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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Métropole-La Réunion 20 juin 2016?EXERCICE16POINTS
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Utilisons un arbre pondéré :Les hypothèses s"écrivent :P(A)=0,4 PA(
S)=0,2 PB(S)=0,05.
On en déduit :
P(B)=1-P(A)=0,6
PA(S)=1-PA(
S)=1-0,2=0,8
PB(S)=1-PB(
S)=1-0,05=0,95
On a ensuite :
0,89 ?A0.4S:A∩S
0.8S:A∩S0.2
B0.6S:B∩S
0.95S:B∩S0.05
2.Calculons PS(A) :
PS(A)=P(A∩S)
P(S)=0,4×0,80,89=3289
Une valeur approchée, à 10-2près, de la probabilité cherchée est 0,36.PartieB
1.Notonsfla fréquence observée de composants sans défaut .
On a???f=0,92
?30 n×f=400×0,92=368?5 n(1-f)=400×0,08=32?5 Les conditions d"utilisation d"un intervalle de confiance sont réunies. Un intervalle de confiance de la proportionp, au niveau de confiance 0,95 est0,92-1
?400;0,92+1?400? =[0,87;0,97]2.Pour un échantillon de taillen, l"intervalle de confiance est
0,92-1
?n;0,92+1?n? dont l"amplitude est 2 ?n L"amplitude est au maximum égale à 0,02 si et seulement si 2 ?n?0,02 (1)Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
(1)??2?0,02?n n?100 ??n?10000 car la fonction racine carrée est croissante surR+La taille minimum de l"échantillon est 10000
PartieC
1. a. P(T?a) est l"aire, en unités d"aire, du domaine limité parC, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=0 etx=a b.Soitt?[0,+∞[ :P(T?t)=t?
0f(x)dx
t?0λe-λxdx
?-e-λx?t 0 ?-e-λt?-?-e-λ×0? ?-e-λt?-(-1) =1-e-λt ?t?[0,+∞[ P(T?t)=1-e-λt c.De???????lim t→+∞-λtλ>0=-∞
et limX→-∞eX=0on déduit, par composition : lim t→+∞e-λt=0.On a ensuite, par somme : lim
t→+∞(1-e-λt)=1-0=1 : limt→+∞P(T?t)=12.L"hypothèse s"écrit : 1-e-7λ=0,5 (1)
(1)??e-7λ=0,5 ?? -7λ=ln1 2 ?? -7λ=-ln2 ??λ=ln2 7 Une valeur approchée deλ, à 10-3près, est 0,09920 juin 20162Métropole-La Réunion
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
3. a.La question est de déterminer P(T?5).
Puisque P(T?5)=1-e-0,099×5, alors
La probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans estenviron 0,61 b.Il s"agit de calculer P (T?2)(T?7) La loi exponentielle étant une loi de durée de vie sans vieillissement, on a P (T?2)(T?7)=P(T?5)La probabilité cherchée est environ 0,61
c.E(T)=1λ:Une valeur approchée de l"espérance de T est environ 10,10 : la durée de vie moyenne d"un com-
posant est d"environ 10 ansEXERCICE24POINTS
Commun à tous les candidats
Affirmation1
Les vecteurs--→ABet--→ACont pour coordonnées respectives((2 -2 -2)) et--→AC((-2 -2 -2)) . Puisque-22?=-2-2, les
vecteurs--→ABet--→ACn"ont pas leurs coordonnées proportionnelles. Les points A,B et C ne sont donc
pas alignés :L"affirmation 1 est fausse.
Affirmation2
Calculons?n.--→ABet?n.--→AC:
Le vecteur
?nest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC): on en déduit que le vec- teur ?nest normal au plan (ABC) :L"affirmation 2 est vraie.
Affirmation3
Première méthode :
Montrons tout d"abord que la droite (EF) et le plan (ABC) sontsécants : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants si et seulement siles vecteurs?n((01 -1)) et--→EF((-1 -1 1)) ne sont pas orthogonaux. Calculons ?n.--→EF:20 juin 20163Métropole-La Réunion
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Puisque
?n.--→EF?=0, alorsLa droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants
Puisque le milieuIdu segment [BC] appartient manifestement au plan (ABC), il suffit de vérifier si