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Transformée de Laplace ◇ Les signaux usuels et leur transformée de Laplace ❑ Fonction de transfert d'un système ◇ Définition et détermination de la FT

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Réponse d'un système LTI (Linéaire à Temps Invariant) à une entrée : caractérisation temporelle ◇ Notion de convolution : définition et propriétés ◇ Réponse 

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4 oct 2013 · dans le domaine de définition et pour tout k ∈ Z, avec N ∈ N+ est dite sortie y[ n] d'un système LTI peut s'exprimer comme la convolution du

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14 sept 2020 · Définition - Système statique (ou instantanée) Définition - Système dynamique est linéaire, invariant dans le temps (LTI) et causal « Linear 

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3 5 Causalité, mémoire, et temps de réponse des systèmes LTI 51 traitement mathématique d'étendre la définition du signal à l'ensemble R ou Z Un signal 

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Définition 2 1 (Forme canonique LTI) x ∈ Rn, y ∈ Rp, u ∈ Rm Cas continu : L' équation d'état d'un système LTI sous forme canonique s'écrit (2 1a) et (2 1b) :

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5 2 Systèmes linéaires à temps invariants LTI incertains 73 Définition 19 Le système singulier (2 10) est dit externement positif si pour x0 = 0

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Table des matières Introduction Systèmes continus LTI Définition Exercice Produit de Convolution Propriétés Exercice Slide 2/ 34: 

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UV Traitement du signalCours 4Systèmes linéaires continusDéfinition et caractérisations (temporelle et fréquentielle)ASI 3

2 TdSContenu du coursIntroductionDéfinition d'un systèmeClassification des systèmesRéponse d'un système LTI (Linéaire à Temps Invariant) à une entrée : caractérisation temporelleNotion de convolution : définition et propriétésRéponse impulsionnelle d'un systèmeRéponse à une entrée quelconque Réponse fréquentielle d'un systèmeThéorème de PlancherelCaractérisation des systèmes LTI par la fonction de transfertTransformée de LaplaceHDéfinitionHPropriétésFonction de transfert d'un système : notion de pôles et zérosDétermination de la réponse temporelle d'un système par la TL

3 TdSIntroductionExemples de systèmesDéfinition R

u(t) i(t)

C Vc(t)

L K x M f

Signaux d'entrée

ou excitations x

Système

S

Signaux de sortie

ou réponses y

Perturbations

Economie d'un pays

Conjoncture mondiale

Dépenses

publiques

Balance

commerciale

Taux de crédit Chômage

Inflation Un système est un ensemble d'éléments fonctionnels interagissant entre eux et qui établit un lien de cause à effet entre ses signaux d'entrées et ses signaux de sortieNotation :

[]xyS=(souvent imprévisibles)ySystème électriquey Système mécaniquey Système économiqueentrée : forcesortie : position

4 TdSClassification des systèmes  Système statiqueLa réponse du système à une excitation est instantanée Système dynamiqueLa réponse est fonction de l'excitation et des réponses passéesSystèmes mono variable et multivariable Monovariable : système à une entrée et une sortie Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2 R

u(t) i(t) R u(t) i(t)

C Vc(t)

)(1)()(tuRtity==Équation )()()(tutytyRC=+avec )()(tVtyc=Équationu(t) = V(t) + Ri(t)et i(t) = CdV(t)/dtdonc u(t) = V(t)+RC dV(t)/dtd'où :

5 TdSClassification des systèmesLinéaritéSi alorsCausalitéLa réponse du système ne peut pas se produire avant l'excitation qui l'engendreConséquence : si alorsInvariance temporelleStabilité)()()(2211txatxatx+=[][])()()(2211txatxatySS+=

0pour 0)(<=ttx[]0pour 0)()(<==ttxtySUn décalage temporel en entrée induit le même décalage en sortie. La réponse du système est invariante par translation dans le temps. Le système est dit alors invariant.Si alors

[])()(txtyS=[])()(00ttxtty-=-SyUn système est dit stable si en réponse à une entrée bornée, sa sortie est bornéeySystème qui, perturbé, revient à son état initial après disparition de la perturbation

[]yyxxMtxtyMMtxM<=$Þ<$)()(/)(/SInstable Stable

6 TdSExemplesTachymètre Entrée :Vitesse d'un véhicule v(t)

Sortie : Position angulaire de l'aiguille q (t)

Propriétés :linéaire, causal, invariantExemple de système non linéaire :hauteur d'une vague en fonction du ventnon causal :retour vers le futurnon invariant : y(t) = t.x(t); parcmètre (le tarif dépend de l'heure)Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus linéaires à temps invariant (systèmes LTI)

7 TdSCaractérisation d'un système LTIRelation entrée/sortieLa plus courante : équation différentielle linéaire à coefficients constantsHCaractérisation complète du système par la connaissance des coefficientsHSortie y(t) calculable par la connaissance de x(t)

i ii dt tydy)()(= )()()()(tutVdt tdiLtRic=++On en déduit : )()(tutx=Entrée du système :  Lois de l'électricité )()(tVCtic= R u(t) i(t)

