[PDF] Les ondes de surface - Daniel Huilier

Houle et Vagues ”´Ecoulements en Milieux Naturels” Cours

2011 — L'objet de ces notes de cours (le sujet est classique depuis Airy et Stokes et il existe des 

ETUDE DE LA HOULE EN THEORIE LINEAIRE - InfoTerre

ig 11); * houle de STOKES, b) Théories du 2ème ordre * houle de STOKES (1880) - (fig 11) ;

caractéristiques de la houle - WordPresscom

C'est le critère de déferlement La cambrure limite pour la houle de Stokes est 14 L H L a2 =

EQUATIONS GÉNÉRALES AU SECOND ORDRE DE LA

1952 · Cité 91 fois — exception de la houle de GEnsTNEH, ces formules par exemple les travaux de STOKES), l'étude de

Les ondes de surface - Daniel Huilier

1 porte le nom de houle de Stokes, l'ordre 2 de houle de Page 18 24 CHAPITRE 1 LES ONDES 

4 Houles damplitude finie - SCS-ingenieriecom

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Hydraulique Maritime Introduction - LEGI - UMR 5519

er la propagation de la houle, leur réfraction, diffraction et réflexion en zone littorale 2 Equations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible Conservation de la masse

Chapitre 1 Modélisation de la houle - LaBRI

e de Stokes étant irrotationnelle, le mouvement d'une particule du fluide ne dépend que

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Chapitre 1Les ondes de surfaceSommaire

1.1 La vie des vagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.1.1 La naissance des vagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.1.2 Action du vent sur la mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.2 Les ondes en eau profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 9

1.2.1 Relation de dispersion des ondes entre deux fluides . . .. . . . . . . . . . 9

1.2.2 Application aux ondes `a la surface de l'eau . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

1.2.3 Trajectoire des particules et lignes de courant sous la vague . . . . . . . . . 13

1.2.4 Energie transport´ee par la houle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

1.2.5 Att´enuation de la houle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16

1.2.6 Paquet d'onde lorsqu'un caillou est jet´e dans l'eau .. . . . . . . . . . . . 17

1.2.7 Sillage d'un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

1.2.8 Le sillage de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.2.9 Vitesse limite de coque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 20

1.3 Les ondes en eau peu profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

1.3.1 Relation de dispersion en hauteur d'eau finie . . . . . . . .. . . . . . . . 20

1.3.2 Lignes de courant et trajectoires des particules en eau peu profonde . . . . 21

1.3.3 Cas des ondes longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.4 Les ondes non-lin

´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1 Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25

1.4.3 Mascaret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.4 Tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Les ondes internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 27Nous allons ici nous int´eresser aux ondes se propageant `a l'interface entre deux liquides ou entre

un liquide est un gaz, propagation caus´ee par deux forces derappel : la gravit´e et la tension de surface

entre les deux fluides. Nous ´etudierons tout d'abord le cas des ondes en eau profonde puis le cas des

ondes en eau peu profonde.

Comme toute d´eformation p´eriodique ou localis´ee peut sed´ecomposer en s´erie de Fourier, nous

´etudierons d'abord le comportement d'onde plane monochromatique. La d´eformation de l'interface

V g=∂ω/∂k. 7

8CHAPITRE 1. LES ONDES DE SURFACE

1.1 La vie des vagues

Les vagues naissent, grandissent, vieillissent et meurent. On parle mˆeme de l'ˆage d'une vague!

Voyons donc comment une vague naˆıt, grandit (s'amplifie) puis s'att´enue ou d´eferle et finit par mourir.

1.1.1 La naissance des vagues

Le vent est la premi`ere cause des vagues, que cela soit en mer, sur un lac ou sur une flaque d'eau.

