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2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE
Cours d"Automatique
Repr´esentations d"´etat lin´eaires
des syst `emes monovariablesOlivier BACHELIER
Courriel :
Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr
Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34
2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE
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Repr´esentations d"´etat lin´eaires
des syst `emes monovariablesOlivier BACHELIER
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28 juin 2017
R´esum´e
Ce cours d"Automatique s"inscrit dans le cadre de la deuxi`eme ann´ee de?cycle ing´enieur?de l"´EcoleNationaleSup´erieure d"Ing´enieurs dePoitiers (ENSIP) et s"adresse aux ´etudiants de
la fili`ere´Energie, parcoursMaˆıtrise de´Energie´Electrique (MEE). Ces derniers ont d´ej`a suivi
un enseignement relatif `a l"´etude des syst`emes lin´eaires mod´elis´es par une fonction de transfert
(approche fr´equentielle). Ce cours s"int´eresse aux mˆemes syst`emes mais propose une ´etude via un
mod`ele diff´erent, appel´e repr´esentation d"´etat lin´eaire (approche temporelle).Connaissances pr
´ealables souhait´ees :
notions de syst`emes lin´eaires, ´equations diff´erentielles, fonction de transfert enp(voire enz), analyse et commande des syst`emes lin´eaires par approche fr´equentielle, quelques bases d"alg`ebre lin´eaire. iiTable des mati`eres
1Introduction1
1.1Notion de syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2Notion de mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3Grandes lignes du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2Rappel sur la fonction de transfert5
2.1´Equations pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Mod`ele entr´ee/sortie : l"´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Transform´ee de Laplace : de l"´equation diff´erentielle `a la fonction de transfert. . . . . . . 6
2.2Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Int´erˆet de la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3La repr´esentation d"´etat11
3.1Principe g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2De la non-lin´earit´e `a la lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3Historique de la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4Comment obtenir un mod`ele d"´etat?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1 Par le jeu d"´equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.2 Par l"´equation diff´erentielle unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5De la fonction de transfert `a la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Cas d"une fonction de transfert strictement propre (m < n). . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1.1R´ealisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1.2R´ealisation de forme compagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.2 Cas d"une fonction de transfert non strictement propre (m=n). . . . . . . . . . . . . . 20
3.6De la repr´esentation d"´etat `a la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7.1 Changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7.2 Obtention d"une forme compagne (horizontale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.3 Obtention d"une forme de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.3.1Les valeurs propresλideAsont distinctes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7.3.2Les valeurs propresλideAsont multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4R´eponse d"un mod`ele d"´etat25
4.1Solution du syst`eme autonome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Matrice de transition d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Solution de l"´equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2Solution de l"´equation d"´etat compl`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3Calcul deeAt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 M´ethode des s´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Par la transformation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 M´ethodes des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iiiTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
4.4R´egime transitoire : influence des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5R´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6R´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7R´eponse harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5Stabilit´e des mod`eles d"´etat35
5.1Une approche quasi intuitive : la stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2Stabilit´e d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3Crit`eres de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1.1rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1.2rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1.3rang(A)< n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1.4En r´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1.5Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1.6Les marges de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.2 Crit`ere de Routh/Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6Commandabilit´e et observabilit´e43
6.1D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 Commandabilit´e ou gouvernabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.1 Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.3 Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.1Adiagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.2Anon diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4Grammiens de commandabilit´e et d"observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.2 Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.3 Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5.1 Diff´erence entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5.2 Syst`emes composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.2 R´ealisation minimale et notion de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.3 R´ealisation minimale et stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7Commande par retour d"´etat55
7.1Notion de retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2Retour d"´etat et performances transitoires : le placementde pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1 Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.2 Placement de pˆoles sur une r´ealisation canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.3 Placement de pˆoles sur une r´ealisation quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.3.1Obtention de la forme canonique `a partir de la fonction de transfert. . . . . . . 58
7.2.3.2Obtention de la forme canonique `a partir d"une autre r´ealisation. . . . . . . . . 58
7.2.3.3Algorithme de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3Performances statiques et retour d"´etat : la pr´ecommande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4Rejet de perturbation et retour d"´etat : adjonction d"int´egrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ivTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