C Vc(t)

L )()(tVtyc=Sortie du système : (dérivée d'ordre i) et

8 TdSCaractérisation d'un système LTIRéponse impulsionnelle Avantages de la réponse impulsionnelle caractérisation complète du systèmepermet de calculer la sortie du système LTI pour d'autres signaux d'entrée La réponse impulsionnelle d'un système est sa réponse à une entrée sous forme d'impulsion de Dirac

Système S t

d(t) t h(t)

[])()(tthdS=Comment calculer la sortie du système avec un signal d'entrée quelconque à partir de la réponse impulsionnelle ? Þ notion de convolution

9 TdSNotion de convolutionDéfinitionOn appelle produit de convolution de deux signaux f(t) et g(t) et on note , l'expressiongf*Ressemble beaucoup à une corrélationRappel : Pour la convolution, un des signaux est inversé

Cfg=∫-∞

ftgt-dt Images provenant des applets de http://cnyack.homestead.com/files/aconv/convau1.htm

10 TdSNotion de convolutionCas de signaux causaux Exemple0)( ,0)(==tgtf( pour t < 0)

Calculer le produit de convolution des signaux suivantsA tf (t) t1t2g (t) 1 t )()(tetgatG=- 0>a fgt-dLa convolution devient :Posons . -=tttdtgftz)()()( )(*)()(tgtftz=On aA tf ( t) t1t2g (- t) (t=0)

11 TdSNotion de convolution0)(=tfOn distingue 3 cas :y

A tf ( t) t1t2g (t- t) t

1tt<Þ

0)(=tz

21ttt< A tf ( t) t1t2g (t- t) tA tf ( t) t1t2g (t- t) t 2tt>y t t tadAetz1)()(ttOn trouve ())(11)(ttaea

Atz---=

ò--=2

1 t t tadAetztt ()12)(atatat eea

Aetz-=-Finalement, on a :

tz(t) t1t2 A a1-e-at2-t1 ---G=ttttdteftzta)()()()(ò--= ttadeftz 0 )()()(tttÞcar0)(¹-Gttpour t12 TdSConvolution PropriétésCommutativité : Associativité :Distributivité par rapport à l'addition : Elément neutre du produit de convolution : impulsion de DiracTranslation temporelle (conv. avec un Dirac retardé) :)()()()(tftgtgtf*=*

())()()()()()()(tgtetftetgtfte*+*=+* )()()(tfttf=*d )()()(00ttftttf-=-*d

13 TdSConvolution Propriétés (suite et fin)Convolution avec un peigne de Diracå+¥

-=kTkTtt)()(dPeigne de Dirac

Tt0T2T-T-2T

Tk kTttfttfå¥+ -*=*)()()()(dÞ Tk kTtfttfå¥+ -=*)()()(f (t) t*=

Tf*t0T2T-T-2T

On obtient une fonction périodique formée par la recopie de f autour de chaque dentШШ ШLinéarité de la convolution : on sort la sommeConvolution avec un Dirac retardé

14 TdSRéponse d'un système LTI à une entrée quelconqueApplication de la notion de convolutionSystèmex(t)

t?)(=tyLa réponse du système à une entrée quelconque x est la convolution de x avec la réponse impulsionnelle h du système. h caractérise entièrement le système.Élément neutre de la convolution

)()()(ttxtxd*=Þò¥+

¥--=ttdtdtxtx)()()(

[])()(txSty=Þ ¥--=ttdtdtxty)()()(SRéponse du système on cherche

¥--=ttdtdtxty)()()(SPropriété de linéarité du système :Propriété d'invariance temporelle du système :

[])()(ttd-=-thtS(réponse impulsionnelle décalée, voir diapos 5 et 8)On en déduit ¥--=tttdthxty)()()(Þ)()()(thtxty*=(Voir diapo 5)

15 TdSStabilité et réponse impulsionnelleOn dit qu'un système est stable si sa sortie est bornée lorsque son entrée est bornéeQuelle est la condition sur h(t) pour que y(t) soit bornée ?y L'entrée x est bornée i.e.tMtxMxx"<$)(/

¥--=tttdthxty)()()(y Réponse du système :Un système est stable ssi sa réponse impulsionnelle est absolument intégrableOn montre que la sortie est bornée ssi

¥-ttdh)(Nous venons de présenter les aspects temporels des systèmes continus LTIMaintenant nous allons nous intéresser aux aspects fréquentiels

16 TdSSystèmes et transformée de FourierRéponse fréquentielle des systèmes LTISystème)(ty)(txSoit le système de réponse impulsionnelle h

Soit le signal d'entréeQue vaut la sortie y(t) ?ftjAetxp2)(= )()()(txthty*=Þò¥+

¥--=*tttdtxhtxth)()()()(

-=*tttppdAehAethtfjftj)(22)()( -=*tttpppdehAeAethfjftjtfj222)()(0

)(fHTF de la réponse impulsionnelleLa réponse d'un système LTI à une exponentielle complexe (resp. signal sinusoïdal) est une exponentielle complexe (resp. signal sinusoïdal) multipliée par le gain complexe H( f )