Par frottement avec la surface de l'eau, le vent injecte son ´energie de fac¸on continue `a cause de la

forte diff´erence de vitesse entre l'air et l'eau. L'attraction gravitationnelle de la Lune et du Soleil

sur l'eau est une autre source d'´energie pour les mouvements de l'eau, mais `a l'´echelle de toute la

Terre, et elle induit les ondes de mar´ees qui peuvent se d´ecrire comme des ondes de tr`es grandes

longueurs. Enfin les s´eismes, glissements de terrain et ´eruptions volcaniques correspondent `a des

injections brutales et localis´ees d'´energie qui sont la cause des tsunamis, aussi appel´es raz-de-mar´ee ;

`a une tout autre ´echelle, un caillou jet´e dans l'eau correspond aussi `a une cr´eation locale d'onde de

surface. Commenc¸ons par analyser l'action du vent sur la mer.

1.1.2 Action du vent sur la mer

En dessous d'un vent minimum, de l'ordre de quelques kilom`etres par heure, la mer reste plate;

on parle alors d'une mer d'huile. Ce n'est qu'au-dessus d'une valeur seuil que les premi`eres rides se

forment par l'´ecoulement rapide et turbulent de l'air au voisinage de l'eau. Peu `a peu, les premi`eres

ondes d´esordonn´ees, amplifi´ees par l'action du vent, deviennent plus ordonn´ees, augmentent en am-

plitude, en longueur et donc en vitesse. Le processus se poursuit jusqu'`a ce que les vagues atteignent

une vitesse de l'ordre de 80 % de la vitesse du vent. Au-del`a de cette valeur, la diff´erence de vitesse

entre l'air et les vagues semble insuffisante pour continuer`a amplifier ces derni`eres. Ces grands prin-

cipes expos´es, le d´etail des m´ecanismes et le rˆole exactdes turbulences de l'air sur la formation des

vagues font encore l'objet d'ˆapres discussions parmi les sp´ecialistes. On appelle souvent"ˆage de la

vague»le rapportV/Ude la vitesse des vagues sur celle du vent. Une vague qui vientde se former

a une faible longueur d'onde, et donc une faible vitesse compar´ee `a la vitesse du vent (V/Upetit),

elle est donc jeune. Lorsqu'elle atteint l'ˆage adulte, elle est de plus grande longueur d'onde, et donc

de plus grande vitesse (V/U≈0,8). Ensuite c'est le vieillissement, lorsque le vent diminueet que la

vague, poursuivant sa route, se d´eplace plus vite que le vent (V/U >1). Outre un effet sur la longueur

et la vitesse des vagues, un vent plus fort formera aussi des vagues de plus grande amplitude, surtout

s'il souffle suffisamment longtemps. Pour un vent ´etabli, lahauteur des vagues croˆıt avec la"force

du vent»et l'amiral anglais Francis BEAUFORTa d´efini en 1806 une table de correspondance entre

cette force du vent et l'´etat de la mer. L'´echelle Beaufortfait aujourd'hui encore r´ef´erence pour les

marins et les m´et´eorologues. Notons toutefois que l'amplitude et la longueur d'onde des vagues en un

point sont aussi fonction de la dur´ee pendant laquelle le vent a souffl´e, ainsi que de l'´etendue d'eau

sur laquelle il a souffl´e `a l'amont du point consid´er´e et que l'on nomme par le terme d'origine an-

glaisefetch. En pratique, l'effet de ces diff´erents param`etres est assez bien connu des m´et´eorologues

et des oc´eanographes, ce qui leur permet de bien pr´edire lahauteur des vagues et leur heure d'arriv´ee

sur nos cˆotes, au grand plaisir des surfeurs. Ces pr´edictions de hauteur de houle ont ´et´e grandement

am´elior´ees par le lancement des satellites d'observation de la mer, telTopex-Pos´eidon, ou son succes-

seur Jason-1 (http://www.jason.oceanobs.com/).On appelle"mer du vent»l'ensemble des vagues

qui se forment en un lieu donn´e sous l'action du vent qui souffle `a ce moment-l`a. On est alors dans

la zone dite du fetch. Par opposition, le terme de houle d´esigne les vagues qui persistent apr`es ˆetre

1.2. LES ONDES EN EAU PROFONDE9

sorties du fetch ou apr`es que le vent soit tomb´e. La grande houle se propageant tr`es vite, elle peut dans

certains cas atteindre la cˆote avant la d´epression qui luia donn´e naissance, et ainsi annoncer l'arriv´ee

du vent.

