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1. Formes bilin´eaires. Formes quadratiques.
1.1. D´efinitions. SoitEun espace vectoriel surK(K=RouC).
Uneforme bilin´eairesurEest une application?:E×E→Klin´eaire par rapport `a chacune des deux variables. Une forme bilin´eaire?estsym´etriquesi?(x,y) =?(y,x) pour tout x,y?E. Si?(x,y) =-?(y,x) pour tousx,y?E, la forme est dite anti-sym´etrique(oualtern´ee). Chaque forme bilin´eaire s"´ecrit comme la somme d"une forme sym´etrique et d"une forme anti-sym´etrique:?=?++?-, o`u +(x,y) =12 (?(x,y) +?(y,x)) et?-(x,y) =12 (?(x,y)-?(y,x)). Pour une forme bilin´eaire sym´etrique on d´efinit laforme quadratique associ´eeq?:E→K:q?(x) =?(x,x). La forme bilin´eaire sym´etrique est d´etermin´ee par la forme quadratique associ´ee:?(x,y) =14 [q?(x+y)-q?(x-y)] ("identit´e de polarisation"). Exemples.1. Sifetgsont deux formes lin´eaires,?(x,y) =f(x)g(y) est une forme bilin´eaire.2. Si?1,...,?ksont des formes bilin´eaires eta1,...akdes scalaires,
a1?1+...+ak?kest une forme bilin´eaire.
3. SoitEl"espace des matricesk×n; alors?(A,B) =tr(tAB) est une
forme bilin´eaire sym´etrique.4. SoitE=C([a,b],K) l"espace des fonctions continues sur [a,b], soit
p?C([a,b],K). Alors?(f,g) =?b af(t)g(t)p(t)dtest une forme bilin´eaire sym´etrique.1.2. Expression en coordonn´ees.On suppose que dimE=n <∞.
SoitB= (e1,...,en) une base deE,x=?n1xiei, y=?n1yiei. Alors?(x,y) =?ni,j=1xiyj?(ei,ej) =?ni,j=1aijxiyjo`uaij=?(ei,ej). La matriceA= (aij) = (?(ei,ej)) est lamatrice de la forme bilin´eaire ?dans la baseB. La forme?est sym´etrique si et seulement si sa matrice (dans n"importe quelle base) est sym´etrique:aij=ajioutA=A. Si?est sym´etrique, la forme quadratique associ´ee s"´ecrit:q?(x) =?ni,j=1aijxixj. SoitXla colonne des composantes du vecteurx:tX= (x1,...,xn). Alors on peut ´ecrire?`a l"aide de la multiplication matricielle:?(x,y) =tXAY.1.3. Changement de base (changement lin´eaire de coordonn´ees).
SoitB?= (e?1,...,e?n) une autre base deE, soitX?etY?les colonnes des coordonn´ees des vecteursxetydans la baseB?. 1 On aX=PX?etY=PY?, o`uPest la matrice de passage deB`a B ?. Alors?(x,y) =tXAY=tX?tPAPY?=tX?A?Y?o`uA?=tPAPest la matrice de la forme?dans la baseB?. (Noter que siAest sym´etrique,A?l"est aussi.)1.4.On appellerangd"une forme bilin´eaire le rang de sa matrice (il ne
d´epend pas du choix de la base). On dit que la forme estnon-d´eg´en´er´ee si son rang est ´egal `a la dimension deE. Pour une forme?sym´etrique sonnoyauest d´efini parKer?={x?E:?y?E,?(x,y) = 0}.
Le noyau de?est le noyau de (l"application lin´eaire d´efinie par) la ma- trice de?. On a: rang (?) + dim (Ker?) = dim (E). Lemme.Caract´erisation du noyau en termes de la forme quadratique: x?Ker (?) si et seulement siq?(x+y) =q?(y) pour touty?E.1.5. Equivalence des formes.
