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Algèbre Linéaire
18 décembre 2013
Table des matières
1 Généralités 2
1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Familles libres, génératrices, bases et dimension d"un espace vectoriel 5
1.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Réduction des endomorphismes et des matrices 10
2.1 Stabilité et polynômes d"endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Eléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Réduction en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Exercices et corrigés 16
3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
1 Généralités
Il s"agit d"un rappel de certaines notions d"algèbre linéaire, non pas d"un cours complet sur le sujet.
1.1 Espaces vectoriels
On rappelle ici brièvement les premières définitions.
Le corpsKseraRouCen général.
Définition 1.On appelle espace vectoriel sur le corpsKtout triplet(E,+,.)où : -(E,+)est un groupe abélien (= commutatif). -.est une loi de composition externe à gauche, i.e une application
K×E→E
(λ,x)?→λ.x vérifiant :
1.?x?E,1Kx=x
2.?λ?K,?(x,y)?E2,λ(x+y) =λx+λy
Définition 2.Soit(E,+,.)unK-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel deEtoute partieFdeEstable pour+et.et qui, munie des lois induites, est un
K-espace vectoriel.
Pour démontrer qu"un espace est un sous-espace vectoriel, on utilise en général la caractérisation suivante :
Proposition 1.SoitF?E
Fest un sous-espace vectoriel deE???F?=∅
?(x,y)?F2,?(λ,μ)?K2,λx+μy?F Définition 3.SoitXune partie deE. On appelle sous-espace vectoriel deE engendré parX(on le noteVect(X)) le plus petit espace vectoriel contenantX. On pourra vérifier la maîtrise de cette définition en résolvant l"exercice 1 par exemple. 2 Définition 4.SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d"un même espace vec- torielE. On appelle somme deFetGet on noteF+G
F+G={x+y,(x,y)?F×G}
L"application somme
F×G→F+G
(a,b)?→a+b est surjective par définition. Lorsqu"elle est injective, on dit queF+Gest directe ou queFetGsont en somme directe. Dans ce cas, on noteF+G=F?G.
On dit queFetGsont supplémentairessi
F+G=F?G=E
Proposition 2.
F+G=F?G??F?G={0}
F?G=E???
?E=F+G
F?G={0}
Pour se familiariser avec ces différentes notions, les exercices 2 et 3 sont vive- ment conseillés. Remarque.(a) Il n"y a pas (en général) unicité du supplémentaire : R
2= Vect{(1,0)} ?Vect{(0,1)}= Vect{(1,0)} ?Vect{(1,1)}
(b) Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire : R
2= Vect{(1,0)} ?Vect{(0,1)}mais(1,1)/?Vect{(1,0)}?Vect{(0,1)}
3
1.2 Applications linéaires
Définition 5.On appelle applicationK-linéaire deEversFtoute application f:E→Fvérifiant : ?(x,y)?E2,?(λ,μ)?K2,f(λx+μy) =λf(x) +μf(y) On noteLK(E,F)l"ensemble de ces applications. SiE=F, on le noteLK(E)et ces applications sont appelées endormorphismes. Lorqu"il n"y a pas de confusion possible, on omet souvent le corps de base pour alléger la notation.
Exemples :(a)IdE? LK(E)
(b) f:R→Rappartient àLK(R) x?→ax (c) f:C→Cappartient àLR(C)mais n"appartient pas àLC(C) z?→z (d)E=C∞(R)
D:E→Eappartient àLR(E)
f?→f? Définition 6.Sif? L(E,F), l"image def, notéef(E)ouImf, est un sous-espace vectoriel deF. Il en est de même pour le noyau def, notékerfet défini par kerf={x?E|f(x) = 0}
Proposition 3.
fest surjective??Imf=F fest injective??kerf={0} Définition 7.On noteGL(E)l"ensemble des isomorphismes (endomorphismes bijectifs) deE. Cet ensemble forme alors un groupe pour la loi de composition. Définition 8.On appelle forme linéaire surEunK-espace vectoriel toute ap- plication linéaire deEdansK. On noteE?=LK(E,K)l"ensemble de ces formes linéaires, autrement appelé l"espace dual deE. Définition 9.On appelle hyperplan deEtout noyau d"une forme linéaire non identiquement nulle surE. Remarque.On verra après avec la notion de dimension que cette définition d"hy- perplan rejoint bien en dimension finie celle d"un espace de dimensionn-1. 4
1.3 Familles libres, génératrices, bases et dimension d"un
espace vectoriel Définition 10.Soit(vi)i?Iune famille de vecteurs deE.
