1sin222

EM , soit 11 22
sin2EM En raisonnant comme précédemment mais en tenant compte cette fois du fait que la fonction inverse est strictement décroissante sur , il vient : sin2 est maximal 11 22
sin2EMquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] [PDF] France métropolitaine – Juin 2014 – Série S – Exercice - PanaMaths

PanaMaths [ 1 - 8 ] Juin 2014

1. On désigne par

On note H le point d'intersection du plan

P et de la droite

EHG est un angle droit.

2. On désigne par M un point de la droite

F et par t le réel tel que

DM tDF

Démontrer que 22

En déduire que

ME est

PanaMaths [ 2 - 8 ] Juin 2014

Analyse

Résolution

Question 1.a.

Comme F est le milieu du côté

AFABACABAC

11;;022F

1;0;0B et 0;1;0C puis retrouver les

100100;;222F

0;0;1D et

11;;022F

Question 1.b.

Le vecteur

110; 0;0 122DF

11;;122DF

DF. On a alors :

12 12xt xt

Mxyz DF t DM tu t y t t y t

PanaMaths [ 3 - 8 ] Juin 2014

Evidemment, si on a conservé le vecteur

11;;122DF

DF est :

Question 1.c.

Comme le plan

2uDF. On en déduit immédiatement qu'une équation cartésienne de P est de la forme :

20xy zd

P, il vient immédiatement :

0020 0d et donc 0d.

Finalement :

Une équation cartésienne du plan

P est :

20xy z

PanaMaths [ 4 - 8 ] Juin 2014

Question 1.d.

On a alors :

121212 12121 2 020 6203

Finalement :

Le point d'intersection de la droite

DF et du plan P est le point

111;;333H

Question 1.e.

Comme le point E est le milieu du segment

AB et comme le vecteur AB

1;0;02E.

Comme le point G est le milieu du segment

CA et comme le vecteur AC

10; ;02G.

Il vient alors :

1111;0 ;02333HE, soit : 111;;633HE

Puis :

11 1 10; ;032 3 3HG

11 1;;36 3HG

111111 111.06 3 3 6 3 3 18 18 9HE HG

Ainsi, les vecteurs

EHG est droit.

L'angle

EHG est droit.

PanaMaths [ 5 - 8 ] Juin 2014

Question 2.a.

A partir de la relation

DM tDF

11;;122

Comme on a :

1;0;02E, il vient :

11 1;0 ;0 122 2

MEtt t

111; ;122

2222222