1.2 Les ondes en eau profonde

Nous consid´ererons ici uniquement le cas des ondes lin´eaires, c'est-`a-dire d'amplitude faible :

On note 1 le fluide inf´erieur et 2 le fluide sup´erieur etOzl'axe vertical (figure 1.1). z x z(x,t)n (1)(2) FIG. 1.1 - Sch´ema de l'interface entre deux fluides superpos´es.

1.2.1 Relation de dispersion des ondes entre deux fluides

On supposera les fluides incompressibles et surtout l'´ecoulement irrotationnel, ce qui est raison-

nable en dehors des couches visqueuses (´eventuellement pr´esentes sur le fond ou `a l'interface si les

deux fluides sont visqueux). Notons d´ej`a qu'en n´egligeant la viscosit´e, nous ´etudierons la propagation

sans att´enuation.

Si l'´ecoulement dans chaque fluide est irrotationnel,-→rot?vi=?0(aveci= 1,2) et l'on peut ´ecrire

?v

i=??Φi, le champ de vitesse d´erive d'un potentiel. Si de plus l'´ecoulement est incompressible,

div?vi= 0et doncΔΦi= 0. Le potentiel des vitesses satisfait l'´equation de Laplace.

En recherchant des solutions propagatives p´eriodiques onpeut ´ecrire :Φi=fi(z) expi(kx-ωt).

Notons que les ondes ´etant lin´eaires, nous pouvons utiliser la notation complexe sans probl`eme en

prenant `a la fin des calculs la partie r´eelle du r´esultat.

L'´equation de Laplace impose que :

f "i-k2fi= 0, soit f i(z) =Aiexp(kz) +Biexp(-kz). Dans le cas de milieu infini au-dessus et au-dessous de l'interface, la condition de non divergence defipourz→ ±∞donneA2=B1= 0. L'´equation d'Euler doit ˆetre satisfait pour chaque fluide: ∂?v i ∂t+ (?vi·??)?vi=-1ρi??pi+?g.

10CHAPITRE 1. LES ONDES DE SURFACE

Le terme convectif non-lin´eaire peut-ˆetre n´eglig´e si(?vi·??)?vi?∂?vi∂t. On peut estimer l'ordre de

qui correspond bien a notre choix d'ondes de faible amplitude.

L'´equation devient

∂t??Φi+1ρi??pi-?g= 0, soit : ??∂Φi ∂t+piρi+gz? = 0, et finalement : p i=-ρi∂Φi ∂t-ρigz+Ci. La surface plane devant ˆetre solution, on aC1=C2=Patm.

En particulier `a l'interface nous avons :

p

1-p2=ρ2∂Φ2

Conditions aux limites :elles sont de deux sortes, cin´ematiques (´egalit´e des vitesses transverses

`a l'interface) et dynamiques (´egalit´e des contraintes normales). Pour la premi`ere, comme l'amplitude

de la d´eformation est faible, il suffit que :vz1=vz2soit : ∂Φ1 primer les constantes d'int´egration en fonction de l'amplitude de l'onde :

1=-iω

2=iω

Lacondition dynamique nous ditque ladiff´erence depression surune interface courb´ee estdonn´ee

par la loi de Laplace (§??) : p int-pext=γ?1

R1+1R2?

o`uγest la tension de surface. Ici nous avons un seul rayon de courbure et la courbure ´etant faible :

p ∂x2, soit : p

En rassemblant ces trois r´esultats (´equations 1.1, 1.3 et1.5, on obtient finalement la relation de

dispersion des ondes lin´eaires en eau profonde : L'´equation pr´ec´edente peut aussi s'´ecrire :

2=ρ1-ρ2

ρ1+ρ2gk?

