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2) Déterminer les limiets aux bornes du domaines d'étude de chacune des fonctions f et g 3) Déterminer les dérivées des fonctions f et g ; en déduire leur tableau 

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xex On pourra poser X = −x Limite avec la fonction exponentielle Étudier les limites suivantes : a) lim

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Fonction exponentielle – Exercices – Terminale S – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier Fonction 3 Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la déri- vée et en déduire les Étude de la position relative des courbes et a Pour tout réel 

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Exercices16 octobre 2014

La fonction exponentielle

Opération sur la fonction exponentielle

Exercice1

Simplifier les écritures suivantes :

a) (ex)3e-2xb)ex-1 ex+2c)ex+e-xexd)e-xe2 e) e3x (e-x)2×exf)exeyex-y

Exercice2

Pour toutx, on pose :g(x)=ex+e-x2eth(x)=ex-e-x2

a) Démontrer que?g(x)?2-[h(x)]2=1 b) Démontrer queg(2x)=2?g(x)?2-1 et queh(2x)=2g(x)×h(x). c) Comparer ces relations avec les fonctions sinus et cosinus.

Équations et inéquations

Exercice3

Résoudre dansRles équations suivantes :

1)e3-x=1 2)e2x2+3=e7x3) 2e-x=1

ex+24)ex3=e8

5)ex+1=e1

x6)esinx=e127)ex2=(e2)3e-x8)ex2=ex-2

Exercice4

Résoudre dansRles inéquations suivantes :

1)ex2?1

e22) (ex)3?ex+63)ex?1ex

4) (ex-1)ex>ex-1 5)e2x

Dérivées

Exercice5

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1)f(x)=(x2-2x)ex2)f(x)=1

xex3)f(x)=ex-12ex+1 paul milan1 TerminaleS exercices

4)f(x)=exex-x5)f(x)=x2-2(x-1)ex

Calcul de limites

Exercice6

Déterminer les limites des fonctionfsuivantes à l'endroit indiqué.

1)f(x)=ex-1

2xen 0,+∞et-∞

2)f(x)=2xe-xen+∞

3)f(x)=ex-1

2ex+1en+∞et-∞

4)f(x)=e2x-ex+1 en+∞et-∞5)f(x)=2x-1+e-xen+∞et-∞

6)f(x)=1

x(e2x-1) en 0 et+∞

7)f(x)=x+2+xexen-∞

Étude d'une fonction

Exercice7

fest la fonction définie surRpar :f(x)=2ex-3ex+1

1) Pourquoi les droitedetΔd'équation respectivesy=2 ety=-3 sont-elles asymptotes

àCf?

2) Calculerf?(x) puis étudier les variations def.

3) Tracerd,ΔetCf

4) La courbe semble avoir un point de symétrie. Démontrer cette conjecture.

Exercice8

fest la fonction définie surRpar :f(x)=(3-x)ex. Justifier les affirmations suivantes :

1) Le tableau de variations defest :

x f(x) -∞2+∞ 00 e2e2

2) Pour tout réelm>0 etm?e2, l'équationf(x)=madmet soit aucune, soit deux

solutions.

Exercice9

fest la fonction définie surRpar :f(x)=e-x2.

1) Calculerf(-x). Que peut-on conclure pourCf?

2) Calculer les limites defen+∞et-∞.

3) Calculer la dérivée defpuis dresser le tableau de variation defsurR.

4) Tracer la courbeCfpourx?[-2 ; 2 ] dans un repère orthonormal.

Unité graphique : 2 cm sur les deux axes.

paul milan2 TerminaleS exercices

Fonctioneu

Exercice10

Déterminer les fonctions dérivées suivantes :

1)f(x)=xe1

x

2)f(x)=2(x-1)ex-13)f(x)=cosxesinx

4)f(x)=e1+x

1+x2

Exercice11

La courbe ci-contre représente une fonction

fdéfinie surRpar : f(x)=(ax+b)e-x oùaetbsont deux réels.

1) À l'aide des renseignements portés sur

la figure, détermineraetb.

2) Calculerf?(x). En déduire les coordon-

nées du point A maximum def 123
-1 -21 2 3 4-1-2-3 ?A O

Exercice12

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-

contre les courbeC1etC2représentant les fonctionsf1etf2définies sur [0;π] par : f

1(x)=e-xetf2(x)=sinxe-x

Démontrer queC1etC2sont tangentes en

un point A.1 1 2 3 C1 C2 ?A O

Application en astronomie

Exercice13

L'intensitéI(λ) du rayonnement d'une étoile pour une longueur d'ondeλ(λ >0), est donnée par :I(λ)=1 λ5e-KλoùKest une constante positive qui dépend de l'étoile.

Démontrer que l'intensitéI(λ) rayonnée par l'étoile est maximale pour une valeurλ0de

λque l'on déterminera en fonction deK. En déduireI(λ0).

Exercices de BAC

Exercice14

Étude d'une fonction

fest la fonction définie surI=[0;+∞[ par :f(x)=10x ex+1

1) DémontrerquepourtoutréelxdeI,ona:f?(x)=10

(ex+1)2g(x) oùgestunefonction définie surIque l'on déterminera. paul milan3 TerminaleS exercices

2) Démontrer qu'il existe un unique réelαdeItel queg(α)=0. Donner deαun enca-

drement d'amplitude 10 -2.

3) En déduire le tableau de variation defet démontrer quef(α)=10(α-1).

4) Construire la courbeCdefdans un repère orthonormal pourx?[0;8].

Unité graphique 1 cm.

Exercice15

Amérique du sud novembre 2013

Partie A

Soitfla fonction définie surRpar :f(x)=xe1-x

1) Vérifier que pour tout réelx,f(x)=e×x

ex.

2) Déterminer la limite de la fonctionfen-∞.

3) Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. Interpréter graphiquement cette limite.

4) Déterminer la dérivée de la fonctionf.

5) Étudier les variations de la fonctionfsurRpuis dresser le tableau de variation.

Partie B

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