7.4.1 Premi`ere approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.4.2 Seconde approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8Commande par retour de sortie : les observateurs69
8.1Notions pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.2 Principe de l"observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.3 Propri´et´e d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.4 Condition d"existence d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.5`A propos de la transmission directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2Synth`ese d"un observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2.1 Observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2.2 Proc´edure de Luenberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3Synth`ese d"un observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3.1 Observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3.2 Proc´edure de synth`ese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4Commande par retour d"´etat observ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9Introduction`a la repr´esentation d"´etat discr`ete81
9.1Rappels sur les signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.1 Signaux continus, discrets, quantifi´es, non quantifi´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.2 Transformation de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.1´Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.2Quantification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.3Blocage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.2Syst`emes discrets lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.2 Mod`eles externes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.2.1´Equation r´ecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2.2Transformation enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2.3Fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.3 Repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.4 Lien entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.1D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.2De l"´equation d"´etat `a la fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.3De la fonction de transfert enz`a l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3Syst`emes ´echantillonn´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.1 Pourquoi ´etudier les mod`eles discrets? (notion de syst`eme ´echantillonn´e). . . . . . . . . 88
9.3.2 La commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3.3´Echantillonnage et th´eor`eme de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4 Obtention d"un mod`ele ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4.1Calcul deG(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4.2Mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4R´eponse d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1 R´eponse du mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.1R´eponse par r´esolution de l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.2Calcul deAk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.3R´eponse d"un syst`eme ´echantillonn´e.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.4.2 Analyse de la r´eponse : ´etude des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5Stabilit´e d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.1 Stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2 Stabilit´e interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2.1D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2.2Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.3 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
9.5.3.1R´esultat g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.5.3.2Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.3.3Marge de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.4 Crit`ere de Jury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.5 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.6 Stabilit´e d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.5.6.1´Echantilonnage d"une boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5.6.2Bouclage d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6Commandabilit´e/observabilit´ed"un mod`ele discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2 Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.3Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.3 Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4 Grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4.1D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4.2Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.4.3Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.5 Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.6 R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.7Commande par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.1 Les diff´erentes approches de la commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.2 Retour d"´etat discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.3 Placement de pˆoles par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.7.3.1Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.7.3.2Technique de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.8Commande par retour de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10Conclusion107
10.1R´esum´e du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2Perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Annexes109
ARappels d"alg`ebre et d"analyse111
A.1`A propos des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.1 Transposition et conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.2 Matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.3 Op´erations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.1.3.1Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 A.1.3.2Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.1.4 D´eterminant d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.1.4.1D´eterminant d"une matrice carr´ee d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.1.4.2D´eterminant d"une matrice carr´e d"ordre 3 ou plus. . . . . . . . . . . . . . . . 114A.1.4.3Quelques propri´et´es du d´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.5 Cofacteurs et matrice adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.6 Polynˆome caract´eristique d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.7 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.8 Matrices inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.8.1D´efinition et calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.1.8.2Propri´et´es des inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.1.9 Valeurs propres d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
viTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
