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L'argument exposé par Zénon est que Achille ne peut rattraper la tortue car si la tortue a de l'avance sur Achille, celui-ci ne peut jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car pendant qu'Achille court jusqu'au point d'où a démarré la tortue, cette dernière avance, de telle sorte qu'Achille ne pourra jamais

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vous ave I traduit en terminale par limn ªH 5 n = 0 (deuxième moitié du$ ème siècle avant JC ), à savoir le paradoxe d'Achille et la tortue c'est que la somme d'une infinité de termes (de plus en plus petits) puisse être finie Les suites de

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d'un dossier en vue de l'épreuve orale de mathématiques et en Terminale D, la préparation de "la question La réflexion sur l'infini a été choisie car ce concept est riche d'une double histoire Premiere période : Le paradoxe de Zénon Non: quand Achille arrive au point de départ de la tortue, la tortue a parcouru 1m

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l'infini mathématique sont, de fait, la seule raison conduisant à rejeter le principe des paradoxes dits de « l'Achille » et de « la Dichotomie » que l'on admet qu 'il n'y a pas une totalité terminale et maximale des étants qui sont, mais

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Les Mathématiques sont en effet un langage complexe Classe : Terminale S1 ( 29 élèves), Année scolaire : 2014-2015 Le paradoxe d'Achille et de la Tortue 2 L'hôtel de Hilbert 3 Peut-on trouver des courbes fermées de longueur infinie,

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imaginé la réalité mathématique autre que son idée a priori L'infini du cadre à poser n'échappera pas Avec comme outils mathématiques ceux d'une terminale S : calcul de ses quatre paradoxes est celui d'Achille et de la tortue Achille

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maths de Lacan, mission délicate mais impossible Je ne reviens à souviens de ce paradoxe sur l'infini J'entends Lacan qu'en entendant : encore mon professeur de Terminale le présenter tous : c'est faux, Achille rattrapera la tortue, bien

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Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques après la classe de terminale dans un cursus scientifique et aux seconds pour de limite lorsque n tend vers l'infini, ce qui semblait révéler l'adoption de la perspective Ces supports peuvent être de type cinématique comme le paradoxe d'Achille et la tortue,

Paradoxe de Achille et la tortue

1 Le paradoxe

Le paradoxe d"Achille et de la tortue, formulé par Zénon d"Élée, dit qu"un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile.Comme Achille

était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue

une avance de cent mètres. L"argument exposé par Zénon est que Achille ne peut rattraper la tortuecar si la tortue a de l"avance sur Achille, celui-ci ne peut jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse; car pendant qu"Achille court jusqu"au point d"où a démarré la tortue, cette dernière avance, de telle sorte qu"Achille ne pourra jamais annuler l"avance de l"animal.

2 Résolution

Achille ne peut rattraper la tortue qu"après une infinité d"étapes. L"erreur consiste à dire que cette infinité d"étapes se fait en un temps infini. Pour simplifier la résolution prenons les valeurs suivantes : Achille se déplace à 10 ms -1, ce qui en fait un très bon sprinter de 100 m, et la tortue à 0,1 ms-1soit une vitesse 100 fois inférieure à celle de Achille.

Schématisons les étapes suivantes

Étape 0

Étape 1

Étape 2AT

A T A T À chaque étape la tortue effectue une distance 100 fois moindre que Achille car elle va 100 fois moins vite. À chaque étape le temps mis par Achillepour effectuer la distance AT est 100 fois moindre qu"à la précédente. Le tempstnécoulé jusqu"à lanième étape est : t n=10+10

100+101002+···+10100n-1

t nest donc la somme desnpremiers termes d"une suite géométrique de raison 1

100et de premier terme 10. On a donc :

t n=10×1-1 100n

1-1100=

1000
99?

1-1100n?

PAULMILAN1 TERMINALES

or limn→+∞1100n=0 car-1<1100<1

Par somme et produit lim

n→+∞tn=1000

99?10,1010

Pour effectuer une infinité d"étapes, Achille met un peu plus de 10,10 s. Achille rattrape bien la tortue ce que personne avait douté!

3 Conclusion

La notion de limite de suite permet d"expliquer facilement le paradoxe qu"une infinité d"étapes peut se faire en un temps fini. le lâcher d"une balle qui rebondit à 80 % de sa hauteur initiale. Elleeffectuera une infinité de rebonds en un temps fini.

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