1 +?kkc?

2? .(1.7)

1.2. LES ONDES EN EAU PROFONDE11

Aveckc=?

(ρ1-ρ2)g/γ. Ce nombre d'onde de coupure s´epare le r´egime des ondes capillaires

(petites longueurs d'ondes - grands k -contrˆol´ees par la tension de surface) de celui des ondes de

gravit´e (grandes longueurs d'ondes gouvern´ees par la gravit´e). La relation de dispersion ´etant non

lin´eaire, les ondes interfaciales sont dispersives (V??=Vg). On rappelle que la vitesse de phase de

l'onde est donn´ee parV?=ω/ket la vitesse de groupe parVg=∂ω ∂k.

Rappels sur la vitesse de phase et de groupe

On consid`ere tout d'abord une onde plane monochromatique qui s'´ecrit : Son spectre est une fonction de DiracA0δ(k-k0), sa vitesse de phaseV?=ω(k0)/k0. Si maintenant on a un paquet d'onde, l'onde s'´ecrit : 0

A(k)expi(kx-ω(k)t)dk.

Si le paquet d'onde est ´etroit (dans l'espace de Fourier) autour dek0, on peut ´ecrirek=k0+δk

soit : 0 ∂kδk=Vgδk.

A l'instant initialt= 0on a :

avec

F(x) =?

0

A(k0+δk)expi(δkx)dk.

C'est un paquet d'onde avec une porteusek0et une enveloppeF(x).

Pourt?= 0:

avec

F(x-Vgt) =?

0

A(k0+δk)expi(δk(x-Vgt)dk.

L'enveloppe du paquet d'onde se propage bien avec la vitessede groupeVg.

Nota : on peut g´en´eraliser `a des ondes tridimensionnelles o`u?k= (k,l,m). Dans ce cas la vitesse

de phase s'´ecrit?V?= (ω/k,ω/l,ω/m)et la vitesse de groupe?Vg= (∂ω/∂k,∂ω/∂l,∂ω/∂m). Ces

deux vitesses ne sont pas forc´ement colin´eaires comme nous le verrons pour les ondes internes et les

ondes inertielles.

12CHAPITRE 1. LES ONDES DE SURFACE

1.2.2 Application aux ondes`a la surface de l'eau

Dans le cas des ondes `a la surface de l'eau, les densit´es desdeux fluides (air et eau) ´etant dans un

rapport 1000, on peut n´egligerρ2devantρ1et la relation de dispersion s'´ecrit alors : 2=gk? 1 +?k kc? 2?

L'´evolution de la vitesse de phase et de la vitesse de groupeavec le nombre d'onde est repr´esent´e

sur la figure 1.2. La figure 1.3 repr´esente l'´evolution d'unpaquet d'ondes pour lequelVg=1

2V?. Des

ondes naissent `a l'arri`ere du paquet d'ondes et meurent `al'avant.

Exercice :

- Dans le cas des ondes longues calculerV?etVget leur rapport. - Calculerkcpour l'eau et la longueur d'onde capillairelc= 2π/kc. - Pour les ondes capillaires calculerVg/V?. - Montrer que les vitesses de phase et de groupe sont ´egale sik=kc. - Calculer le minimum de la vitesse de phase. Montrer qu'il vaut 23 cm/s pour de l'eau pure. - Calculer la vitesse de groupe minimale. Que vaut alorsk/kc?

00,10,20,30,40,50,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

VphaseVgroupe

k/kc FIG. 1.2 - Evolution de la vitesse de phaseV?(×) et de la vitesse de groupeVg(?) en fonction du nombre d'onde adimensionn´ek/kc. Pourk/kc<1ce sont des ondes de gravit´e (Vg< V?), et pour k/k c>1ce sont des ondes capillaires (Vg> V?).