A.1.9.1Structure propre d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.1.9.2Propri´et´es des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.9.3Propri´et´es des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.10 Rang d"une matrice carr´ee, d´eterminant et valeurspropres. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.1.11 Trace d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2`A propos de la d´efinition positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.1 Fonction d´efinie positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.2 Matrices Hermitiennes d´efinies en signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B`A propos du r´egime transitoire121
B.1Influence du spectre de la matrice d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B.2Influence des vecteurs propres deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.2.1 Couplage modes/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.2.2 couplage modes/commandes en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.2.3 Couplage modes/consigne en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2.4 En r´esum´e sur les vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3Influence des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3.1 Les z´eros d"un mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3.2 Contribution des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
CFormule d"Ackermann pour le placement de pˆoles par retour d"´etat127C.1Rappel du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.2R´esolution selon Ackermann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
D`A propos deZ129
D.1Propri´et´es deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
D.2Tableau de transform´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
ELyapunov et les syst`emes lin´eaires131
E.1Le cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
E.2Le cas discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
E.3Le cas ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
F`A propos des grammiens135
F.1Signification des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
F.2Invariance des valeurs propres deWcWo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
GMATLABet la repr´esentation d"´etat139
G.1Fonctions math´ematiques de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
G.2Fonctions li´ees au mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
G.3Fonctions li´ees aux mod`eles discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
HBiographies153
H.1Alexandr Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
H.2Rudolf Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
R´ef´erences bibliographiques159
viiTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
viiiChapitre 1
Introduction
L"Automatique est une discipline scientifique qui vise `a conf´erer `a un dispositif donn´e, appel´e syst`eme, des
propri´et´es souhait´ees et ce, sans n´ecessit´e d"une intervention humaine. Une telle discipline requiert d"attribuer
un mod`ele au comportement du dit syst`eme (phase de mod´elisation) et de l"utiliser afin, d"une part, de mieux
comprendre ce comportement (phase d"analyse) et d"autre part, d"agir sur le syst`eme dans le but d"am´eliorer ses
propri´et´es (phase de commande).Sans revenir trop longuement dans cette introduction sur des concepts ´etudi´es lors des cours relatifs `a l"approche
dite fr´equentielle, il convient de rappeler quelques notions de base. 1.1Notion de syst`eme
Un syst`emeest unecombinaisonde composantsinterconnect´espouratteindreun objectif,rendreunservice `a unou
plusieurs op´erateurs humains.Le ?composant?est un organefonctionnelqui ne se limite pas `a un objet physiquemais peut correspondre `a un objet plus abstrait de telle sorte qu"un syst`eme peut ˆetre ´economique, financier,
d´emographique mˆeme si, dans le cadre de cet enseignement,seront plutˆot rencontr´es des syst`emes physiques,
c"est-`a-dire m´ecaniques, ´electriques, ´electroniques, hydrauliques, pneumatiques, chimiques, m´ecatroniques voire
biologiques.Parmi les grandeurs, ´eventuellement physiques, mises en jeu dans le fonctionnement d"un syst`eme, l"on peut
distinguercelles qui,g´en´er´eesparl"environnementext´erieurau syst`eme,agissent sur ce dernier.Ce sont les entr´ees
parmi lesquelles figurent celles dont l"homme a la maˆıtrise(les entr´ees de commande ou simplement entr´ees) et
celles qui ´echappent `a son contrˆole (les perturbations).L"on distingue aussi les grandeurs par lesquelles le syst`eme
agit sur l"environnement ext´erieur, `a savoir les sorties. L"on note souvent par les lettresu,dety, respectivement
les entr´ees, les perturbations et les sorties, de sorte qu"un syst`eme peut-ˆetre repr´esent´e par le sch´ema de la figure
1.1.Syst`emeu
1 u2...umy
1 y2...ypd
1dr FIGURE1.1 - Syst`eme comportantmentr´ees,psorties etrperturbationsDans le cadre de ce cours, seuls seront ´etudi´es les syst`emes monovariables pour lesquelsm=p= 1, c"est-`a-dire
ne comportant qu"une seule entr´ee et une seule sortie. 1Notion de mod`ele
Il est rappel´e que l"automaticien est souvent amen´e `a r´eintroduire l"information pr´esente au niveau de la sortie
sur l"entr´ee afin de modifier les performancesdu syst`eme. Ce dernier est alors dit boucl´e.La notion de boucle ´etant
d´ej`a connue des ´etudiants, elle n"est pas d´etaill´ee dans cette introduction. Une partie de ce cours consacr´ee `a la
commande y reviendra. Il va de soi que les performances attendues sont les mˆemes que celles envisag´ees lors de
l"´etude de l"approche fr´equentielle, `a savoir la stabilit´e, la forme des r´egimes transitoires, la pr´ecision et le rejet de
perturbations. 1.2Notion de mod`ele
Comme le sous-entend le pr´eambule de cette introduction, l"analyse d"un syst`eme eta fortiorisa commande font
appel `a un mod`ele du comportement du syst`eme. De cette description math´ematique du comportement peuvent
naˆıtre des outils d"analyse et de commande qui sont utilis´es par la suite. L"on distingue plusieurs automatiques
selon la nature des signaux et des mod`eles consid´er´es.?Ainsi les signaux continus peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donn´e alors que d"autres signaux
sont susceptibles de prendre uniquement certaines valeursbien d´etermin´ees. Sur la base de cette diff´erence, l"on
distingue l"automatiquedes syst`emes `a ´ev´enements continusde l"automatiquedes syst`emes `a ´ev´enements discrets. Seul le cas des ´ev´enements continus sera envisag´e dans cecours.?Une autre distinction tout aussi fondamentale se fait sur letemps. En effet, les signaux peuvent ˆetre d´efinis `a
tout instant du temps ou simplement connus `a des instants donn´es (l"on parle de signaux discrets, discr´etis´es, ou
´echantillonn´es). Les signaux de sortie sont ainsi mesur´es, et donc connus, uniquement `a certains instants, et la
s´equence des ´echantillons est obtenue sous forme num´erique en sortie d"un convertisseur analogique num´erique.