1. La somme
?λivi, où{λi?= 0}est fini, est appeléecombinaison linéaire (C.L) des{vi}.
2. On dit que les vecteursv1,...,vksontlinéairement indépendantsou
encore qu"ils forment unefamille libresi , pour tousλ1,...,λkdansK, on a l"implication
1v1+...+λkvk= 0?λ1=λ2=...=λk= 0.
3. On dit au contraire que les vecteursv1,...,vksontlinéairement dépen-
dantsou encore qu"ils forment unefamille liées"il existeλ1,...,λkdans
Ktels que :
1v1+...+λkvk= 0et(λ1,...,λk)?= (0,...,0).
4. Les vecteursv1,...,vkengendrentE, ou encore forme unefamille gé-
nératricedeEsi pour toutv?E, il existex1,...,xkdansKtels que v=x1v1+...+xkvk. Autrement ditVect(v1,...,vk) =E.
5. Une famille libre et génératrice est appelé unebasedeE.
Exemples :(a) Toute famille formée d"un unique vecteur non nul est libre. (b) Toute famille dont l"un des vecteur est nul est liée. (c)(1,i)est libre dans leR-espace vectorielC, mais liée dans leC-espace vectoriel C. (d) DansKn, posonsej= (0,...,0,1,0,...,0)avec le1enj-ème position. Alors les{ej}j=1...nforment une base, appelée la base canonique deKn. (e)(1,X,...,Xn)est la base canonique deKn[X]. Remarque.On a défini ces notions dans le cadre de famille finie, mais on peut aussi le faire pour des familles infinies. Une famille est dite libre si toute sous-famille finie l"est. Elle est génératrice lorsque tout élement peut s"exprimer comme une combinaison linéaire finie de ses élements. On peut par exemple se convaincre que (Xk)k>0est une base (infinie) deK[X]. Théorème 1.S"il existe une base deEde cardinaln <∞, toutes les bases deE ont ce même cardinaln, qu"on appelle alors la dimension deE. Dans ce cas,E est un espace de dimension finie. 5 Remarque.(i) La compréhension des familles libres ou génératrices et des bases est extrêmement importante car ce sont des outils très utilisés en algèbre linéaire. En effet, si on connaît une application linéaire sur une base, on la connaît sur l"espace entier (grâce à la linéarité de la fonction et au caractère générateur de la base). C"est pour cette raison que les applications linéaires peuvent être représentées dans un tableau de taille finie, qu"on appellera une matrice. (ii) Tout espace vectoriel admet des bases. (iii) En dimension finie, on peut compléter une famille libre en une base comme on peut extraire une base d"une famille génératrice. Il s"agit du théorème de la base incomplète. Théorème 2(de la base incomplète).Toute famille libre de vecteurs deEpeut être complétée en une famille libre et génératrice (i.e une base) deE. Inverse- ment, de toute famille génératrice deE, on peut extraire une sous-famille libre et génératrice. On peut s"entraîner à manipuler ces définitions pour démontrer les propriétés suivantes sur la dimension : Proposition 4.1. Soientn>2,E1,...,EndesK-espaces vectoriels de di- mension finie, alors?ni=1Eiest un espace vectoriel de dimension finie et dim n i=1E i=n i=1dimEi
2. SiEest de dimension finie etFun sous-espace vectoriel deE, alorsdimF6
dimEavec égalité si et seulement siF=E.
