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Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires

Cours 2

Mod`eles lin´eaires LTI et notion d"´etat

Le mod`ele interne : notion d"´etat2

Exemple physique simple :

Mk u(t) y(t)- Equation du syst`eme

M¨y(t) +ky(t) =u(t)

- Signal de commandeu(t) - Conditions initiales : x(t0) =? y(t0) y(t0)?

G´en´eralisation :

any(n)(t) +···+a0y(t) =u(t)et x(t0) =? y(t0) y(t0)···y(n-1)(t0)?

Caract´eristiques :

- Ensemble de variables physiques dont la sp´ecification en l"absence de forces externes, d´eterminent compl`etement l"´evolution du syst`eme (causalit´e) - Nombre minimal (ordre) unique de variables non ind´ependantes (non uniques)

M´emoire

du syst`eme n´ecessaire pour d´ecrire l"effet du pass´e sur l"´evolution dynamique future du syst`eme - Choix des variables d"´etat (nombre fix´e et unique = nombrede conditions initiales) Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Le mod`ele interne : notion d"´etat (II)3

Nota :-H. Poincar´e

: ´etat thermodynamique d"un gaz(p,V,T)

W.R. Hamilton

: ´equations d"´etat de Hamilton :H=T+V=1

2My2+1

2ky2 qi(t) =∂H ∂pi=p M pi=-∂H ∂qi=-kq?x(t) =f(x) avecx=?? q p?? y My?? tD´efinition 1:Vecteur d"´etat x(t)est un vecteur contenant le nombre minimal de variables t.q. si pourt0,x(t0)est connu alors la sortiey(t1)et l"´etatx(t1)peuvent ˆetre d´etermin´es de mani`ere unique pour toutt1≥t0siu(t)est connu sur l"intervalle[t0, t1] dimension mX

Vecteur d'état

dimension nU dimension rY

Vecteur de sortie

Vecteur d'entrée

Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Le mod`ele interne : notion d"´etat (III)4

L"´etat `a l"instantt0d"un syst`eme doit constituer sa m´emoire x(t) =? t z(ξ)dξ=? t0 -∞z(ξ)dξ+? t t

0z(ξ)dξ=x(t0) +?

t t

0z(ξ)dξ

0 x2 x

1x(t0)x2(t1)

x(t2)x(t1) x

1(t1)t

Repr´esentation d?´etat

x(t) =f(x(t),u(t),t) ´equation dynamique y(t) =h(x(t),u(t),t) ´equation de mesure-x(t)?Rn: vecteur d"´etat -u(t)?Rm: vecteur de commande -y(t)?Rr: vecteur de sortie -f:Rn×Rm×R→Rn: fonction de

Lipschitz /x, continue /uet continue par

morceaux /t

Nota :

pourx(t0)donn´e,x(t)?

Ed´efinit la

trajectoire d"´etat Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K D´efinition axiomatique des syst`emes dynamiques5

Il existe une fonction

causale g:R+×R+×E×U → Et.q.(t0,t1,x(t0),u[t0,t1])→x(t1) =g(t0,t1,x(t0),u[t0,t1]) avecx(t1)unique

Il existe une fonction

sans m´emoire h:R+× E × U → Yt.q.(t1,x(t1),u(t1))→y(t1) =h(t1,x(t1),u(t1))avecy(t1) uniquePropri´et´es :1-

Propri´et´e d"identit´e :

x(t0) =g(t0,t0,x(t0),u[t0,t0]) 2-

Propri´et´e de causalit´e :

siu(t) =v(t)pourt?[t0,t1]alors g(t0,t1,x(t0),u[t0,t1]) =g(t0,t1,x(t0),v[t0,t1]) 3-

Propri´et´e de semi-groupe :

pourt0< t1< t2alors x(t2) =g(t0,t2,x(t0),u[t0,t2]) =g(t1,t2,x(t1),u[t1,t2]) Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K Exemple de mod`ele interne : oscillateur de Van der Pol6

Van der Pol (Balthazar) 1889-1959

Diode CLR V 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -8-6-4-20246810 t x1(t) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2.5-2-1.5-1-0.5

00.511.522.5

x dx/dt

Plan de phase

Radios `a tubes `a vide (diode tunnel)