Elle est transmise `a un calculateur qui en d´eduit une s´equence de signaux de commande. Celle-ci est transform´ee
par un convertisseur num´erique analogique qui restitue unsignal `a temps continu sur l"entr´ee du syst`eme. Pour le
calculateur, l"ensemble constitu´e du syst`eme et des convertisseurs est vu comme un syst`eme `a temps discret (ou,
de mani`ere plus g´en´erale, ?syst`eme discret?). Dans ce cours, sera essentiellement consid´er´ee l"automatique des syst`emes`a temps continu(ou simplement des?syst`emes continus?). Seul le dernier chapitre traitera traitera de
l"automatique des syst`emes discrets.?Il existe d"autres distinctions qui reposent sur le mod`elemath´ematique utilis´e pour d´ecrire le comportement
du syst`eme. Ce mod`ele est obtenu soit par identification (l"on fait correspondre un mod`ele de structure donn´ee
au comportement entr´ees/sorties du syst`eme) ou, et ce sera le cas ici, par une utilisation judicieuse des ´equations
correspondant aux lois de la physique r´egissant le comportement du syst`eme. La plupart de ces ´equations sont
diff´erentielles et non lin´eaires. Cependant, il est souvent recommand´e de travailler dans une gamme de valeurs
autour d"un point de fonctionnement de telle sorte que les ´equations sont raisonnablement remplac¸ables par des
´equations diff´erentielles dites lin´eaires `a coefficients constants. Cette approximation permet donc de passer d"un
mod`ele non lin´eaire `a un mod`elelin´eaire. Bien que moins fid`ele `a la r´ealit´e, ce dernier facilite l"analyse et la
commande du syst`eme, notamment grˆace `a un principe fondamental, celui desuperposition(ou de s´eparation),
r´esum´e sur la figure 1.2. 1ua1 u22ay=a1y1+ay2 2Syst`emelin´eaire++
FIGURE1.2 - Principe de s´eparation
Si l"entr´eeu1entraˆıne la sortiey1et si l"entr´eeu2entraˆıne la sortiey2alors une entr´eea1u1+a2u2entraˆıne une
sortiey=a1y1+a2y2. Ce cours est restreint `a l"´etude des syst`emes lin´eaires.?Enfin, comme il a d´ej`a ´et´e mentionn´e, une derni`ere distinction est essentielle pour ce cours. Les syst`emes sont
soient monovariables (une seule entr´ee, une seule sortie)soit multivariables (plusieurs entr´ees, plusieurs sorties).
Seuls les syst`emesmonovariablesseront ´etudi´es. 2Grandes lignes du cours
En r´esum´e, ce cours concerne les syst`emeslin´eairesmonovariables (continus etdiscrets), c"est-`a-dire ceux qui
peuvent ˆetre d´ecrits par une fonction de transfert. 1.3Grandes lignes du cours
Compte tenu des connaissances pr´ealables des ´etudiants,ce cours est organis´e comme suit. Apr`es un rappel sur la
fonction de transfert, son origine, son int´erˆet, un nouveau mod`ele alternatif est pr´esent´e : la repr´esentation d"´etat
lin´eaire. Ses propri´et´es sont explicit´ees, en particulier le lien existant avec la fonction de transfert. Une foisce
mod`ele introduit, l"on s"int´eresse `a la mani`ere de d´eterminer la r´eponse des syst`emes lin´eaires monovariables.
Ensuite, il sera montr´e comment analyser la stabilit´e d"un tel mod`ele d"´etat. Bien moins famili`eres seront les
notions de commandabilit´e et d"observabilit´e d"une repr´esentation d"´etat. La commande de tels mod`eles sera
abord´ee vers la fin du cours avant de consacrer une chapitre au mod`ele d"´etat discret et de conclure sur les
perspectives d"´etude en automatique. 3Grandes lignes du cours
4Chapitre 2
Rappel sur la fonction de transfert
Dans ce chapitre, l"on revient bri`evement sur la notiona priorifamili`ere de fonction de transfert. D"o`u vient-elle?
Comment l"obtenir? Pourquoi est-elle utilis´ee? 2.1´Equations pr´eliminaires
Il faut d"abord noter que le syst`eme ´evoluant avec le temps, les grandeurs impliqu´ees peuvent ˆetre assimil´ees `a des
signaux temporels,c"est-`a-dire,math´ematiquement,des fonctionsdu temps. Lors de la phase de mod´elisation,l"on
essaie g´en´eralement de d´ecrire le comportement du syst`eme par un jeu d"´equations, de relations math´ematiques
entre les signaux, qui paraˆıt correspondre fid`element `a ce qu"est le syst`eme. Dans le cas d"un syst`eme physique,
l"on s"appuie sur les lois de la physique (´electricit´e, m´ecanique, etc...) pour d´eterminer plusieurs ´equations reliant
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