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ln: 0;+∞ →ℝ x lnx Remarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions lnx ln10 Conséquences : a) y = lnx avec x > 0 ⇔ x = ey b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln 1 e

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travaux de Briggs donne un algorithme pour calculer logarithme de 5 Supposons la table des 11 algorithmes suivant (obtenus à la main) : x ln(x) 10

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17 nov 2015 · Lorsque l'on prend N = 10 la précision de la valeur approchée par excès Y de ln X est de 10−9 Les valeurs stockées sont des approximation 

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Plus généralement, on admettra que ln(x) ≈ x − 1 si x ∈ [0,999 ; 1,001] II Algorithme Pour calculer ln(2), on remplace 2 par sa racine carrée jusqu'`a ce que 

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Résoudre dans IR les équations : ln x = 4 ; ln x = -2 ; 3 ln x = 2 ; ln x + ln 5 - π = 0 b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 

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4) On considère l'algorithme suivant : b) Déterminer la valeur N fournie par l' algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100 Partie B ln(X)=+с et donc lim

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multiplicative près log2 logarithme binaire, de base 2 : log2(x) = lnx ln2 ax = y ⇐ ⇒ Algorithme (calcul du plus grand diviseur (solution 0)) Entrée : un entier n

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ln x On écrit souvent ln x au lieu de ln ( x ) Remarques : • La fonction ln est une bijection de ] 0 ; +∞ [ dans IR • L'équivalence x ∈ IR+ * y = ln x ⇔

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[bAlgorithmes et logarithmesc\Table des Matières

I. Algorithmes de Briggs1

I. A. Calcul de log

10(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I. B. Calculs de logarithmes entre 1 et la base B

2

II. Algorithme de Cordic2

II.A.Historique

2

II.B.Principe et algorithme

3 II.B.1.Construction de l"algorithme de Cordic sur [1 ; 10] 3

II.B.2.Algorithme de Cordic pourx2[1 ; 10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II.B.3.Algorithme de Cordic pourx2[10¡100; 10100]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III.Algorithme de Brouncker6

III.A.Historique

6

III.B.Principe et algorithme

6 Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd0/8 [bAlgorithmes et logarithmesc\I. Algorithmes de Briggs

I. A. Calcul delog10(2)

henry Briggs (anglais 1556-1630) souhaite calculer logarithme de 2 Pour se faire il remarque qu"il suffit de connaître le

nombre de chiffres qui composent 2 net prendrentrès grand. En effet si le nombre de chiffres de 2nestkon a : 10 k¡1Ç2nÇ10k

Avec le logarithme en base 10, on a alors

k¡1n

Çlog10(2)Çkn

Briggs choisitnAE1014, en regroupant ses calculs des puissances de 2 en quatraine :

C alculd e2

10: 2

2AE4 ; 24AE¡22¢2; 28AE¡24¢2;2 10AE28£22

C alculd e2

100:
2

20AE¡210¢2; 240AE¡220¢2; 280AE¡240¢2;2 100AE280£220

C alculd e2

1000:
2

20AE¡2100¢2; 2400AE¡2200¢2; 2800AE¡2400¢2;2 1000AE2800£2200

Ainsi de sui tej usqu"à1 0

15pour une précision à 1014.1defb riggs( n): 2" " "3n=14p ourB riggs4calcull esv aleursd esp uissancesd e2 p arq uatrainej usqu" à1 0^n5" " "6i=27quatraine=08a=29while1 0**quatraine <10**n :10quatraine=quatraine+111a=a**i12b=a**213c=b**214d=a*c15l=len(s tr( d)) 16a=d17print( " 2^(10^" , quatraine, " ) a dmet" , l , " c hiffres" ) 18

19returnbriggs_log2.py

In[1]:Briggs(6)

Out[1]: 2

106admet 301030 chiffres.

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd1/8

I. B. Calculs de logarithmes entre 1 et la base B

Dans son Introduction à l"analyse infinitésimale (traduction française de 1796), Léonhard Euler (1707-1783) reprend les

travaux de Briggs donne un algorithme pour calculer logarithme de 5.

Cet algorithme se généralise calculer tous les logarithmes décimaux entre 1 et la baseBdu logarithme souhaité (c"est le

principe de dichotomie).Voici une traduction de cet algorithme en Python :

1fromm athi mport*2

3defB riggsLog(x, B,p): 4" " "5calcull el ogarithmed ex e nb aseB a vecu nep récisiond e1 0^(¡p)6" " "7A=18logA=09logB=110whilea bs(A¡B) >10**(¡p) :11ifs qrt( A*B)<=x:12A=sqrt (A*B)13logA=(logA+logB)/214ifs qrt( A*B)>x:15B=sqrt (A*B)16logB=(logA+logB)/217#print( A,l ogA, B,l ogB)18returnr ound(logA, p)briggs_log.py

In[1]:BriggsLog(2,10,14)

Out[1]:0,30102999566398

In[2]:BriggsLog(2,exp(1),14)

Out[2]:0.69314718055994

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd2/8

II. Algorithme de Cordic

II. A. Historique

L"algorithme de CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computing), inventé par Jack E. Volder en 1959 est un algorithme

de calcul des fonctions trigonométriques et hyperboliques, notamment utilisé dans lescalculatrices.