1.2. LES ONDES EN EAU PROFONDE13

FIG. 1.3 - Paquet d'onde dont la vitesse de phase est le double de la vitesse de groupe. La croix se

d´eplace `a la vitesse de groupe, la fl`eche `a la vitesse de phase. D'apr`es Cours Berkeley III, p. 294.

1.2.3 Trajectoire des particules et lignes de courant sous la vague

Si l'eau est assez profonde et si l'amplitude de la vague reste faible, le d´eplacement vertical d'un

flotteur lors du passage de la vague est accompagn´e d'un mouvement de va-et-vient horizontal de

mˆeme amplitude. Le flotteur d´ecrit donc des cercles, dans le sens des aiguilles d'une montre pour une

onde se d´eplac¸ant devant nous de gauche `a droite (figure 1.4). On peut d'ailleurs sentir soi-mˆeme ce

mouvement circulaire en se laissant flotter au large dans lesvagues. Notons que mˆeme si, au sommet

de la vague, il existe une vitesse de l'eau dans le sens du d´eplacement de l'onde, la vitesse du fluide

est en g´en´eral tr`es inf´erieure `a la vitesse de l'onde. Ces mouvements des particules d'eau, dans un

sens en haut de la vague et en sens contraire dans le creux de lavague (voir figure 1.4), expliquent aussi le chavirage possible des petites embarcations lorsqu'elles sont prises par de grosses vagues.

Ce mouvement circulaire de l'eau existe aussi sous la surface, mais il s'amortit rapidement et il n'est

d´ej`a pratiquement plus mesurable `a une profondeur comparable `a la longueur d'onde de la vague.

Un plongeur qui s'enfonce sous la surface est ainsi rapidement `a l'abri de la houle si la profondeur

de l'eau est suffisamment grande. Ce mouvement des particules d'eau est `a l'origine du mal de mer

´eprouv´e en bateau. En effet, l'acc´el´eration des particules d'eau, et donc celle du bateau, modifie sans

arrˆet la gravit´e apparente, ce qui peut provoquer des troubles de l'oreille interne.

Pour trouver les trajectoires des particules fluides pendant une p´eriode, il faut int´egrer la vitesse

lagrangienne de la particule. D'apr`es l'´equation 1.3,Φ =ω v v

14CHAPITRE 1. LES ONDES DE SURFACE

du temps et de la positionxet s'amortit exponentiellement avec la profondeur. Dans lalimite des

pas petite, l'int´egration fait apparaˆıtre une lente d´erive, appel´ee"d´erive de Stokes»dans le sens de

propagation de l'onde. Les trajectoires ont alors une formede cyclo¨ıde, la vitesse moyenne de d´erive

Pour tracer les lignes de courant il faut calculer la fonction de courantΨ. Or?v=??(Φ) =-→rot(Φ?ez), d'o`u l'´equation du champ scalaireΨ(x,z) = Ψ0-ω

Φ =Cste sont perpendiculaires aux lignes de courant (voir chapitre 2).

Les figures 1.5 et 1.6 permettent d'avoir une id´ee des lignesde courant `a un instant donn´e sous la

surface. V

FIG. 1.4 - Sch´ema montrant dans un plan vertical le mouvement circulaire de l'eau lors du passage

de gauche `a droite d'une vague. Ici est repr´esent´ee la position de la surface `a deux instants successifs.

Les cercles noirs repr´esentent les trajectoires suivies par les points noirs lorsque l'onde avance d'une

longueur d'onde. Les fl`eches repr´esentent leur vitesse `al'instant initial. Noter l'amortissement rapide

du mouvement circulaire de l'eau lorsqu'on s'enfonce sous la surface. FIG. 1.5 - Lignes de courant sous la surface obtenues par photo enpose courte.

1.2. LES ONDES EN EAU PROFONDE15

FIG. 1.6 - Lignes de courant, solutions de l'´equationz=z0-1kln|cos(kx-ωt)|, `a deux instants en opposition de phase pour des ondes en eau profonde (D'apr`es [21] page 366).