SAej2ft=ht∗Aejft=Hf.Aej2ftSortons ce qui ne dépend pas de :

17 TdSSystèmes et transformée de FourierRéponse fréquentielle des systèmes LTISystème)(ty)(txSi le signal d'entrée est quelconque, on peut l'exprimer sous la forme d'une somme infinie d'exponentielles complexes : c'est la TF inverse

[])()(txtyS=Þ )(fY =dfefXtxftjp2)()( =dfefXtyftjp2)()(S(linéarité du système)En vertu du résultat précédent []ftjftjefXfHefXpp22).().()(=S =dfefXfHtyftjp2).().()((définition de la TF inverse de Y)Þ )().()(fHfXfY=)()()(txthty*=H ( f ) : fonction de transfert(TF de la sortie y) convolution en temporel - multiplication en fréquentielDonc sialors

18 TdSSystèmes et transformée de FourierReprésentation fréquentielle des systèmes LTI Relations entrée-sortie en fréquentielSystème)(ty)(tx

)().()(fHfXfY=yH ( f ) : représentation fréquentielle du systèmeySimplicité de la relation entrée/sortie en fréquentiel yLa représentation fréquentielle illustre l'aptitude du système à faire passer une composante fréquentielle présente dans le signal d'entrée)(fHModule

)(fHArgument ())(arg)(fHf=f )().()(fHfXfY=Þ )(.)()(fHfXfY= ()())(arg)()(argfXffY+=fy Densité spectrale d'énergie )().()(fSfSfShhxxyy=y Moduley Argument

19 TdSThéorème de Plancherel La transformée de Fourier d'un produit de convolution est un produit simple et réciproquementSystèmes et transformée de Fourier)().()()(fYfXtytx"*

)()()().(fYfXtytx*"Attention : la TF d'un signal n'est pas toujours définie !Comment faire lorsque x(t) n'a pas de TF ?=> Introduction de la transformée de Laplace

20 TdSTransformée de Laplace (TL)De la TF à la TLò

-=dtetxfXftjp2)()(Soit la TF d'un signal x(t) :. Cette TF existe si l'intégrale convergeDans le cas contraire, multiplions x(t) par une exponentielle décroissante telle que

-¥ 0. Calculons la TF de ce nouveau signal --=dteetxfXftjtpss2)(),(Þò +-=dtetxfXtf)2()(),(pssPosons fjsps2+=On obtient : -=dtetxsXst)()(Définition de la transformée de Laplace du signal x Transformée de Laplace = généralisation de la TF : décomposition de x(t)

sur une base de fonctions exponentielles est (avec s complexe) Ne pas poser que X( f ) = X(s) pour s=j2

pf (car X(s) existe toujours mais pas X(f)!)

21 TdSTransformée de LaplaceConvergence de la TLExempleDéfinition : on appelle Région de Convergence (RC) de la TL, l'ensemble des complexes s tels que l'intégrale converge.ò

-=dtetxsXst)()(X(s) n'est défini que si l'intégrale convergeCalculer la TL du signal )()(tetxatG= -G=dtetesXstat)()(Þò 0 )()(dtesXtsa -=0)(1)(tsaesasX fjasaps2--=-

1lim1)()(tsa

t esasXÞÞ

Or D'où

tfja t tsa t ee)2()(limlimps-- =Cette limite est nulle si i.e.

0<-saas>)Re(

assX-=1)(avecas>)Re(aRe(s)Im(s) RC fjsps2+=

22 TdSTransformée de Laplace : propriétésLinéaritéConvolutionTranslation temporelle Translation fréquentielleDérivationIntégration)()()()(22112211sXasXatxatxa+"+

)().()()(sYsXtytx"* )()(00sXettxst-"- )()(asXtxeat-" )0()()(+-"xssXdt tdx()+0x: condition initiale ()()()+-++0,,0 ,0)1()1(kxxx: conditions initiales (souvent nulles => simplification) y y s sXdxt)()(0"òttIdem TFAvec :

23 TdSTransformée de Laplace : propriétésThéorème de la valeur initialeThéorème de la valeur finale Transformée de Laplace et systèmes LTI)(

)()(sX sYsH=Fonction de transfert ou transmittance complexe du système ())(lim)(lim0ssXtxx+¥®® +==+s0t )(lim)(lim0 ssXtxx®+¥®¥==sty Réponse du système à une entrée x(t) quelconque )()()(thtxty*=y TL de la réponse )().()(sHsXsY=y Lien entre la transmittance et la représentation spectraleH(s)  H (f )

Si s=j2pf appartient à la région de convergence de la représentation de Laplace, alors on peut poser s = j2pf, et on obtient la relation suivante :

fjssHfHp2)()(==

24 TdSTL de quelques signaux usuels (Cf. table) Impulsion de Dirac d(t)

Echelon unité G(t)()1)(=tdL Rampe ou échelon de vitesse Signal sinusoïdal <=G01 00)(t tt )(tG1 )(tdquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44