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Methodes d'Optimisation
Licence Professionnelle Logistique
Universite du Littoral - C^ote d'Opale, P^ole LamartineLaurent SMOCH
(smoch@lmpa.univ-littoral.fr)Septembre 2011
Laboratoire de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees Joseph Liouville Universit´e du Littoral, zone universitaire de la Mi-Voix, bˆatiment H. Poincarr´e50, rue F. Buisson, BP 699, F-62228 Calais cedex
2Table des mati`eres
1 Quelques rappels sur les graphes1
1.1 Initiation `a la th´eorie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Niveaux des sommets d'un graphe sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.2 Graphes valu´es et chemins critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.1 Valuations d'un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.2 Longueur d'un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.3 Chemins minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.2.4 Chemins maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191.2.5 Int´erˆet d'une telle recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201.3 Exercices r´ecapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212 Problemes d'ordonnancement25
2.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2 Notions de projet, tˆache et ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2.1 Notion de projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.2.2 Notion de tˆache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.3 M´ethode d'ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262.4
´Etablissement d'un ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262.5 D´etermination du chemin critique et ´enum´eration des tˆaches critiques . . . . . . . . . . . . .
262.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263 La methode MPM29
3.1 Le graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.1.1 El´ements du graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.1.2 Contraintes potentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.1.3 Exercice corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303.1.4 Tˆaches parall`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.1.5 Op´erations d´ependantes et ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.1.6 Op´erations compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323.1.7 Conditions limites de d´emarrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323.2 Exercice synth´etique corrig´e : construction d'un pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.3 Date au plus tˆot d'une tˆachei, ordonnancement minimum ou au plus tˆot . . . . . . . . . . .
363.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.2 D´etermination des dates au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.3 Chemins critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.4 Date au plus tard de d´ebut d'une tˆachei, ordonnancement limite (ou au plus tard) . . . . . .
373.4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373.4.2 Recherche de l'ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383.5 Marges d'une tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.5.1 Marge totalemT(i) de la tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.5.2 Marge libremL(i) d'une tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39I
IITABLE DES MATIERES
3.5.3 Marge certainemC(i) d'une tˆachei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.5.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403.6 M´ethode MPM pr´esent´ee sous forme de tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.6.1 Ordonnancement au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.6.2 Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
444 La methode PERT53
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534.2 Difficult´es de construction du graphe PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534.3 Calcul de l'ordonnancement par la m´ethode PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
544.3.1 Calcul de l'ordonnancement au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
554.3.2 Calcul de l'ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
554.3.3 Calcul du chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
575 Ordonnancement en ateliers specialises - Diagrammes de Gantt61
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2 Ordonnancement sur une machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2.1 Le diagramme de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2.2 La r`egle T.O.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
625.3 Ordonnancement avec deux centres de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
635.4 Ordonnancement sur trois machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
645.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
666 Reduction de la duree d'un projet71
6.1 Pr´esentation de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
716.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
747 Optimisation des
ux777.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
777.1.1 R´eseau de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
777.1.2 Graphe associ´e `a un r´eseau de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
777.1.3 Graphe canonique associ´e `a un r´eseau de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
807.1.4 Flot sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
817.2 Recherche d'un flot maximal dans un r´eseau avec capacit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2.1 La coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
837.2.3
´Etude th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84