1.2.4 Energie transport

´ee par la houle

Les vagues transportent de l'´energie, il n'y a qu'a voir l'effet d´evastateur d'une tempˆete en bord

de mer. Cette ´energie est transport´ee sous forme d'´energie cin´etique et d'´energie potentielle.

Energie cin

´etique

La densit´e locale d'´energie cin´etique (´energie cin´etique par unit´e de volume) s'´ecritec=1

2ρv2. Or

L'´energie cin´etique par unit´e d'aireAde la surface s'´ecrit donc : E c A=? 0 e Or ω2 k=g?

1 +?kkc?

2? et donc : E c

1 +?kkc?

2?

Energie potentielle de gravit

´e

En prenant comme r´ef´erence des ´energies potentielles degravit´e l'´etat de reposz= 0, une par-

ticule `a l'altitudezposs`ede une densit´e d'´energie potentielleep=ρgz. Il existe donc une ´energie

potentielle moyenne par unit´e d'aire : E p

A=1λ?

0? 0

ρgzdxdz=12ρg1λ?

0

Energie potentielle

´elastique

En pr´esence de tension de surface, l'´energie potentielleest l´eg`erement modifi´ee car il apparaˆıt une

´energie ´elastique dˆu `a l'augmentation de surface : E

γ=γ(Ssurface-Splan) =γ L??λ

0dl-λ?

, o`uLest une unit´e de longueur dans la direction soitdl=dx?1 +1

16CHAPITRE 1. LES ONDES DE SURFACE

L'´energie ´elastique moyenne par unit´e de surface s'´ecrit donc en introduisant le nombre d'onde

de coupurekc: E

Energie totale

Finalement, comme pour un pendule simple, il y a en moyenne autant d'´energie potentielle totale

(gravit´e et surfacique) que d'´energie cin´etique. L'´energie totaleE=Ep+Ec+Eγs'´ecrit par unit´e

de surface : E L'´energie par unit´e de surface est proportionnelle au carr´e de l'amplitude des vagues.

Flux d'

´energie

Comme la pression et la vitesse horizontale du fluide sont en phase sous la vague, une colonne de

fluide exerce untravail sur lefluide sur lacolonne de fluide situ´e du cot´e de ladirection depropagation,

hpudz=vgE. L'´energie se propage donc bien `a la vitesse de groupe.

Exercice :Calculer l'´energie transport´ee par une houle de 2 m`etresd'amplitude et de 200 m de

longueur d'onde par m`etre de rivage.

1.2.5 Att

´enuation de la houle

Jusqu'`a maintenant nous avons consid´er´e que le fluide ´etait parfait. Si l'on suppose que ces so-

lutions sont toujours valables mˆeme en pr´esence d'une faible viscosit´e du fluide on peut estimer la

dissipation d'´energie et donc l'att´enuation des ondes. En calculant le taux de dissipation de l'´energie par unit´ede volume et de temps : ?=-η/2?∂vi xj+∂vjxi? 2

(avec une sommation implicite sur tout les indices redoubl´es) on en d´eduit l'amortissement temporel

des ondes : La dur´ee caract´eristique d'amortissementτ= 1/2νk2=λ2

8π2ν. Le rapport du temps d'amor-

tissement adimensionn´ee par la p´eriode de l'onde est ´egale `a la longueur d'amortissement spatial

adimensionn´ee par la longueur d'onde :

τ/T=L/λ=ω

4πνk2.

Dans le cas de l'eau on trouve :

1.2. LES ONDES EN EAU PROFONDE17

λ(m)L (m)τ

1 mm8 mm0,01 s

1 cm30 cm1 s

1 m15 km3,5 heures

10 m5000 km14 jours

100 m30 fois le tour de la Terre!4 ans!

Ce qui explique que les ondes capillaires s'amortissent tr`es vite et que seule persiste les vagues de

grandes longueurs d'ondes lorsque le vent se calme ...quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14