Il ressemble à des techniques qui avaient été décrites par Henry Briggs en 1624. Les calculatrices doivent calculer vite et

avec peu de mémoire, l"algorithme de CORDIC est très performant pour gérer cette contrainte.

II. B. Principe et algorithme

II. B. 1. Construction de l"algorithme de Cordic sur[1 ; 10] Supposons la table des 11 algorithmes suivant (obtenus à la main) :xln(x)10 2,302585092994

2 0,693147180560

1,1 0,095310179804

1,01 0,009950330853

1,001 0,000999500333

1,0001 000099995000

1,00001 0,000009999950

1,000001 0,000000999999

1,0000001 0,00000010000

1,00000001 0,000000010000

1,000000001 0,000000001000

1,0000000001 0,00000000010

Soit un réelxde l"intervalle [1 ; 10].110

61x

61()1610x

610.

1.9®12‚0 ; 3ƒtel que 2062®1610x

62®1Å1610Ç23.

On a alors 1610x£2®162

2.9®22‚0 ; 8ƒtel que 2061,1®2610x£2®161,1®2Å162Ç1,18.

On a alors 2

®1£1,1®2610x

62®1£1,1®2Å1

3. Ainsi de sui te9®i2‚0 ; 10ƒpour i variant de 1 à 10, tels que 2 4. O npose yAE2®1£1,1®2£...Å¡1Å10¡10¢®10, on a y610x

6y(1Å10¡n)

D"après le relation de Napier, ln(1Åx)Çx: ln(y)6ln(10)¡ln(x)6ln(y)Å10¡10 ln(10)¡ln(y) est donc une approximation de ln(x) à 10¡10 Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd3/8 II. B. 2. Algorithme de Cordic pourx2[1 ; 10]1#algorithmed ec ordic2

3fromm athi mport*4

5#listed el at ablei nitiale( prédéfinie) d esl ogarithmesd "unec alculatricel esv aleurss ontd onnéesà 1 0^{¡12}6L=[round(log(10), 12), round(log( 2), 12), round(log( 1.1), 12), round(log( 1.01), 12), round(log( 1.001), 12), round(log(1.0001) ,12) ,round(log(1.00001), 12), round(log(1.000001), 12), round(log(1.0000001), 12), round(log(1.00000001)

,12) , round (log(1.000000001), 12), round (log(1.0000000001), 12)] 7

8defc ordic01(x): 9" " "10xe stu nn ombrer éeld el " i ntervalle[ 1; 1 0]11

12renvoieu nea pproximationà 1 0^{¡10}d ul ogarithmen épériend ex c onnaissantu net ablei nitialed e1 1logarithmesa pprochésà 1 0^{¡12}.13

14ln(x)a pprochéep arl n(10)¡ln(y)a vecl n(y)=L[0]¡(A[0]L[1]+A[1]L[1]+...+A[9])=ln(10)¡(a0.l n( 2)+a1.l n( 1, 1)+...+a9.l n(1,0000000001))

15eta _it elsq ue: ( 1+10^{¡i} )^a_i< 10/(x*2^a_0*...*(1+10^{¡i¡1})^a_{i ¡1}<(1+10^{¡i} )^a_{i + 1}16" " "17globalL 18

19y=L[0]20A=[]# listed esc oefficientsa lpha_i21fori i nr ange(0, 10): 22z=1+10**(¡i )23a=024whilex *z<=10:# permetd "enleverl n(y)a ur angi a utantd ef oisq uen écessaires25a=a+126x=x*z27y=y¡L[ i +1]28print( "x=", x, " ; y =", y," ; z =", z, " ; x z=", x*z)29A.append(a)30print( A)31returnr ound(y,10)cordic.py

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd4/8 II. B. 3. Algorithme de Cordic pourx2[10¡100; 10100] Soitxun réel de 10¡100; 10100] représentant l"intervalle [0 ;Å1[ d"une calculatrice. 1. P ourxÈ0,9n2‚¡100 ; 100ƒtel que 10n6x610nÅ1, on a 16x10¡n610. 2.

O npose XAE10¡nxetX2‚1 ; 10].

Avec l"algorithme de Cordic sur [1 ; 10] on trouve une valeur approchée de ln(X), on en déduit une valeur ap-

prochée de ln(x) sachant que ln(x)AEln(X)Ånln(10).

