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2 2 1 Quand l'estimateur des mco est-il sans biais? On s'intéresse d'abord aux conditions sous lesquelles l'espérance de l'estimateur des mco coïncide avec la  

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Les estimateurs des MCO de la régression sont sans biais et convergents On propose comme estimateur sans biais de la variance de l'erreur : ˆσ2 ε = ∑ i ˆε2

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Theorem (L'estimateur des MCO est sans biais ) Sous les hypothèses SLR1- SLR4 : E(ˆp1 ) = p1 et E( 

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qui lie la variable dépendante aux variables explicatives ▻ L'hypothèse (7) implique que les MCO sont sans biais ▻ Des erreurs de mesure sur les variables 

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Les estimateurs des MCO sont des estimateurs linéaires, sans biais et de variance minimale Ils sont dits estimateurs BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) 3 4 

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2 3 Ecriture matricielle du modèle et de l'estimateur MCO 21 2 3 1 Vecteurs 3 2 2 Le meilleur estimateur linéaire sans biais de β 37 3 3 La distribution 

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Econométrie I

Bernard Lejeune

HEC-Université de Liège

Notes à l"usage des étudiants de 3ème année de bachelier en sciences économiques et de gestion

Année académique 2010-2011

i

Préambule

En parallèle des présentes notes de cours, les étudiants sont invités à lire: Hill R.C., Griffiths W.E. et Lim G.C. (2008),Principles of Econometrics, Third

Edition, John Wiley & Sons.

D"autres ouvrages peuvent aussi utilement être consultés: Griffiths W.E., Hill R.C., Judge G.G. (1993),Learning and Practicing Econometrics,

John Wiley & Sons.

Wooldridge J.M. (2006),Introductory Econometrics: A Modern Approach, Fourth

Edition, South-Western.

Johnston J. et DiNardo J. (1997),Econometrics Methods, Fourth Edition, Mc Graw- Hill. Les étudiants qui souhaitent en savoir plus pourront consulter: Goldberger A.S. (1991),A Course in Econometrics, Harvard University Press. Wooldridge J.M. (2010),Econometric Analysis of Cross-Section and Panel Data,

Second Edition, MIT Press.

Cameron A.C. et Trivedi P.K. (2005),Microeconometrics: Methods and Applica- tions, Cambridge University Press. Hamilton J.D. (1994),Time Series Analysis, Princeton University Press. ii