3. SiEest de dimension finie etFun sous-espace vectoriel deE, alorsF
admet au moins un supplémentaire dansEet pour tout supplémentaireGde
FdansE,
dimG= dimE-dimF
4.[Théorème de Grassman]SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels deE
de dimension finie, alors dim(F+G) = dimF+ dimG-dim(F?G) Remarque.(a) On utilise très souvent le fait queF?EetdimF= dimEpour conclure queF=E. Voir l"exercice 10 par exemple. (b) On rappelle qu"il n"y a pas en général unicité du supplémentaire. Voir l"exercice 3. 6 (c) On peut tout de suite déduire du théorème de Grassman
E=F?G??dimF+ dimG= dimEetF?G={0}
(d) SiFetGsont supplémentaires et sib?est une base deF,b??une base deG, alorsb=b??b??est une base deF?G. Voir l"exercice 12. Proposition 5.DeuxK-espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s"ils ont la même dimension. Définition 11.1. On appellerang d"une famille de vecteursla dimension de l"espace vectoriel qu"il engendre (Rg(F) = dimVect(F)).
2. On appellerang d"une applicationla dimension de son image (Rg(f) =
dimImf). Cela nous permet d"arriver auThéorème du rang, très utile en algèbre li- néaire. Théorème 3.SoitEun espace vectoriel de dimension finie, etFun espace vec- toriel de dimension quelconque. Sif? L(E,F), alors
Rg(f) + dimkerf= dimE
Ce théorème fondamental a par exemple pour conséquence immédiate la pro- priété bien connue suivante : Proposition 6.SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie vérifiant dimE= dimF. Sif? L(E,F), alors fest injective??fest surjective??fest bijective Remarque.L"équivalence n"est pas vraie en dimension infinie. Par exemple, l"ap- plication dérivée sur l"espace des polynômes est surjective, mais pas injective. La multiplication parXsur ce même espace est injective, mais pas surjective. 7
1.4 Matrices
Dans ce paragraphe, on travaille dans des espaces de dimension finie. Définition 12.Soientf? L(E,F),B= (e1,...,en)une base deEetB?= (f1,...,fm)une base deF. Sif(ej) =? iaijfi, alorsA= (aij)?Mmn(K)est la matrice defrelativement aux basesBetB?, que l"on noteMB,B?(f). De plus, l"application qui à toute application linéaire associe sa matrice est un isomorphisme. Remarque.- Sixetysont des vecteurs, de vecteurs colonnes associésXetY, etfune application linéaire de matriceA, on a l"équivalence entrey=f(x) etY=AX. - L"image, le noyau et le rang d"une matrice sont ceux de l"application linéaire canoniquement associée àf. Le rang deAest aussi le rang de sa famille de vecteurs colonnes (ou lignes). - Dans le cas des matrices carrées (dimE= dimF),fest un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible (la matrice de son inverse est alors l"inverse de sa matrice). L"ensemble des matrices inversibles forme alors un groupe pour la multiplication, que l"on noteGLn(K). - On a l"équivalence entre : (i)Aest inversible (ii) La transposée deA(tA= (Aji)) est inversible (iii) Les vecteurs colonnes (ou les vecteurs lignes) deAsont linéairement indépendants (iv)Rg(A) =n (v)detA?= 0 - On a aussi l"égalité entre le rang deA, celui de sa transposée, et celui la famille formée des ses vecteurs lignes ou colonnes. Définition 13.Pour(i,j)?J1,mK×J1,nK, on définit la matriceEijpar [Eij]kl=δikδjl oùδest le symbôle de Kronecker. Autrement dit, cette matrice a un1en position i,jet des0partout ailleurs. Proposition 7.LesEijforment une base (qu"on appelle canonique) deMm,n(K), ce qui en fait un espace de dimensionmn. Par isomorphisme, on a aussi dimL(E,F) = dimE×dimF 8 Remarque.En particulier,dimE?= dimE. D"ailleurs, si(e1,e2,...,en)est une base deE, la famille(e?1,e?2,...,e?n)dont les éléments sont définis pare?i(ej) = i,jest une base deE?appelée labase dualede(e1,e2,...,en). Il s"agit des applications coordonnées relatives à la base initiale. Changements de bases :Lamatrice de passage deBàB?, notéePB?
