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Mécanique
PARTIE 1: La mécanique cinématique.
1-Introduction
1.1-Définition: La cinématique est l'étude des mouvements des corps solides en
fonction du temps indépendamment des causes de ces mouvements. L'étude des mouvements ne peut se faire qu'en précisant par rapport à quoi a lieu ce mouvement. Le temps permet de repérer les positions différentes. On associe au système de référence un repère. Ce repère est caractérisé par un trièdre orthonormé direct.
Schéma 1
(a): Ce repère n'est ni orthogonal ni normé! (b): Ce repère est orthogonal mais pas orthonormé! (c): Ce repère est orthogonal et orthonormé! Rq: Dans (c), à l'inverse de (b), les vecteurs i et j ont la même intensité. Un point matériel est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins une de ses coordonnées dans R0 varie dans le temps. Un solide est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins un de ses points est en mouvement par rapport à R0.
Schéma 2
(a): Sens direct ou antihoraire. (b): Sens indirect ou horaire.
Schéma 3
(a): Coordonnées cartésiennes. (b): Coordonnées cylindriques.
1.2-Distances et déplacements.
Schéma 4
Lorsque vous parcourez 50km à l'Ouest, et vous parcourez de nouveau 20km à l'est. Vous parcourez en tout 70km par contre votre déplacement est de 30km. En physique, nous dirons que la distance est une grandeur scalaire et que le déplacement est une grandeur vectorielle. La grandeur scalaire présente une amplitude pendant que la grandeur vectorielle présente une amplitude, une direction et un sens.
2-Mouvement rectiligne.
2.1-Mouvement rectiligne: Vitesse.
Nous appellerons mouvement rectiligne, le mouvement d'un mobile le long d'une ligne droite.
Schéma 5
Dans ce cas, nous définirons la vitesse moyenne comme le vecteur: v x t (1)
Si nous faisons tendre maintenant la grandeur
t vers 0, nous pouvons définir la vitesse instantanée comme: Vinst = lim
Δt→0
x t (2) Nous pouvons dire aussi d'une autre façon: le rapport x t tend vers une valeur limite lorsque
Δt→0
Une autre façon d'évaluer la Vinst d'un mobile est de tracer la courbe de la position: trajectoire du mobile, en fonction du temps, et d'évaluer la pente (ou tangente) sous la courbe en un point donné. De façon mathématique, l'on peut aussi écrire: Vinst = lim
Δt→0
x t = dx/dt i (3). Dans la formule précédente dx/dt n'est autre que la dérivée de x par rapport au temps (identique à la pente de la trajectoire en un point donné), d'où: Vinst → (x=x0)=dx/dt(x=x0) (4).
2.2-Mouvement rectiligne: accélération.
L'accélération moyenne d'un mobile en mouvement sur une droite est définie de la façon suivante: a v t = V2 V1 → )/t2-t1 (5).
Lorsque
V2 V1 , il y a accélération.
Lorsque
V2 V1 , il y a décélération. De la même façon que pour les vitesses nous pouvons définir l'accélération instantanée comme: a,inst = lim
Δt→0
v t = d v /dt (6). Soit a,inst = d 2 x /dt (7).
2.3-Unités.
V → =m /s (8). a → =m /s 2 (9). Lorsqu'une voiture parcourt une distance de 51km en 2h, la vitesse moyenne de cette voiture est: v = 25,5km/h (10). Pendant ce parcours, le compteur de vitesse indique la v instantanée.
3-Généralisation.
1-Repère d'espace, vecteur vitesse et accélération.
On dit qu'un mobile M est animé d'un mouvement rectiligne par rapport à un repère donné si sa trajectoire par rapport à ce repère est porté par une droite. Comme le mouvement se fait selon une seule direction, il est alors commode de choisir comme repère d'espace, un repère à une seule dimension (O; i ) ayant même direction que le mouvement.
