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?Corrigé du baccalauréat S (spécialité)Antilles-Guyane? septembre2016
EXERCICE16points
Commun à tous les candidats
PartieA - Étude graphique
1.Quel que soitnnaturel et quel que soit le réelx, e-(n-1)x>0 et 1+ex>1>0 : les fonctions
f nsont donc positives : les termes de la suite(un)sont des intégrales de fonctions positivessur [0; 1] :unest donc l"aire, en unités d"aire de la surface limitée par lacourbeCn, l"axe des
abscisses et les droites d"équationx=0 etx=1.2.D"après l"allure des courbes on peut conjecturer que la suite(un)est décroissante et a pour
limite 0. 3.0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,10,10,1
0,20,30,40,50,60,70 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,100,10,20,30,40,50,60,7
C4 L"aire de la surface grisée s"obtient comme la somme des aires de deux trapèzes et d"un tri- angle : 4+6+2,5=12,5 carrés d"aire 0,01. L"aire de la surface limitée par les axes et la ligne rouge se décompose en 10,5+3+3,5=17 aires de carrés d"aire 0,01.On en déduit que 0,125 On a donc
0,12 PartieB - Étude théorique
1.u0=?
1 0 f0(x)dx=? 1 0e x 1+exdx.
En posantu(x)=1+exon obtientu?(x)=ex, donc :
u 0=? 1 0u ?(x) Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Par linéarité de l"intégrale :u0+u1=?
1 0 fn(x)dx+? 1 0 fn(x)dx=? 1 0? ex 1+ex+e-(1-1)x1+ex?
dx= 1 0? ex 1+ex+11+ex?
dx=? 1 0e x+11+exdx=? 1 0 1dx=1-0=1.
On en déduit que :u1=1-u0=1-ln?1+e
2?. 3.L"intégrale d"une fonction positive sur l"intervalle [0; 1] est positive. Doncun>0
4. a.dn(x)=fn+1(x)-fn(x)=e-(n+1-1)x
1+ex-e-(n-1)x1+ex=e-nx1+ex-e-(n-1)x1+ex=
e -nx 1+ex(1-ex)=e-nx1-ex1+ex.
b.On sait que pour tout naturelnet pour tout réelx, e-nx>0 et que 1+ex>1>0.
Le signe dedn(x) est donc celui de 1-ex.
Or 0?x?1?e0?ex?e1par croissance de la fonction exponentielle, soit 1?ex?e, d"où-e?-ex?-1 et enfin 1-e?1-ex?0. Conclusion : 1-ex?0?dn(x)?0.
Il en résulte par intégration sur l"intervalle [0; 1]queun+1 Comme on a vu qu"elle minorée par zéro, elle est donc convergente vers une limite?supé- rieure ou égale à zéro. 6. a.un+un+1=?
1 0e -(n-1)x 1+ex+?
1 0e -(n+1-1)x1+exet par linéarité de l"intégrale : u n+un+1=? 1 0? e-(n-1)x 1+ex+e-nx1+ex?
dx=? 1 0e -nx1+ex?ex+1?dx=? 1 0 e-nxdx=?e-nx-n? 1 0= e-n -n+1n=1-e-nn. b.On sait que limn→+∞e-n=0, donc limn→+∞1-e-n=1 et enfin limn→+∞1-e-n n=0. On a donc?=0.
c.Tant queKAffecter
1-e-K On a donc
0,12 PartieB - Étude théorique
1.u0=?
1 0 f0(x)dx=? 1 0e x 1+exdx.
En posantu(x)=1+exon obtientu?(x)=ex, donc :
u 0=? 1 0u ?(x) Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Par linéarité de l"intégrale :u0+u1=?
1 0 fn(x)dx+? 1 0 fn(x)dx=? 1 0? ex 1+ex+e-(1-1)x1+ex?
dx= 1 0? ex 1+ex+11+ex?
dx=? 1 0e x+11+exdx=? 1 0 1dx=1-0=1.
On en déduit que :u1=1-u0=1-ln?1+e
2?. 3.L"intégrale d"une fonction positive sur l"intervalle [0; 1] est positive. Doncun>0
4. a.dn(x)=fn+1(x)-fn(x)=e-(n+1-1)x
1+ex-e-(n-1)x1+ex=e-nx1+ex-e-(n-1)x1+ex=
e -nx 1+ex(1-ex)=e-nx1-ex1+ex.
b.On sait que pour tout naturelnet pour tout réelx, e-nx>0 et que 1+ex>1>0.
Le signe dedn(x) est donc celui de 1-ex.
Or 0?x?1?e0?ex?e1par croissance de la fonction exponentielle, soit 1?ex?e, d"où-e?-ex?-1 et enfin 1-e?1-ex?0. Conclusion : 1-ex?0?dn(x)?0.
Il en résulte par intégration sur l"intervalle [0; 1]queun+1 Comme on a vu qu"elle minorée par zéro, elle est donc convergente vers une limite?supé- rieure ou égale à zéro. 6. a.un+un+1=?
1 0e -(n-1)x 1+ex+?
1 0e -(n+1-1)x1+exet par linéarité de l"intégrale : u n+un+1=? 1 0? e-(n-1)x 1+ex+e-nx1+ex?
dx=? 1 0e -nx1+ex?ex+1?dx=? 1 0 e-nxdx=?e-nx-n? 1 0= e-n -n+1n=1-e-nn. b.On sait que limn→+∞e-n=0, donc limn→+∞1-e-n=1 et enfin limn→+∞1-e-n n=0. On a donc?=0.
c.Tant queKAffecter
PartieB - Étude théorique
1.u0=?