Best la matrice représentative
de l"application identité, deE(muni de la baseB?) dansE(muni de la baseB). Autrement dit, on peut voir comme étant " la décomposition deB?dansB». D"ailleurs il est parfois plus simple de visualiser ainsi : P B?
B= (B?)B
On a d"ailleurs
(PB?
B)-1= ((B?)B)-1= (B)B?=PBB?
Sif? L(E,F),BetB?bases deE,CetC?bases deF, alors on a : M
B?,C?(f) = (C)C?MB,C(f)(B?)B
=PCC?MB,C(f)PB? B
En particulier, en posantP= (B)B?, on a
M
B?,B?(f) = (B)B?MB,B(f)(B?)B
=PMB,B(f)P-1 Pour s"entraîner à manipuler ces changements de bases, on pourra réfléchir à l"exercice 18. 9
2 Réduction des endomorphismes et des matrices
2.1 Stabilité et polynômes d"endomorphisme
Définition 14.On dit queFsous-espace vectoriel deEest stable paru? L(E) siu(F)?F, ce qui permet de définir l"endomorphisme induituF? L(F). La philosophie de la réduction est justement de trouver des espaces stables les plus petits possibles, afin de réduire ainsi l"étude. Par exemple, si on parvient à écrireEcomme la somme directe d"espaces stables parualors sa représentation matricielle est immédiatement diagonale par blocs dans une base adaptée. En effet, siE=F?GavecF,Gstables paru, avecb?une base deFetb??une base deG, on a (u)b??b??=?(uF)b?0
0 (uG)b???
Exemple :?(u,v)? L(E)2qui commutent (u◦v=v◦u), alorskervetImv sontu-stables. Définition 15.Pour tout polynômeP=?dk=0akXk?K[X], siu? L(E), on définit
P(u) =d
k=0a On définit de la même manière le polynôme d"une matrice. On pourra pour s"entraîner en calculantP(M)pourP= (X2-X)2etM=?1 1 0 1? Le lemme suivant, dit des noyaux, a une importance théorique considérable. Lemme 8.Soitu? L(E),?P1,...,Pn?K[X]premiers entre eux deux à deux, alors posantP=?Pi, on a ker(P(u)) =?i=1...nker(Pi(u)) Définition 16.On appelle polynôme annulateur deu? L(E)toutP?K[X]tel queP(u) = 0. L"ensemble de ces polynômes est un idéal, qui est donc principal et non nul lorsqueEest de dimension finie (cf. exercice 22). On appellePolynôme minimaldeuson générateur unitaire.
Exemples :10
-X2-Xannule les projecteurs. -X2annule?0 1 0 0? - Dans l"exemple ci-dessus laissé en exercice, on devait trouverP(M) = 0. 11
2.2 Eléments propres
Définition 17.1. On appellevaleur propretout scalaireλtel que ?x?= 0,u(x) =λx On notevp(u)l"ensemble des valeurs propres distinctes deu.
2. On appellevecteur propretoutx?= 0tel que?λ,u(x) =λx.
3.(λ,x)est alors appelé uncouple propre, etker(u-λid)lesous-espace
propreassocié àλ, souvent notéEλ(u).
Remarque.