Dans le repère (O;
i ), le vecteur espace OM s'écrit OM = x i (11).
Schéma 6
Et le vecteur vitesse relativement au repère (O; i ) est: V OM /dt= dx/dt i (12) = Vx i (13) = dx/dt (14). Le vecteur accélération relativement au repère (O; i ) est: a = d V /dt= d 2 x/dt 2 i = d 2 OM /dt 2 i (15). = ax i (16). avec ax= dVx/dt (17).
4-Mouvement rectiligne uniforme (MRU).
1-Définition: Uniforme: intensité du vecteur vitesse est constant. Un mobile est
animé d'un MRU si sa trajectoire est une droite et si la Vinst est constante.
Nous allons distinguer deux cas:
(a) L'origine des espaces correspond à l'origine des temps. (b) L'origine des espaces ne correspond pas à l'origine des temps.
Schéma 7
(a) Rappel: v = d x /dt (18).
L'intensité de la vitesse
V est constante d'où la vitesse moyenne est égale à la vitesse instantanée V (t). Déterminer l'équation horaire x= x(t). Si la vitesse moyenne est constante nous pouvons l'écrire: V (t)= d x /dt (19a). V0 = d x /dt et V0= dx/dt (19b).
Soit V0= dx/dt et v0= constante (19c).
L'équation horaire s'écrit alors d'après l'équation précédente: x= V0t (20). Ecrivons maintenant l'expression de l'accélération dans ce cas: a (t)= d V /dt (21). a0= dV0/dt (22). = dV0/dt= 0 (23).
Par conséquence:
a (t)= 0 L'accélération d'un mobile qui subit un MRU est nulle.
Schéma 8
(b) A l'instant t, la coordonnée du point en mouvement sera: x (t)= x (0)+ V t (24). Dans le cas où le mouvement est rectiligne, nous pouvons écrire V = V et l'équation précédente s'écrira: x (t)= vt+ x0.
Exercice: Relativement à un repère (O;
i ), un mobile est en mouvement RU de vitesse V = 3m/s. Ecrire la loi horaire de ce mouvement dans les repères suivants:
Schéma 9
Dans le repère (O;
i ) à l'instant de date t= 0s, le mobile passe par A d'abscisse 2m. Dans le repère (O; i ) à l'instant de date t= 1s, le mobile passe par O'.
Solution:
1/ Ecrivons l'équation générale dans le cas d'un MRU:
x (t)= V (t)* (t- x (0)).
La vitesse est
V = 3m/s d'où x (t)= 3* (t- x (0)). Il nous reste qu'à déterminer x (0), nous savons qu'à l'instant t= 0s, le mobile dans le repère (O; i ) est en A d'abscisse 2m, d'où: x (t= 0)= 3* 0+ x (0)= 2m d'où x (0)= 2m.
Ainsi dans le repère (O;
i ), l'équation horaire s'écrit: x (t)= 3t+ 2.
2/ Le mouvement dans le repère (O;
i ) est un MRU, il obéit donc à la même
équation que précédemment:
x (0)= V(0)* (t- x (0)).
La vitesse est la même à savoir
V = 3m/s, d'où: x (t)= -3* (t- x (0)). Dans ce repère nous savons qu'à l'instant t= 0, le mobile dans ce repère est en O' d'abscisse 0m d'où: x (t)= (t)= -3* (t)+ x (0)= 0m d'où x (0)= 3m.
Ainsi dans le repère (O';
j ), l'équation horaire s'écrit: x (t)= -3* t- 3.
5-Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV).
1-Définition: Uniformément varié: La vitesse augmente de façon régulière. Ainsi,
la variation V de la vitesse par seconde est constante. Nous pouvons exprimer cette condition en écrivant: V → (t) t= constante (26). Or nous avons défini l'accélération comme étant cette quantité. Nous dirons qu'un mouvement est un MRUV lorsque l'intensité de l'accélération aquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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