Deux formes bilin´eaires?etψsont dites´equivalentessi il existe un isomorphismef:E→Etel queψ(x,y) =?(f(x),f(y)). Si dim(E)<∞, les formes?etψsont ´equivalentes si leurs matricesA etBsont li´ees parB=tPAPavecPinversible (autrement dit, si on peut trouver deux bases dans lequelles?etψont la mˆeme matrice).1.6.Soit?une forme bilin´eaire symetrique. Les vecteursxetysont
orthogonauxsi?(x,y) = 0. Une base est diteorthogonalesi ses vecteurs sont deux `a deux orthogonaux. Dans une base orthogonale la forme s"´ecrit?(x,y) =?n1aixiyi, et sa matrice est diagonale. La forme quadratique associ´ee devient alors une combinaison lin´eaire de carr´es:q(x) =?n1aix2i. Le rang de?(ou deq) est le nombre de coefficientsainon-nuls. Le noyau de?est engendr´e par les vecteurs de baseeipour lesquelsai= 0.1.7. Orthogonalisation de Gauss(r´eduction en carr´es).
L"orthogonalisation de Gauss permet de fabriquer une base orthogonale pour la forme quadratiqueq?(x) =?ni,j=1aijxixjpar des changements de coordonn´ees successives.Cas 1. Soita11?= 0. On ´ecrit
q ?(x) =?ni,j=1aijxixj= a11(x1+1a
11? nj=2a1jxj)2+?ni,j=2aijxixj-(1a 11? nj=2a1jxj)2 =a11y21+q1(x2,...,xn), o`uy=x1+1a 11? nj=2a1jxj. Ensuite il reste `a diagonaliser la formeq1(x2,...,xn) (r´ecurrence). 2 Cas 2.Soita11= 0 . Soita1j?= 0 etajj= 0 (siajj?= 0, on est dans le cas 1 avecj`a la place de 1). Pour simplifier, soitj= 2.On ´ecrit
q ?(x) =?ni,j=1aijxixj=a12(x1+1a 12? nj=3a2jxj)(x2+1a 12? nj=3a1jxj) +?ni,j=3aijxixj-1a12(?nj=3a1jxj)(?nj=3a2jxj)
=a12y1y2+q2(x3,...,xn).Ensuite on posez1=y1+y2,z2=y1-y2et on ay1y2=14
(z21-z22). Apr`es cela il reste `a diagonaliser la formeq2(x3,...,xn).1.8. Equivalence des formes quadratiques.
Deux formes quadratiques sont´equivalentessi les formes bilin´eaires sym´etriques associ´ees sont ´equivalentes; en d"autres termes,q1etq2sont ´equivalentes si il existe un isomorphismef:E→Etel queq2(x) =q1(f(x)). Pour une forme r´eduit en carr´es on ´ecrit q(x) =?ki=1aix2iavecai?= 0,i= 1,...,k. Donckest le rang deq.Equivalence surC.En posant ˜xi=⎷a
ixion obtient la forme r´eduite: q(x) =?ki=1˜x2i. Corollaire.Deux formes quadratiques surCsont ´equivalentes si et seulement si elles ont le mˆeme rang.Formes quadratiques surR. Signature.
On regroupe les coefficients positifs et n´egatif et on ´ecrit q(x) =?ri=1aix2i-?r+si=r+1aiy2iavecai>0,i= 1,...,k. Th´eor`eme de Sylvester.Les entiersrets(le nombre de carr´es positif et n´egatifs) sont ind´ependants du choix de la baseq-orthogonale. Le couple (r,s) s"appellesignaturede la forme quadratique.On ar+s= rang(q).
