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MESURES DE DISPERSION ET DE FORME 49

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- Jt 2021 Chapitre 4: Mesures de dispersion et mesure de forme

Le statisticien est un homme qui, ayant les pieds

dans un four et la tête dans une armoire frigorifique, se considère comme, en moyenne, à la bonne température!

Introduction

Le chapitre précédent a été consacré à l'étude des mesures de tendance centrale. Elles indiquent autour de quelle valeur se situent les données, mais ne donnent pas une description suffisante de la variable statistique. Par exemple, si on désire comparer les 2 groupes d'élèves proposés dans les diagrammes ci-dessous: x =...... x =...... Mais pourtant, les 2 distributions ne sont pas identiques. Les distributions peuvent être comparées à une douche. Si elle est en position " jet étroit », presque toute l'eau est concentrée sur un seul point, c'est-à-dire le jet n'arrose pratiquement que la valeur moyenne. Si la douche est en position " pluie », l'eau est dispersée plus largement : il y a de grands écarts par rapport à la moyenne. 1 Pour mettre en évidence cette différence, il faut mesurer la dispersion des données autour de cette mesure de tendance centrale. Nous allons étudier quelques mesures de dispersions. 1 Illustrations de Peter Fejes : Statistiques (les stats en bulles) / Pearson Education

50 CHAPITRE 4

3OCMath

- Jt 2021

§4.1 Les mesures de dispersion absolue

L'étendue:

L'étendue d'une variable discrète est la différence entre la plus grande et la plus petite modalité. Il n'y a pas de notation particulière pour l'étendue. L'étendue d'une variable continue est la différence entre la borne supérieure de la dernière classe et la borne inférieure de la première classe.

L'écart moyen:

L'écart moyen EM est la moyenne pondérée des valeurs absolues des écarts à la moyenne: EM=1 Nn i x i x i=1k =f i x i x i=1k Question: Pourquoi doit-on considérer cette valeur absolue ? Ne pourrait-on pas définir une mesure de dispersion par f i x i x () i=1k

L'écart interquartile:

L'écart interquartile est l'écart entre le 1 er et le 3

ème

quartile: Q = Q 3 - Q 1

La variance:

La variance

2 d'une variable statistique est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne: 2 =1 Nn i x i x 2 i=1k =f i x i x 2 i=1k

L'écart-type:

L'écart-type est la racine carrée de la variance: = 2

Exercice 4.1:

En reprenant la situation d'introduction:

Calculer les différentes mesures de dispersion.

MESURES DE DISPERSION ET DE FORME 51

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- Jt 2021

Modèle 1:

V.S quantitative discrète

Alain qui est gardien de but de l'équipe de hockey de son école, note évidemment le nombre de buts encaissés à chaque match. Il a résumé sa dernière saison dans le tableau ci-dessous: x i n i f i F i f i x i

0 5 0,093 0,093 0,000 0,244 0,638

1 12 0,222 0,315 0,222 0,359 0,582

2 14 0,259 0,574 0,518 0,160 0,099

3 8 0,148 0,722 0,444 0,056 0,021

4 7 0,130 0,852 0,520 0,180 0,248

5 4 0,074 0,926 0,370 0,176 0,420

6 2 0,037 0,963 0,222 0,125 0,423

7 1 0,019 0,982 0,133 0,083 0,365

10 1 0,019 1 0,190 0,140 1,035

TOTAUX 54 1 2,619 1,523 3,831

Calculer les mesures de dispersion de cette distribution.

Exercice 4.2:

La compagnie TEHOU a révélé les chiffres des absences de ses employés syndiqués pour le mois dernier:

Nombre de jours

d'absence

Nombre

d'employés 0 36 1 42 2 20 3 11 4 3 5 2 12 1 a) Calculer l'étendue, l'écart moyen et l'écart interquartile. b) Calculer la proportion des employés ayant manqué plus de deux jours de travail. Indication: la fonction = abs(...) d'OpenOffice permet de calculer la valeur absolue d'un nombre.

52 CHAPITRE 4

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Modèle 2:

V.S quantitative continue

Le magasin de vêtements ROBA étudie depuis 90 jours ses ventes de jupes. Les données recueillies ont été regroupées en classes: [b i-1 ; b i [ x i n i f i F i f i x i [12 ; 16[ 14 5 0,056 0,056 0,778 0,711 9,102 [16 ; 20[ 18 11 0,122 0,178 2,200 1,076 9,465 [20 ; 24[ 22 16 0,178 0,356 3,911 0,853 4,096 [24 ; 28[ 26 21 0,233 0,589 6,067 0,187 0,149 [28 ; 32[ 30 15 0,167 0,756 5,000 0,533 1,707 [32 ; 36[ 34 12 0,133 0,889 4,533 0,960 6,912 [36 ; 40[ 38 8 0,089 0,978 3,378 0,996 11,150 [40 ; 44[ 42 2 0,022 1 0,933 0,338 5,134

TOTAUX : 90 1 26,8 5,653 47,716

Calculer les mesures de dispersion de cette distribution.