1 0 f0(x)dx=? 1 0e x1+exdx.
En posantu(x)=1+exon obtientu?(x)=ex, donc :
u 0=? 1 0u ?(x)Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Par linéarité de l"intégrale :u0+u1=?
1 0 fn(x)dx+? 1 0 fn(x)dx=? 1 0? ex1+ex+e-(1-1)x1+ex?
dx= 1 0? ex1+ex+11+ex?
dx=? 1 0e x+11+exdx=? 1 01dx=1-0=1.
On en déduit que :u1=1-u0=1-ln?1+e
2?.3.L"intégrale d"une fonction positive sur l"intervalle [0; 1] est positive. Doncun>0
4. a.dn(x)=fn+1(x)-fn(x)=e-(n+1-1)x
1+ex-e-(n-1)x1+ex=e-nx1+ex-e-(n-1)x1+ex=
e -nx1+ex(1-ex)=e-nx1-ex1+ex.
b.On sait que pour tout naturelnet pour tout réelx, e-nx>0 et que1+ex>1>0.
Le signe dedn(x) est donc celui de 1-ex.
Or 0?x?1?e0?ex?e1par croissance de la fonction exponentielle, soit 1?ex?e, d"où-e?-ex?-1 et enfin 1-e?1-ex?0.Conclusion : 1-ex?0?dn(x)?0.
Il en résulte par intégration sur l"intervalle [0; 1]queun+16. a.un+un+1=?
1 0e -(n-1)x 1+ex+?
1 0e -(n+1-1)x1+exet par linéarité de l"intégrale : u n+un+1=? 1 0? e-(n-1)x 1+ex+e-nx1+ex?
dx=? 1 0e -nx1+ex?ex+1?dx=? 1 0 e-nxdx=?e-nx-n? 1 0= e-n -n+1n=1-e-nn. b.On sait que limn→+∞e-n=0, donc limn→+∞1-e-n=1 et enfin limn→+∞1-e-n n=0. On a donc?=0.
c.Tant queK
K-UàU
AffecterK+1 àK
Fin Tant que
EXERCICE25points
Commun à tous les candidats
1.Le point H a pour coordonnées (1 ; 1 ; 1).
M?(BH)??il existet?R--→BM=t--→BH?????x-0=t(1-0) y-0=t(1-0) z-0=t(1-0)?????x=t y=t z=t2.On a D(1; 1; 0), E(1; 0; 1) et G(0; 1; 1).D"où--→DE(0 ;-1 ; 1),--→DG(-1 ; 0 ; 1).
Comme--→BH(1 ; 1 ; 1) ce vecteur est orthogonal à--→DE et à--→DG, soit à deux vecteurs non co-
linéaires du plan (DEG). Le vecteur--→BH est donc normal au plan (DEG) : la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG). septembre 20162Antilles-GuyaneCorrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
3.D"après la question précédente une équation du plan (DEG) est :
M(x;y;z)?(DEG)??1x+1y+1z+d=0.
On a par exemple D?(DEG)??1+1+0+d=0??d=-2.
DoncM(x;y;z)?(DEG)??x+y+z-2=0.
4.les coordonnées de P vérifient l"équation paramétrique de ladroite (Bh) et l"équation du plan
(DEG) soit : ?x=t y=t z=t x+y+z-2=0?3t-2=0??t=2 3.On a donc P
?23;23;23?
5.On a :PD2=?
1-2 3? 2 1-23? 2 0-23? 2 PE 2=? 1-2 3? 2 0-23? 2 1-23? 2 PG 2=? 0-2 3? 2 1-23? 2 1-23? 2On a donc de façon évidente PD
2=PE2=PG2=1
9+19+49=69=23, soit PD=PE=PG.
Le point P est donc équidistant des trois sommets du triangle(DEG), c"est donc le centre ducercle circonscrit au triangle (DEG), mais comme celui-ci est équilatéral car ses trois côtés
sont des diagonales de carrés de côté 1, le point P est orthocentre, centre du cercle circonscrit
et centre de gravité du triangle équilatéral (DEG).EXERCICE34points
Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera
sur la copie le numéro de la question et recopierala réponse choisie. Aucune justification n"est deman-
dée. Il seraattribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.1.On az2+2az+a2+1=0??(z+a)2+1=0??(z+a)2-i2=0??
(z+a+i)(z+a-i)=0???z+a= -i z+a=i???z= -a-i z= -a+i aest réel donc les deux solutions sont complexes conjuguées de même module.2.z=1+eiθ=eiθ
2? e-iθ2+eiθ2? =eiθ2? cosθ2-isinθ2+cosθ2+isinθ2? =2eiθ2cosθ2=2cosθ2eiθ2qui est l"écriture exponentielle dez.Le module dezest donc 2cosθ
2et un argument dezestθ2.
3.On a pour tout réelx,f?(x)=-e-xsinx+e-xcosx=e-x(cosx-sinx).
Doncf??π
4?=e-π4?
?2 2-? 2 2? =0.4.On aP(X?30)=?
300 septembre 20163Antilles-Guyane