λvaleur propre deu??u-λidnon injectif(??u-λidnon bijectif) La deuxième égalité n"est vrai qu"en dimension finie, et en dimension infinie, on fera alors la différences entre valeur propre et valeur spectrale. Mais cela ne nous concerne pas ici. Proposition 9.Tout sous-espace propre deuestu-stable; de plus les sous-espaces propres sont deux à deux en sommes directes (pour des valeurs propres distinctes). Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux dis- tinctes est libre. En particulier
λ?vp(u)E
λ(u) =?λ?vp(u)Eλ(u)
mais cette somme n"est pas toujours égale àE. Si on se souvient de ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, on comprend ici tout l"intérêt des éléments propres. Proposition 10.SoitP?K[X]Siλest une valeur propre deu,P(λ)est une valeur propre deP(u)et E
λ(u)?EP(λ)(P(u))
Corollaire 1.Siλest valeur propre deuetPest un polynôme annulateur deu, alorsP(λ) = 0 Cela justifie qu"on s"intéresse aux polynômes annulateurs lorsqu"on recherche des éléments propres. On définit de même les éléments propres des matrices carrés (grâce à l"analogie endomorphisme-matrice). 12
2.3 Polynôme caractéristique
Définition 18.?u? L(E),Ede dimensionn >0(respectivement?A?Mn(K)), on définit lePolynôme caractéristiqueparχu(λ) = det(λId-u)(respective- mentχA(λ) = det(λId-A)). Remarque.On rencontre souvent la définitiondet(u-λId). Ces définitions ne diffèrent que de(-1)net comme on va principalement s"intéresser aux racines du polynôme caractéristique, cela n"a aucune importance.
Théorème 4.
λvaleur propre deu??λracine deχu
On trouvera la démonstration de ce théorème dans l"exercice 17. Donnons désormais l"énoncé du fondamentalThéorème de Cayley-Hamilton Théorème 5.χuest un polynôme annulateur deu. Remarque.Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Définition 19.Soitλune valeur propre deu. On appelle multiplicité (algébrique) deλsa multiplicité en tant que racine deχu. Les deux propositions suivantes montrent à nouveau l"intérêt pour la réduction de connaître des sous-espaces stables. Proposition 11.Soitu? L(E)etFun sous-espace vectoriel deE. Alors, siF est stable paru,χuFdiviseχu. Proposition 12.SiE=?i=1...pEiavec lesEistables paru, alors u=p i=1χ uEi 13
2.4 Réduction en dimension finie
Définition 20.On dit queu? L(E)estdiagonalisables"il existe une basebde Etelle que[u]b(la matrice deudansb) soit diagonale. Théorème 6.Soitu? L(E). Les propositions suivantes sont équivalentes : (i)uest diagonalisable (ii) il existebbase deEconstituée de vecteurs propres deu (iii)E=?λ?vp(u)Eλ(u) Théorème 7.Une condition nécessaire (mais largement insuffisante) pour queu soit diagonalisable est queχusoit scindé. ExempleOn peut facilement se convaincre que le polynôme caractéristique de ?0 1 0 0? est scindé, bien qu"elle ne soit pas diagonalisable. Théorème 8.uest diagonalisable si et seulement siχuest scindé et (avecα(λ) la multiplicité deλ) : ?λ?vp(u),dimEλ(u) =α(λ)
Proposition 13.Siλest valeur propre deu, on a
16dimEλ(u)6α(λ)
Corollaire 2.Siχuest simplement scindé,uest diagonalisable. Théorème 9.uest diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme an- nulateur simplement scindé (ou scindé à racines simples, c"est-à-dire produit de polynômes de degré1dont les racines sont deux à deux distinctes). Remarque.Ainsi,uest diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est simplement scindé. Corollaire 3.Soitu? L(E)etFun sous-espace stable paru, alors siuest diagonalisable,uFl"est aussi. La meilleure manière de bien comprendre cette théorie de la diagonalisation des endomorphismes ou des matrices est de manipuler ces différentes notions. On conseille pour cela les exercices...
Terminons brièvement par la trigonalisation.
Définition 21.On dit queu? L(E)esttrigonalisablesi il existebune base de
Etelle que[u]bsoit triangulaire supérieure.
14
Théorème 10.
uest trigonalisable??χuest scindé ??il existe un polynôme annulateur scindé deu Remarque.En particulier, toute matrice complexe est trigonalisable (tout poly-quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
[PDF] Espaces vectoriels - Licence de mathématiques Lyon 1