Equation diff´erentielle :¨v(t)-α(1-v2(t)

β2)v(t) +ω20v(t) = 0

ω20= (LC)-1

Equation d

?´etat :x1(t) =x2(t) x2(t) =α(1-x21(t)

β2)x2(t)-ω20x1(t)

Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Equation d"´etat et lin´earisation (I)7

- Equation diff´erentielle non lin´eaire : x(t) =f(x(t),u(t),t) - Trajectoire nominale : x0(t) =f(x0(t),u0(t),t) - Perturbations/nominale : u(t)- u0(t)

˜u(t)

x(t0)- x0(t0)

˜x(t0)

x(t)- x0(t)

˜x(t)

- D´eveloppement de Taylor : x0(t)

˜x(t)

f(x0(t),u0(t),t)

Jx(x0(t),u0(t),t)

˜x(t)

Ju(x0(t),u0(t),t)

˜u(t)

+h(t) Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Equation d"´etat et lin´earisation (II)8

- Matrices Jacobiennes : J x=?∂fi ∂xj? u=?∂fi ∂uj? - Equation d"´etat lin´earis´ee :

˜x(t) =A(t)˜x(t) +B(t)˜u(t)

Exemple : pendule inverse

ml x1=x2 x2=-g lsinx1-k mx1A=(( 0 1 g lcos(x10)-k m0)) Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Satellite spin Ω constante autour dez9

- Equation diff´erentielle :

Izz¨ψ(t) =uz(t) =M(t) =Fc(t)d

- Vecteur d"´etat = variables de phase :?? x1 x 2?? - Vecteur de sortie :y(t) =ψ - Vecteur de commande :u(t) =uz(t) - Repr´esentation d"´etat : ?x1(t) x2(t)?? 0 1 0 0?? x1(t) x

2(t)??

0

1/Izz??

uz y(t) =?

1 0???x1(t)

x

2(t)??

Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K Solution de l"´equation d"´etat : matrice de transition10 tD´efinition 2:

La matrice de transition

La solution de l"´equation d"´etat homog`ene (non command´ee) : x(t) =A(t)x(t) o`uA(t)est continue par rapport `atest : x(t) = Φ(t, t0)x(t0)?t≥t0 o`u

Φ(t, t0)

est la matrice de transition

ªPropri´et´es 1:

-Φ(t2, t1)Φ(t1, t0) = Φ(t2, t0)-Φ-1(t, t0) = Φ(t0, t)?t, t0 -Φ(t, t0)est inversible?t, t0 La solution de l"´equation dynamique d"´etatx(t) =A(t)x(t) +B(t)u(t)est : x(t) = Φ(t, t0)x(t0) +? t t

0Φ(t, τ)B(τ)u(τ)dτ

Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K Solution de l"´equation d"´etat : matrice fondamentale11 Soit l"ensemble denconditions initiales lin´eairement ind´ependantesxi(t0), i= 1,···,n, alors il existe une solution uniquexi(t),i= 1,···,nde l"´equation homog`ene x(t) =A(t)x(t), xi(t0)

On d´efinit

la matrice fondamentale (non unique) comme ?(t) =? x

1(t)x2(t)···xn(t)?

Par construction,?(t)v´erifie?(t) =A(t)?(t).

ªPropri´et´es 2:

1- Matrices de transition et fondamentale :

Φ(t,t0) =?(t)?-1(t0)

2- La matrice de transition est l"unique solution de

∂∂tΦ(t, t0) =A(t)Φ(t, t0),?t≥t0,Φ(t0, t0) =1n Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Solution de l"´equation d"´etat LTI (I)12

Soit le mod`ele Lin´eaire Temps Invariant (LTI) x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) avecx?Rn, u?Rm, y?Rr rTh´eor`eme 1: x(t) =Ax(t)a pour matrice de transition

Φ(t, t0) =eA(t-t0)

o`u e

At=1+At+A2t2

2!+···+Antn

n!+···

Le syst`eme LTI a pour solution :

x(t) =eA(t-t0)x(t0) +? t t

0eA(t-τ)Bu(τ)dτ

Cours 2 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Solution de l"´equation d"´etat LTI (II)13

Exemple du satellite en spin constant :Equation d"´etat : ?x1(t) x2(t)?? 0 1 0 0?? x1(t)quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19