Table des matières

1 Introduction1

1.1 Economie et économétrie1

1.2 Le modèle de régression1

1.3 L"approche économétrique3

1.4 Rappel de théorie des probabilités 4

2 Le modèle de régression linéaire simple 5

2.1 Du modèle économique au modèle économétrique 5

2.1.1 Un modèle économique5

2.1.2 Construction du modèle économétrique I: la droite de

régression5

2.1.3 Construction du modèle économétrique II: hypothèses

complémentaires9

2.1.4 Introduction d"un terme d"erreur 10

2.2 Estimation des paramètres du modèle 13

2.2.1 L"estimateur des moindres carrés ordinaires 13

2.2.2 L"estimateur du maximum de vraisemblance 16

2.2.3 Exemple: estimation d"une fonction de consommation 19

2.3 Ecriture matricielle du modèle et de l"estimateur MCO 21

2.3.1 Vecteurs aléatoires: notations et propriétés 21

2.3.2 Le modèle et ses hypothèses sous forme matricielle 26

iii

2.3.3 L"estimateur MCO sous forme matricielle 27

2.3.4 Résultats complémentaires 29

3 Propriétés de l"estimateur MCO31

3.1 La distribution d"échantillonnage de l"estimateur MCO31

3.1.1 L"espérance de

ˆβ32

3.1.2 La matrice de variance-covariance de

ˆβ33

3.1.3 Les facteurs déterminantV(ˆβ)34

3.2 Le théorème Gauss-Markov35

3.2.1 Estimateurs linéaires deβ36

3.2.2 Le meilleur estimateur linéaire sans biais deβ37

3.3 La distribution d"échantillonnage de

ˆβsous l"hypothèse de

normalité39

3.4 Propriétés de

ˆβen grand échantillon: convergence et normalité asymptotique39

3.4.1 Convergence39

3.4.2 Distribution asymptotique 41

3.5 Estimation deσ

2et deV(ˆβ)41

3.5.1 Estimateur deσ

242

3.5.2 Estimateur deV(ˆβ)43

3.5.3 Exemple: la fonction de consommation de HGL (2008) 44

4 Intervalle de confiance et test d"hypothèse 45

4.1 Intervalles de confiance pourβ

1etβ245

4.1.1 Cas oùσ

2est connu45

4.1.2 Cas oùσ

2est inconnu48

4.1.3 Exemple: la fonction de consommation de HGL (2008) 51

4.2 Tests d"hypothèses deβ

1etβ251

iv

4.2.1 Cas oùσ

2est connu52

4.2.2 Cas oùσ

2est inconnu60

4.2.3 Terminologie et précisions d"interprétation 64

4.2.4 Exemple: la fonction de consommation de HGL (2008) 66

4.3 Intervalle de confiance, test d"hypothèse et non-normalité 67

5 Prévision,R

2, unités de mesure et forme fonctionnelle 70

5.1 Prévision70

5.1.1 Prévision de l"espérance deysachantx

071

5.1.2 Prévision de la valeur deysachantx

076

5.1.3 Exemple: la fonction de consommation de HGL (2008) 81

5.2 Le coefficient de détermination:R

282

5.2.1R

2et corrélation85

5.3 Unités de mesure85

5.4 Forme fonctionnelle89

5.4.1 Le modèle lin-log89

5.4.2 Le modèle log-lin90

5.4.3 Le modèle log-log92

5.4.4 Remarques93

6 Le modèle de régression linéaire

multiple96

6.1 Du modèle économique au modèle économétrique 96

6.1.1 Un modèle économique96

6.1.2 Le modèle économétrique 96

6.1.3 Formulation générale du modèle et de ses hypothèses sous

forme matricielle101

6.2 Estimation MCO des paramètres du modèle 103

v

6.3 Propriétés de l"estimateur MCO 104

6.3.1 Propriétés d"échantillonnage 104

6.3.2 Estimateur deσ

2et deV(ˆβ)107

6.4 Intervalles de confiance et tests d"hypothèse deβ

j108

6.5 Prévision et intervalles de prévision 111

6.6 Exemple: les ventes d"une chaîne de fast-food de HGL (2008) 113

6.7 Le coefficient de détermination multiple:R

2117

6.8 Unités de mesure118

6.9 Forme fonctionnelle118

6.9.1 Régression polynomiale120

7 Test de Fisher, colinéarité et problèmes

de spécification123

7.1 Le test de Fisher (F-test)123

7.1.1 La procédure de test125

7.1.2F-test et non-normalité132

7.1.3 Cas particuliers duF-test 135

7.1.4 Test joint versus tests individuels 140

7.2 Exemple: les ventes d"une chaîne de fast-food de HGL (2008) 144

7.3 Colinéarité147

7.4 Problèmes de spécification150

7.4.1 Forme fonctionnelle150

7.4.2 Variables omises152

7.4.3 Hétéroscédasticité et auto-corrélation 156

7.4.4 Non-normalité164

7.4.5 Régresseurs stochastiques 165

8 Variables binaires et modèle logit/probit 169

vi

8.1 Variables explicatives binaires169

8.1.1 Comparaison de deux moyennes 169

8.1.2 Comparaison de plusieurs moyennes 171

8.1.3 Plusieurs critères de classification 172

8.1.4 Modifications d"intercept et/ou de pente dans une

régression standard174

8.2 Variables binaires dépendantes176

8.2.1 Le modèle de probabilité linéaire 178

8.2.2 Les modèles logit et probit I: spécification 180

8.2.3 Les modèles logit et probit II: estimateur du maximum

de vraisemblance184

8.2.4 Les modèles logit et probit III: inférence 191

1

Chapitre1

Introduction

1.1. Economie et économétrie

L"objet de la théorie économique est d"expliquer les comportements économiques au travers de modèles décrivant des relations entre des variables économiques: con- sommation, épargne, revenu, salaire, production, prix, emploi, investissement, taux d"intérêt, etc... L"économétrie est un ensemble de méthodes statistiques conçues pour évaluer des relationsempiriques- càd. que l"on peut observer dans des données - entre des variables, en particulier des relations suggérées par la théorie économique. Un outil central de l"économétrie est lemodèle de régression. La plus grande

partie du présent cours est consacrée à l"étude des différentes facettes de ce modèle.

1.2. Le modèle de régression

En bref, le modèle de régression s"efforce de décrire la façondont lavaleur moyenneprise par une variable, appelée variabledépendante,expliquéeou encore endogène, varie en fonction des valeurs prises par une ou plusieurs autre(s) vari- able(s), appelée(s) variable(s)conditionnante(s),indépendante(s),explicative(s)ou encoreexogène(s). Il est important de noter que le choix du sens de la causalité entre ces variables est un choix à priori. Il n"est pas déterminé par l"outil statistique. Au demeurant, il peut très bien exister une relation entre des variables sans qu"il y ait pour autant une quelconque causalité.

Le modèle de régression permet:

1- de représenter et de quantifier des relations entre variables,

2- de faire des prévisions, en particulier del"effet marginald"une variable, les autres

variables étant maintenues constantes (effet d"une variableceteris paribus, càd. 2 toutes autres choses étant égales),

3- de tester des théories.