En posant ˜xi=⎷a
ixion obtient laforme r´eduite:q(x) =?ri=1˜x2i-?r+si=r+1˜x2i. Corollaire.Deux formes quadratiques surRsont ´equivalentes si et seulement si elles ont la mˆeme signature. Lemme.Caract´erisation "intrinseque" de la signature.r(respective- ment,s) est ´egal `a la dimension maximale d"un sous-espaceFtel que la restriction deq(respectivement, de-q) surFsoit d´efinie positive.1.9.La forme quadratiqueqest ditepositivesiq(x)≥0 pour tout
x?E(donc, sis= 0). La forme quadratiqueqest dited´efinie positivesiq(x)>0 pour tout xnon-nul (donc, sir=dim(E)). 3 En termes matriciels,Aest positive sitXAX≥0 pour toutX;Aest d´efinie positive si tXAX >0 pour toutX?= 0. Remarque:pour toute matriceCla matriceA=tCCest positive;tCC est d´efinie positive si et seulement siCest inversible. Exemple: ´etude des extr´ema.Soitf(x1,...,xn) une fonction de classeC2 dansRn. Soit 0 = (0,...,0) un point critique:∂f∂x i(0) = 0,i= 1,...,n. On consid`ere le d´ev´eloppement limit´e defen 0 `a l"ordre 2: f(x) =f(0) +12 i,jhi,jxixj+o(?x?2), o`uhij=∂2f∂x i∂xj(0).La forme quadratiqueH(x) =?
i,jhi,jxixjs"appelle la forme Hessienne defen 0. Proposition.(i) Sifadmet un minimum local enO,Hadmet un minimum en 0 et doncHest positive. (ii) SiHadmet un minimum strict en 0 et donc est d´efinie positive,f admet un minimum local strict en 0.1.10. Orthogonalisation de Gauss pour les formes d´efinie posi-
tives. Siq?(x) =?ni,j=1aijxixjest d´efinie positive, on aaii>0 pour tout i. Donc dans l"algorithme de Gauss on rencontre uniquement le cas 1 (voir1.7.). La matrice de changement de variables est `a chaque ´etape triangulaire
(sup´erieure); la matrice de passagePvers la base orthonormale dans laquelle qest la somme des carr´es est donc triangulaire sup´erieure:tPAP=In. SoitC=P-1. On aA=tCC.
Th´eor`eme de factorisation triangulaire (Gauss-Cholesky). Pour toute matriceAsym´etrique d´efinie positive il existe une unique matriceCtriangulaire sup´erieure `a diagonale positive telle queA=tCC.2. Produit scalaire. Espaces Euclidiens.
2.1.SoitEunR-espace vectoriel. Unproduit scalairesurEest une
forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive, not´e< .,. >. Lanorme euclidienneassoci´ee est d´efinie par?x?2=< x,x >. La distance euclidiennedsurEest d´efinie pard(x,y) =?x-y?. Le produit scalaire est d´etermin´e par la norme: < x,y >=14 (?x+y? - ?x-y?) ("identit´e de polarisation"). Exemples:1. Produit scalaire canonique dansRn:< x,y >=?n1xiyi; la norme est donn´ee par le "th´eor`eme de Pythagore":?x?2=?n1x2i. 42.E=C([a,b],R),< f,g >=?b
af(t)g(t)dt. UnR-espace vectoriel de dimension finie muni d"un produit scalaire s"appelleespace euclidien.2.2.Deux vecteursxetysontorthogonauxsi< x,y >= 0.
Sous-espace orthogonale.SoitA?E;l"orthogonaldeAest l"ensemble de vecteurs deEorthogonaux `a tous les vecteurs deA: A ?={x?E:?y?Aon a< x,y >= 0}. Il est claire queA?est un sous-espace vectoriel deE. Deux sous-espacesE1etE2sontorthogonauxsi tout vecteur deE1 est orthogonal `a tout vecteur deE2(E2?E?1). Famille orthogonale.Une famille de vecteurs deEest diteorthogo- nalesi les vecteurs de cette famille sont deux `a deux orthogonaux. Une famille de vecteurs deEest diteorthonormalesi elle est orthog- onales et tous ses vecteurs sont de norme 1. Lemme.Une famille orthogonale sans vecteurs nuls est libre. Exemple.DansC([0,2π]) avec le produit scalaire< f,g >=1π 2π0f(t)g(t)dt
la famille (1⎷2
,cosnx,sinnx)n≥1est orthonormale.2.3. Coordonn´ees dans une base orthonormale.