On peut construire la fonction pour déterminer l"algorithme de tout réelxà la suite du programme précédent :1defc ordic(x): 2" " "3xe stu nn ombrer éeld e[ 10^{¡100},10^{100}]r eprésentant] 0;+i nfty[ 4

5renvoieu nev aleura pprochéed el n(x)6" " "7

8globalL 9

10y=L[0]11n=012whilex >10:13x=x/1014n=n+115whilex <1:16x=10*x17n=n¡118returnr ound(n*L[0]+cordic01(x) ,10)cordic.py

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd5/8

III. Algorithme de Brouncker

III. A. Historique

William Brouncker (anglais 1620-1684), était un linguiste et mathématicien.

Docteur de philosophie (université d"Oxford) en 1647, il est l"un des fondateurs et le premier président de la Royal Soci-

ety, en 1660. En 1662, il devient chancelier de la reine Catherine, puis maître de l"hôpital Sainte-Catherine.

Ses travaux mathématiques portent en particulier sur la rectification (mesure des longueurs) de la parabole et de la

cycloïde ainsi que sur la quadrature (mesure des aires) de l"hyperbole. Il est le premier, en Angleterre, à s"intéresser aux

fractions continues généralisées, notamment 4¼

III. B. Principe et algorithme

Dans un repère orthogonal, soit l"hyperbole sur un intervalle [a;b] avec 0ÇaÇb. La fonctionfest la fonction inverse sur l"intervalle [a;b].

Si on choisitaAE1 on détermine alors ln(b).

1. P ournAE1, on considère l"aireA1du rectangle formé par les points de coordonnées (a; 0), (b; 0), (b;f(b)), (a;f(b)). A

1AE(b¡a)f(b)AEb¡ab

AE1¡ab

PouraAE1,A1AE1¡1b

.2.P ournentier supérieur ou égale à 2 etjvariant de 1 à n¡1 ;ivariant de 0 à 2j¡1 avec un pas de 2, on consid- ère les rectangles formés par les points de coordonnées ( aÅhi;f(aÅh(iÅ2))) ( aÅh(iÅ1) ;f(aÅh(iÅ2))) ( aÅh(iÅ1) ;f(aÅh(iÅ1))) ( aÅhi,f(aÅh(iÅ1)))

A vechAEb¡a2

j

L"aireAid"un rectangle est

A A A iAEh2a

2Åa(2iÅ3)Åh2(iÅ1)(iÅ2)j i i i i h

jAE1iAE0b¡a2 jAE2iAE0iAE2b¡a4

jAE3iAE0iAE2iAE4iAE6b¡a8Figure pournAE2Figure pournAE3Figure pournAE4Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd6/8

La somme des aires des rectangles converge vers ln(b)¡ln(a)

PouraAE1 etbAE2, on trouve

hAE12 j. A iAE12 j0 B

B@11Å12

j(iÅ1)¡11Å12 j(iÅ2)1 C

CAAE12

jµ 2j2 jÅiÅ1¡2j2 AE1(2 jÅiÅ1)(2jÅiÅ2)j i;Aii;Aii;Aii;AihjAE1iAE0 ;13£412 jAE2iAE0 ;15£6iAE2 ;17£814 jAE3iAE0 ;19£10iAE2 ;111£12iAE4 ;113£14iAE6 ;115£1618

On admet que ln(2)AE1P

kAE01(2kÅ1)(2kÅ2) Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd7/8

1#algorithmed eB roukner2

3importm atplotlib. p yplota sp lt4

5

6deff ( x): 7return1 /x8

9defa ire_rectangle( A,B,C,D): 10return( B[0]¡A[0])*(D[1]¡A[1])11

12defr ectangle( A,B,C,D): 13returnp lt. p lot( [A[0], B[0], C[0], D[0], A[0]], [A[1], B[1], C[1], D[1], A[1]], linewidth=1.5)14

15defb rouncker(a,b,n): 16A=[a,0]17B=[b,0]18C=[b, f (b) ]19D=[a, f (b) ]20rectangle (A,B,C,D)21s=aire_rectangle (A,B,C,D)22forj i nr ange(1, n): 23h=(b¡a) /(2**j )24fori i nr ange(0, i nt( 2**( j ) ) ,2) :25A=[a+h*i , f (a+h*( i +2)) ]26B=[a+h*( i +1) , f (a+h*( i +2)) ]27C=[a+h*( i +1) , f (a+h*( i +1)) ]28D=[a+h*i , f (a+h*( i +1)) ]29rectangle (A,B,C,D)30s=s+aire_rectangle (A,B,C,D)31plt .show()32returns brouncker.py

In [1]: brouncker(1,2,10)

Out[1]: 0.6926591377284118In [2]: brouncker(0.5,1,10) Out[2]: 0.6926591377284118Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd8/8quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37