Ces différents aspects ne sont évidemment pas sans liens. Le modèle de régression, et de façon plus générale l"économétrie, s"appuie sur:

1- l"économie mathématique, en tant que pourvoyeur des relations formalisées entre

variables,

2- un ensemble d"outils issus de la théorie des probabilitéset de l"inférence statis-

tique,

3- des données. Parmi les données, on distingue:

a- lesdonnées en coupeou données individuelles. Ces données sont consti- tuées d"un ensemble de variables (de stock et/ou de flux) mesurées au cours d"une même période de temps pour des unités statistiques distinctes (des individus, des ménages, des firmes, des pays, etc...). Ellessont générale- ment notées: x i, i= 1,...,n Il s"agit typiquement de données de nature microéconomique, issues d"enquêtes. b- lesdonnées chronologiquesou séries temporelles. Ces données sont consti- tuées d"un ensemble de variables mesurées pour une même unité statistique au cours du temps. Elles sont généralement notées: x t, t= 1,...,T Il s"agit typiquement de données de nature macroéconomique, issues des comptes nationaux. c- lesdonnées en panel. Ces données combinent les deux types de données précédents. Elles sont constituées d"un ensemble de variables mesurées pour des unités statistiques distinctes au cours de plusieurs périodes suc- cessives. Elles sont généralement notées: x it, i= 1,...,n, t= 1,...,T Il s"agit souvent de données de nature microéconomique, issues d"enquêtes. On notera que les données en panel, et encore davantage les séries temporelles, soulèvent des problèmes, et donc appellent à des développements techniques spéci- fiques, qui seront ignorés dans le cadre de ce cours d"introduction. On remarquera également que, dans presque tous les cas, les données à disposi- tion des économètres sontnon-expérimentales: il est impossible de modifier de façon expérimentale le revenu d"un ménage pour vérifier si il ajuste ou non, et de combien, son niveau de consommation. Il en est évidemment de même pourdes variables de type macroéconomique. Pour étudier une relation, l"économètre doit presque 3 toujours se contenter de données observables (dans l"exemple ci-avant, les couples revenu-consommation de différents ménages) sur lesquellesil n"a aucun contrôle de type expérimental.

1.3. L"approche économétrique

Une analyse économétrique débute toujours par l"identification d"une (ou plusieurs) relation(s) entre variables, suggérée(s) par la théorie économique, et dont la connaissance quantitative apporterait des éléments de réponse à la question que l"on se pose. Par exemple, si l"on s"interroge sur la propension marginale à con- sommer des biens culturels des ménages, on s"intéressera naturellement à la relation entre consommation de biens culturels (les dépenses des ménages en la matière) et revenu d"un ménage:

Cons=f(revenu)

Une fois la relation d"intérêt identifiée, l"approche économétrique consiste en la construction d"unmodèle probabilistede cette relation, comprenant comme ingré- dients essentiels des variables aléatoires (v.a.) et des paramètres (par., inconnus à priori), pour l"exemple ci-dessus 1:

E(Cons↓

v.a. |revenu↓ v.a. ) =β1↓ par. +β2↓ par. revenu↓ v.a. ?Cons↓ v.a. =β1↓ par. +β2↓ par. revenu↓ v.a. +e↓ v.a. ce modèle probabiliste étant tel que les données (les observations) dont on dispose peuvent être considérées (pour des raisons d"échantillonnage et/ou de modélisation) comme desréalisations particulièresdes variables aléatoires du modèle, pour une certaine valeur des paramètres inconnus. En somme, cela revient à regarder les observations dont on dispose comme le résultat d"une loterie, les règles de la loterie étant définie par la structure du modèle et la valeur de ses paramètres. Sur cette base, en utilisant des outils statistiques appropriés, on pourra:

1- estimer les paramètres inconnus du modèle et évaluer la précision de ces estima-

tions (quantification de la relation d"intérêt),

2- tester des hypothèses économiques liées aux paramètres du modèle (dans l"exem-

ple ci-dessus, pour tester si la propension marginale à consommer est inférieur

à 1, on testera siβ

2<1),

3- faire des prévisions et évaluer la précision de ces prévisions,

4- tester l"adéquation du modèle probabiliste (ses hypothèses statistiques) aux don-

nées.

1sous la forme générique d"un modèle de régression.

4

1.4. Rappel de théorie des probabilités

Avant d"entrer dans le vif du sujet, les étudiants sont invités à rafraîchir leurs connaissances relatives à une série de concepts de base de lathéorie des probabilités: •Variables aléatoires et distributions de probabilité (casdiscret et cas continu).quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11