Exercice 4.3:

André a pris en note le coût de son marché hebdomadaire pendant 50 semaines. Il a regroupé ses données en classes :

Coût en Euros Nombre de semaines

[40 ; 50[ 1 [50 ; 60[ 2 [60 ; 70[ 4 [70 ; 80[ 6 [80 ; 90[ 23 [90 ; 100[ 7 [100 ; 110[ 4 [110 ; 120[ 2 [120 ; 130[ 1 a) Calculer l'étendue, l'écart moyen et l'écart interquartile. b) Calculer la proportion des marchés dont le coût excède 100 €.

MESURES DE DISPERSION ET DE FORME 53

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- Jt 2021

Exercice 4.4:

Calculer la variance et l'écart-type.

Modalités Effectifs

25 4
30 8
35 11
38 15
41 18
52 12
55 7
60 5

Formule de Koenig:

Samuel Koenig

mathématicien allemand (1712-1757) Nous venons de calculer des écarts-types en nous référant à la définition. Cependant, ce calcul risque de devenir laborieux si la moyenne n'est pas un nombre entier : on a à traiter des "écarts à la moyenne" non entiers avec d'inévitables arrondis, d'où des calculs lourds et forcément peu précis. Pour alléger ces calculs, on utilise plutôt une des formules suivantes: 2 =f i x i x 2 i=1k est "remplacé" par 2 =f i x i2 i=1k x 2 2 =1 Nn i x i x 2 i=1k est "remplacé" par 2 =1 Nn i x i2 i=1k x 2 la variance = la moyenne des carrés - le carré de la moyenne

Preuve:

On ajoute au tableau de distribution des effectifs la colonne des termes f i x i2 en lieu et place des termes f i x i x () 2 et on applique la formule de Koenig.

54 CHAPITRE 4

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Modèle 3:

En reprenant le modèle précédent:

[b i-1 ; b i [ x i n i f i F i f i x i f i x i2 [12 ; 16[ 14 5 0,056 0,056 0,778 0,711 9,102 10,889 [16 ; 20[ 18 11 0,122 0,178 2,200 1,076 9,465 39,600 [20 ; 24[ 22 16 0,178 0,356 3,911 0,853 4,096 86,044 [24 ; 28[ 26 21 0,233 0,589 6,067 0,187 0,149 157,733 [28 ; 32[ 30 15 0,167 0,756 5,000 0,533 1,707 150,000 [32 ; 36[ 34 12 0,133 0,889 4,533 0,960 6,912 154,133 [36 ; 40[ 38 8 0,089 0,978 3,378 0,996 11,150 128,356 [40 ; 44[ 42 2 0,022 1 0,933 0,338 51,340 39,200

TOTAUX : 90 1 26,8 5,653 47,716 765,956

Ainsi la variance vaut:

Exercice 4.5:

Calculer la variance et l'écart-type.

Classes Effectifs

[6 ; 10[ 2 [10 ; 14[ 9 [14 ; 18[ 16 [18 ; 22[ 15 [22 ; 26[ 7 [26 ; 30[ 1

Exercice 4.6:

Une étude des salaires annuels des employés d'une grande compagnie a donné les résultats suivants:

Classe Effectifs

[20'000 ; 22'000[ 80 [22'000 ; 24'000[ 130 [24'000 ; 26'000[ 340 [26'000 ; 28'000[ 210 [28'000 ; 30'000[ 120 [30'000 ; 36'000[ 120 a) Calculer les mesures de tendance centrale. b) Calculer la variance et l'écart-type. Indication: la fonction = RACINE(...) d'OpenOffice permet de calculer la racine carrée d'un nombre.

MESURES DE DISPERSION ET DE FORME 55

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Exercice 4.7:

Pourquoi n'est-il pas possible d'avoir pour une variable statistique f i x i2 i=1k =10 et f i x i i=1k =5 ?

Exercice 4.8:

La maison de jeu PROBA a demandé à son croupier de noter pendant 60 jours consécutifs combien de fois par jour on obtient le 00 au jeu de la roulette. Le croupier a présenté les données suivantes: Nombre de 00 par jour 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Nombre de jours 1 3 6 9 14 11 7 6 2 1

a) Calculer les mesures de tendance centrale. b) Calculer la variance et l'écart-type.