Soit (e1,...,en) une base orthonormale, soitx=?n1xiei,y=?n1yiei. Alors< x,y >=?n1xiyi,?x?2=?n1x2i("th´eor`eme de Pythagore") et x i=< x,ei>. Coordonn´ees dans une baseorthogonale:< x,y >=?n1< ei,ei> xiyi ,?x?2=?n1< ei,ei> x2ietxi=2.4. Orthogonalisation de Gram-Schmidt.
Soit (v1,...,vn,...) une famille libre dansE. On peut construire une famille orthonormalee1,...,en,...telle queV ect(v1,...,vk) =V ect(e1,...,ek) pour toutk≥1. (Autrement dit,ekest une combinaison lin´eaire de v1,...,vk.)
Construction par r´ecurrence:
On posee1=v1?vi?; ˜ek+1=vk+1-?k1< vk+1,ei> eietek+1=˜ek+1?˜ek+1?. Corollaire.Tout espace Euclidien admet une base orthonormale. Toute famille orthonormale peut ˆetre compl´et´ee en une base orthonormale.2.5. Projection orthogonale.
SoitF?Eun sous-espace de dimention finie.
Soit (e1,...,en) une base orthonormale deF.
5 On d´efinitPF:E→EparPF(x) =?n1< x,ei> ei. AlorsPFest un projecteur surFparall`element `aF?. Corollaire.SiFest un sous-espace de dimension finie,F?est un suppl´ementaire deF:E=F?F?, somme directe orthogonale. On a aussi (F?)?=F.Projection orthogonale dans une base quelconque.
Le vecteury=PF(x) est caract´eris´e par les conditionsy?Fet< y,z >=< x,z >pour tout vecteurzdeF.Soit (e1,...,en) une base deF.
PosonsPF(x) =?n1uiei; pour d´eterminer les coeeficientsuion doit r´esoudre le syst`eme:?n1ui< ei,ej>=< x,ej>,j= 1,...,n. La matrice de ce syst`emeG= (< ei,ej>) s"appellematrice de Gram. Si (˜e1,...,˜en) est une base orthonormale etA= (aij) = (<˜ei,ej>), alorsG=tAA. En particulier, d´etG= (d´etA)2.
2.6. Projection othogonale et meilleur approximation en moyenne
quadratique. Distance `a un sous-espace. Lemme.SoitFest un sous-espace de dimension finie etx?E. Alors la projectionPF(x) r´ealise la distance minimale entrexet les vecteurs deF:?x-PF(x)?= min{?x-z?,z?F}.
Exemple. Ajustement affine.
Soitx1< x2< ... < xnetS= (x1,...,xn).
SoitEl"espace des fonctions d´efinies surS`a valeurs r´eelles. Le produit scalaire dansEest d´efini par< f,g >=?n1f(xi)g(xi); Etant donn´ef,l"ajustement affine par les moindres carr´esconsite `ad´eterminer une fonction affineφ(x) =ax+btelle que l"´ecart?f-φ?2=?n1[f(xi)-φ(xi)]2soit minimal.
La r´eponse est donn´ee par la projection orthogonal sur le sous-espace des fonctions affines. Les coefficientsaetbsont les solutions du syst`eme lin´eaire:< φ,1>=< f,1>,< φ,x >=< f,x >. Plus explicitement, na+ (?xi)b=?f(xi), (?xi)a+ (?x2i)b=?xif(xi). Exemple. Meilleur approximation en moyenne quadratique par des polynˆomes trigonom´etriques.