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L"espérance mathématique d"une va-riable aléatoire
1 Les variables aléatoires étagées.
DéfinitionSoit(
;A;P)un espace de probabilité. Désignons parEl"ensemble de toutes les variables aléatoires réelles étagées définies sur :A tout élémentXde Enous associons un nombre appeléespérance mathématique deX, noté IE(X), et défini ainsi: si la loi deXest PX=p1a1++pNaN;
alorsIE(X) =p1a1++pNaN:
En fait,Eest un espace vectoriel etX7!IE(X)est une forme linéaire positive dessus, comme le montre le théorème suivant: Théorème5.1 (Linéarité et positivité de l"espérance)SiXetYsont des v.a. étagées sur
alorsX+Y, pour des réelset, est en- core une v.a. étagée. De plus IE(X+Y) =IE(X)+IE(Y). Enfin IE(X)IE(Y) siXY:DémonstrationIntroduisons les lois deXetY:
PX=p1a1++pNaN; PY=q1b1++qMbM;
notonsX1(faig) =Ai,Y1(fbjg) =BjetCij=Ai\Bjetrij=P(Cij):La matrice(rij)a pour somme des lignes le vecteur ligne(q1;:::;qM)et pour somme des colonnes le vecteur colonne t(p1;:::;pN):Les valeurs prises parZ=X+Ysont lescij=ai+bjet commeZ1(fcijg) =Cij2 A;on en déduit queZest aussi une v.a. Sa loi est P Z=X ijr ijcij; et est donc d"espéranceIE(Z) =X
ijr ijcij=X ijr ij(ai+bj) = X ia iX jr ij+X jb jX ir ij=IE(X) +IE(Y):www.Les-Mathematiques.netQuant à l"inégalité, il suffit d"observer que IE(XY)0par définition de l"espé-
rance et d"appliquer ensuite la linéarité qu"on vient de démontrer. Définition Variable aléatoire de Bernoulli.Un exemple particulièrement simpleet important de v.a étagée est celui oùXne prend que les valeurs 0 et 1, c"est à dire où
la loi deXest PX= (1p)0+p1;
oùp2[0;1]. Sa loi est appelée uneloi de Bernoulli.pest appelé leparamètre de la loi de Bernoulli. PropositionL"espérance d"une loi de BernoulliXde paramètrepestp. SiXest définie sur l"espace de probabilité( ;A;P), soitA=f!;X(!) = 1galorsX=1A est l"indicateur deA, et on a doncIE(1A) =P(A):
Inversement, un indicateur a toujours une loi de Bernoulli. Nous allons utiliser le théorème précédent et les indicateurs pour terminer la dé- monstration du théorème 3.2. On veut donc montrer que siBj2 Aj=f;;Aj;Acj; g et si lesAjsont indépendants, alorsP(\Nj=1Bj) =NY
j=1P(Bj): On le montre en remarquant d"abord que dans les 4 cas possibles pourBj, il existe deux nombresajetbjtels que 1Bj=aj+bj1Aj;
on prend en effetaj=bj= 0siBjest vide,aj= 1,bj= 0siBjest plein,aj= 0, b j= 1siBj=Aj,aj= 1,bj=1siBj=Acj:D"où le calcul:P(\Nj=1Bj) =IE(NY
j=11Bj) =IE(NY
j=1(aj+bj1Aj)) =IE[X I(Y j2Ica j)(Y j2Ib j1Aj)] = X I(Y j2Ica j)(Y j2Ib j)IE(Y j2I1Aj) =X
I(Y j2Ica j)(Y j2Ib j)P(\j2IAj) = X I(Y j2Ica j)(Y j2Ib j)(Y j2IP(Aj)) =NY j=1(aj+bjP(Aj)) =NY j=1IE(1Bj) =NY j=1P(Bj):Dans cette chaîne de 9 égalités, la première, la cinquième et les 2 dernières s"ap-
puient sur le fait que l"espérance de l"indicateur est la probabilité, la deuxième sur la définition desajetbj, la troisième et la septième sur un développement algébrique;enfin, surtout, la quatrième s"appuie sur le théorème précédent et la sixième sur l"indé-