Exercice 4.9:

Claude s'entraîne dans le but de participer à une course d'un kilomètre. Il a noté pour chacune de ses 60 dernières courses d'entraînement son temps en secondes:

261 265 269 273 276 277 281 284 285 287

262 266 271 274 276 278 281 284 286 288

262 266 271 274 276 278 282 284 286 290

263 266 272 275 276 278 282 284 287 290

264 266 272 275 276 279 282 285 287 290

265 268 272 275 277 279 282 285 287 292

Regrouper les données en classes de largeur 5 en prenant b 0 = 260. Construire le tableau complet de distribution des fréquences. a) Calculer les mesures de tendance centrale. b) Calculer l'écart-type et l'écart moyen. §4.2 Choix et comparaison des mesures de dispersion absolue Le choix de la mesure de tendance centrale implique le choix de la mesure de dispersion: mode étendue médiane écart interquartile moyenne écart-type ou écart moyen Les 5 mesures que nous venons de définir visent un même objectif: mesurer la dispersion des valeurs d'une variable statistique. Elles ont de par leur définition des caractéristiques, des avantages et des inconvénients. L'objectif du prochain exercice est de les reconnaître selon leurs caractéristiques.

56 CHAPITRE 4

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- Jt 2021

Exercice 4.10:

1

ère

mesure: 2

ème

mesure: 3

ème

mesure: 4

ème

mesure: 5

ème

mesure:

De quelle mesure parle-t-on?

Elle tient compte de toutes les données et elle accorde le même poids à chacun des écarts; elle est donc moins influencée que la variance par les données extrêmes. Elle se prête mal aux manipulations algébriques. Elle est simple à calculer et à interpréter. Elle ne tient pas compte de toutes les données; elle n'est donc pas influencée par les données extrêmes. Elle est utilisée lorsque la distribution des valeurs est fortement dissymétrique. Dans ce cas, on utilise la médiane comme mesure de tendance centrale. Son calcul est plus long et son interprétation est moins immédiate.

Elle tient compte de toutes les données.

Elle se prête bien aux manipulations algébriques. Le carré des écarts accorde du poids aux grands écarts; elle est ainsi fortement influencée par les données extrêmes. Elle est, avec l'écart-type, la mesure de dispersion la plus utilisée. Elle est très simple à calculer et à interpréter. Elle ne tient pas compte de toutes les données; elle n'utilise que les valeurs extrêmes. Elle est utilisée pour donner une idée sommaire et rapide de la dispersion et pour déterminer les largeurs de classes lorsqu'on fait un regroupement en classes. Elle a les mêmes caractéristiques que la variance. Elle est, avec la variance, la mesure de dispersion la plus utilisée.

Exercice 4.11:

Calculer les mesures de tendance centrale et de dispersion des données suivantes:

Classe Effectifs

[32 ; 38[ 16 [38 ; 44[ 186 [44 ; 50[ 191 [50 ; 56[ 196 [56 ; 62[ 221 [62 ; 68[ 121 [68 ; 74[ 69

MESURES DE DISPERSION ET DE FORME 57

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- Jt 2021

§4.3 Mesures de dispersion relative

Pour caractériser la distribution des valeurs d'une variable statistique, on utilise généralement une mesure de tendance centrale et une mesure de dispersion. On peut donner par exemple la médiane et l'intervalle interquartile. Dans la grande majorité des cas, on caractérise la distribution des valeurs par la moyenne et l'écart-type. Si l'écart-type d'une variable est égal à 10, peut-on dire que les données sont très dispersées? Bien sûr, cela dépend de l'ordre de grandeur des données. Il est donc nécessaire parfois de mesurer la dispersion relative.

Le coefficient de variation

Le coefficient de variation CV d'une variable statistique est le ratio entre l'écart-type et la moyenne exprimé sous la forme d'un pourcentage: CV= x Le coefficient de variation est un indicateur de l'homogénéité de la population. On considère qu'un coefficient de variation inférieur à 15% indique que la population est homogène, tandis qu'un coefficient supérieur à 15% indique que les valeurs sont relativement dispersées. Le coefficient de variation est une mesure sans unité et indépendante de l'ordre de grandeur. On peut donc l'utiliser pour comparer la dispersion de variables statistiques avec des ordres de grandeur et des unités différentes.

Modèle 4:

Calculer le coefficient de variation dans le cas d'une V.S discrète x i n i f i f i x i f i x i2

0 5 0,093 0,000 0,000

1 12 0,222 0,222 0,222

2 14 0,259 0,519 1,037

3 8 0,148 0,444 1,333

4 7 0,130 0,519 2,074

5 4 0,074 0,370 1,852

6 2 0,037 0,222 1,333

7 1 0,019 0,130 0,907

10 1 0,019 0,185 1,852

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