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Dynamique des Solides et des
Structures
5 i`eme´edition octobre 2016Sylvain Drapier
D ´epartement M´ecanique et Proc´ed´es d"ElaborationCentre Science des Mat
´eriaux et des Structures & UMR CNRS 5146
Ecole Nationale Sup´erieure des Mines de Saint-´Etienne158, cours Fauriel
42023 Saint-
´Etienne Cedex 2
bureau J3-15, t´el :00-79
2Introduction g
´en´eraleDans les probl
`emes trait´es dans le cadre de la m´ecaniquestatiquedes solides et des structures, on suppose que le chargement impos´e (d´eplacement, efforts, temp´erature,
...) passe progressivement de sa valeur initiale `a sa valeur finale faisant ainsi passer le milieu sollicit ´e d"une configuration initiale`a sa configuration finale. Les param`etresa calculer (contraintes, d´eformations, d´eplacements, r´eactions, ...) sont relatifs`a l"´etat
final fixe et par cons´equentne d´ependent pas du temps.
Dans le cadre de ladynamiqueau contraire les chargements impos´es, ainsi que les propri ´et´es g´eom´etriques et mat´eriaux, peuventvarier dans le temps. De plus, mˆeme dans la configuration initiale le milieu peut ˆetre caract´eris´e par des fonctions du temps.Les param
`etres`a calculer sont donc´egalement des fonctions du temps, et de nou- velles grandeurs apparaissent pour caract ´eriser lemouvement, c"est-`a-dire la variation de configuration dans le temps. Ce sont les param `etres cin´ematiques tels que lesvi-tesses, lesacc´el´erations, lesfr´equences, ... qui n"existent pas dans le cas de la statique.
Ce document est le support du cours consacr
´e`a ladynamique des corps rigides et
des corps d ´eformables. Ce cours se d´ecompose en 4 grandes parties compl´et´ees par des annexes consacr ´ees aux rappels sur la m´ecanique g´en´erale, la transform´ee de Laplace, et le calcul des variations.Dans la partie 1, apr
`es une introduction de la dynamique des corps, l"exemple le plus simple de syst `eme m´ecanique sera´etudi´e.´A travers cetoscillateur´el´ementaire, les grands types de r ´eponse dynamiques seront mis en´evidence. Le comportement de cette structure discr `ete`a un degr´es de libert´e (ddl) sera´etendu dans la partie 3 aux syst `emes`an ddlen utilisant les r´esultats et m´ethodes introduits dans la partie2 consacr
´ee`a laDynamique analytique des syst`emes discrets. Finalement, le cas des solides d ´eformables sera trait´e dans la partie 4, en utilisant les r´esultats´etablis pour les corps ind ´eformables, compl´et´es par les notions connues dem´ecanique des milieux iii iv continus. La fin de cette partie sera consacr´ee`a l"Approximation des syst`emes continus par des m´ethodes cin´ematiques.
v Visualisation du premier mode propre de vibration d"un mod `ele de Rafale A. LogicielELFINI de Dassault Aviation
Propagation d"une onde de compression dans une barre suite `a un choc`a son extr ´emit´e libre (a et b) et r´eflexion de cette onde (c et d). Logiciel Abaqus. viTable des mati
`eresI Connaissances de base : Rappels et oscillateur´el´ementaire1
1 Introduction
`a la dynamique des structures51.1 Objectif et champ d"application
51.2 Sources d"excitation, r
´eponse des structures. . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Sources d"excitation
61.2.2 R
´eponse des structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Exemples introductifs - Rappels G
´en´eraux9
2.1 Syst
`eme m´ecanique ferm´e - Application`a un syst`eme masse-ressort`a 1 ddl 92.1.1 Mise en
´equation du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 R
´eponse du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Syst
`eme m´ecanique forc´e et ph´enom`ene de r´esonance - Application`a un syst `eme masse-ressort amorti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Mise en
´equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 R
´eponse du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Interpr
´etation physique de la r´esonance. . . . . . . . . . . . 163 Interpr
´etation du comportement de l"oscillateur´el´ementaire193.1 Principe de d"Alembert
193.2 L"oscillateur
´el´ementaire de la dynamique et sa fonction de transfert. 20 3.2.1 ´Equations du mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Fonction de transfert et r
´eponse impulsionnelle. . . . . . . . 20
3.3 R ´eponse g´en´erale de l"oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 ´Etude des r´egimes libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Exemples de r
´egimes forc´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II Dynamique analytique des syst
`emes discrets291 Principe des travaux virtuels
31vii viiiTABLE DES MATI`ERES1.1 Cas du point mat ´eriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2 Les contraintes cin
´ematiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.1 Liaisons holon
ˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.2 Liaisons non-holon
ˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3 Notion de coordonn
´ee g´en´eralis´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Principe de Hamilton -
´Equations de Lagrange39
2.1 ´Energies potentielles et cin´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 ´Enonc´e du principe de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Forme propos
´ee par Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1 Structure de l"
´energie cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.2 Conservationdel"
2.4 Classification des forces g
´en´eralis´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.1 Forces int
´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.2 Forces ext
´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 ´Equations de Lagrange dans le cas g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . 48III Oscillations des syst
`emes`a N degr´es de libert´e531 Concepts de stabilit
´e des´equilibres57
1.1 D ´efinition d"un´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.2 Petites oscillations autour d"une configuration d"
´equilibre. . . . . . . 58
1.3 Stabilit
´e d"un´equilibre param´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.4 Lin
´earisation des´energies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.5 ´Equations des oscillations libres - Lin´earisation du pendule double avec ressort de rappel 612 Modes normaux de vibration
632.1 K et M-Orthogonalit
´e des modes propres. . . . . . . . . . . . . . . . 642.2 Oscillations libres r
´esultant de conditions initiales non-homog`enes. . 662.2.1 Exemple de calcul modal : Pendule double avec masses ponc-
tuelles 672.3 D ´ecomposition modale d"un vecteur quelconque ou d"une matrice. . 69
2.3.1 Exemple : Pendule triple
702.3.2 Exemple de calcul modal : Syst
`eme`a 2 masses et ressorts de rappel 712.4 R ´eponse harmonique forc´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.1 Analyse en l"absence de modes rigides
752.4.2 Application au syst
`eme de 2 masses et ressorts. . . . . . . . 772.4.3 Syst
`eme poss´edant des modes rigides. . . . . . . . . . . . . 79 2.5 R ´eponse`a une sollicitation quelconque ext´erieure. . . . . . . . . . . 80TABLE DES MATI
`ERESix2.6 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.1 Analogie avec l"oscillateur
´el´ementaire. . . . . . . . . . . . 81
2.6.2 Signification physique
822.6.3 Domaine temporel
822.6.4 Application au syst
`eme`a 2 masses + ressorts. . . . . . . . . 83 3 M ´ethodes variationnelles de caract´erisation des valeurs propres853.1 Le quotient de Rayleigh
863.1.1 Recherche it
´erative des modes et valeurs propres. . . . . . . 873.1.2 Application au pendule double avec masses ponctuelles
913.2 Modes et fr
´equences propres de vibration d"un syst`eme soumis`a des contraintes : principe de monotonic 944 Oscillations amorties des syst
`emes`andegr´es de libert´e974.1 Oscillations amorties en terme de modes propres du syst
`eme conser- vatif associ ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 Analyse des syst
`emes amortis visqueux dans l"espace d"´etat. . . . . 100 4.2.1 ´Etude du cas homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.2 ´Etude du cas non homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2.3 R
´eponse`a une excitation harmonique. . . . . . . . . . . . . 102IV Syst
1051
´Equilibre dynamique des milieux continus109
1.1 Principe de Hamilton
1091.2 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.3 Propagation d"ondes dans un milieu
´elastique - Notions de base. . . . 113
1.3.1 ´Equations de Navier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.3.2 Ondes
´elastiques planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151.3.3 Ondes de surface
1162 Vibration des poutres et des barres
1192.1 Introduction
1202.2 ´Equations de la dynamique des poutres droites`a plan moyen. . . . . 122 2.2.1 ´Equilibre`a partir du PPV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2.2 ´Equations de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Barre en extension
1252.3.1 ´Equations de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.3.2 ´Ecriture directe du principe de Hamilton. . . . . . . . . . . 126
2.3.3 Modes et fr
´equences propres de vibration, cas encastr´e-libre. 127 xTABLE DES MATI`ERES2.3.4 Remarque concernant la solution g´en´erale. . . . . . . . . . . 128
2.3.5 R
´eponse d"une barre sollicit´ee`a son extr´emit´e. . . . . . . . . 1292.4 Vibrations transversales d"une corde
1322.4.1 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.4.2 Corde attach
´ee`a ses deux extr´emit´es. . . . . . . . . . . . . . 1342.5 Vibrations libres d"une poutre en flexion simple
1352.5.1 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135