pendance desAj.2 G Letac www.Les-Mathematiques.net2 Espérance d"une variable aléatoire quelconque. Toutes les variables aléatoires ne sont pas étagées, mais toutes sont approchables par des v.a. étagées, et cela va permettre de définir l"espérance d"une v.a. quelconque. Plus précisément, on a le théorème suivant:Théorème5.2 Soit(
;A;P)un espace de probabilité, etX: !IR une variablealéatoirepositive. Alors1.Il existe une suite croissante de v.a. étagées(Xn)telleX= limn!+1Xn:2.Si la suite(Xn)ci dessus est telle que IE(Xn)soit bornée, alors le nombre
lim n!+1IE(Xn) =IE(X) ne dépend que deXet non de la suite particulière(Xn), dans le sens que si(X0n) a les propriétés demandées à(Xn)au 1), alors la suite IE(X0n)a la même limite. IE(X)est l"espérancede la variable aléatoire positiveX.3.SiYest une autre v.a positive sur( ;A;P)telle queE(Y)existe, et sietsont des nombres0;alors IE(X+Y)existe et est égale àIE(X)+IE(Y).4.Si0XYet si IE(Y)existe, alors IE(X)existe et IE(X)IE(Y):5.SiX0, alors IE(X) = 0si et seulement si la loi deXest la probabilité de
Dirac en 0.
Nous omettons la démonstration, bien que celle ci ne soit pas difficile. Il faut insis- ter sur le fait que l"espérance de cette v.a. positive n"existe pas toujours. Ce théorème définit donc IE(X)pour des v.a positives. Pour passer au cas d"une v.a de signe quelconque, voici la démarche à suivre: DéfinitionOn considère une v.a.Xdéfinie sur( ;A;P)et on écrit cette fonction de!2 comme différence de deux fonctions positivesX=X+X;oùa+signifie max(a;0)eta= (a)+(rappelonsquecelaimpliquea=a+aetjaj=a++a): DoncjXj=X+X. On dira que IE(X)existe si, au sens du théorème 5.2, l"es- pérance dejXjexiste. Dans ces conditions, d"après le 2) du théorème 5.2, IE(X+)et IE(X)existent, et on définit l"espérance deXpar IE(X) =IE(X+)IE(X): On a alors l"importante extension du théorème de linéarité et de positivité:Corollaire5.3 Soit(
;A;P)un espace de probabilité, soitL1l"ensemble des va- riables aléatoiresXsur cet espace telles que IE(X)existe (ou, de façon équivalente, telles que IE(jXj)soit finie). AlorsL1est un espace vectoriel etX7!IE(X)est une forme linéaire surL1, telle que de plus IE(X)IE(Y)siXY: Appliquons cela à deux cas particuliers importants, celui oùXest discrète et posi- tive et celui où la loi deXa une densité.3 G Letac www.Les-Mathematiques.netProposition5.4 SoitXune v.a discrète avec P X=1X j=1p jaj où P1 j=1pj= 1:Alors l"espérance deX,E(X)existe si et seulement si la sérieP1 j=1pjajest absolument convergente. S"il en est ainsi, alorsIE(X) =1X
j=1p jaj: DémonstrationMontrons le d"abord si lesansont positifs ou nuls. Alors puisque X=P1 j=1aj1Aj, où les évènementsAj=fX=jgsont deux à deux disjoints dans , il suffit de considérer la v.a. étagéeXn=Pn j=1aj1Aj;qui est nulle sur1j=n+1Aj, et qui définit une suite ayant les propriétés requises au théorème 5.2. Le
résultat est alors clair. Si lesanne sont pas positifs on écritan= (an)+(an)et les deux sériesP1 j=1pj(aj)+etP1 j=1pj(aj)convergent si et seulement siP1 j=1pjajest absolu- ment convergente. Cela permet de conclure facilement. Proposition5.5 Supposons que la loi de la v.a.Xait une densitéfavec un nombre fini de points de discontinuitésa1< ::: < aN:Alors l"espérance deX,E(X)existe si et seulement siR11xf(x)dxest absolument convergente. S"il en est ainsi, alors
IE(X) =Z
1 1 xf(x)dx: DémonstrationContentons nous de donner les idées de la démonstration quandX est positive et quand sa densitéfest continue. L"extension aux hypothèses du théorème sera alors standard. On découpe[0;n]enn2nintervalles égaux par les pointsxk=k2n, aveck= 0;1;:::;n2n, on convientxn2n+1= +1et on définit la variable aléatoire étagéeXn=xkquandxkX < xk+1:Ceci est bien une suite croissante et on a bienlimn!+1Xn=X. SiR10xf(x)dxconverge, notons
D n=Z 1 0 xf(x)dxIE(Xn) =n2nX k=0Z xk+1 x k(xxk)f(x)dx:Soit >0:Il existe un entierAtel queR1
Axf(x)dx:Soit alorsKtel quexK=A
et soitFla fonction de répartition deX. On partage alorsDnen deux sommesAnet B n, avec A n=n2nX k=KZ xk+1 x k(xxk)f(x)dx2Z +1 A xf(x)dx2;4 G Letac www.Les-Mathematiques.netBn=K1X k=0Z xk+1 x k(xxk)f(x)dx=Z A 0F(x)dx+K1X
k=0(xk+1xk)F(xk+1); la dernière égalité étant obtenue par intégration par parties en posantu= (xxk) etv0=f:Notons que les symbolesxKetKsont des fonctions den. Sintend vers l"infini,(Bn)tend vers zéro, comme suite des différences entre une intégrale et les sommes de Riemann de cette intégrale. On voit donc que(Dn)tend vers 0. Le cas oùR10xf(x)dxdiverge est similaire.
Exercices sur 5.21.Calculer l"espérance d"une variable aléatoire de loi 1 X n=14n(n+ 1)(n+ 2)n:2.Pour quelles valeurs dea >0la variable aléatoireXayant pour fonction de répartitionFX(x) = 11(1+x)asi x>0, etFX(x) = 0six0;possède-t-elle une espérance?3 Théorème du transport.
Il arrive souvent qu"on ait besoin de calculer, non l"espérance de la variable aléa- toireX, mais l"espérance d"une fonctionY=g(X)de celle ci. Si on applique la définition de l"espérance, cela suppose qu"on calcule la loi deY, ce qui peut être très incommode. Le résultat suivant simplifie ce problème. ;A;P): Soitx7!y=g(x)une fonction mesurable de IR dans IR:SiXest étagée ou discrète et de loi P X=X j1p jaj; alors l"espérance de X, IE(g(X))existe si et seulement si X j1p jg(aj) converge absolument et dans ce cas IE(g(X))est égale à cette somme.5 G Letac www.Les-Mathematiques.netSiXa une densitéf, alors de même IE(g(X))existe si et seulement si Z 1 1 g(x)f(x)dx DémonstrationOn montre d"abord le résultat quandXest étagée, puis quandX est positive en appliquant la définition de l"espérance d"une variable aléatoire positive, et on passe facilement au cas oùXest de signe quelconque. Exercices sur 5.31.Soit une variable aléatoireXde densité12exp(jxj):Soitzun nombre réel et soitg(x) = exp(zx):Pour quelles valeurs dez Y=g(X)a-t-elle une espé-rance? La calculer quand elle existe.2.Xune variable aléatoire de densité121[1;1](x)et soitY= tan(2X):Etudier
de deux manières l"existence éventuelle de IE(Y) :soit à l"aide du théorème du transport, soit en calculant la densité deY: pour cela, écrire d"abord la fonction de répartition deYpuis dériver.